Est-ce que quelqu'un a la réponse a la question:
Comment résoudre cette équation ?
Merci d'avance !
Trigonometrie - Exponentiel
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Trigonometrie - Exponentiel
par maxence6 » 08 Mai 2010, 15:11
Bonjour,
Est-ce que quelqu'un a la réponse a la question:
Comment résoudre cette équation ?
=\frac{e^1}{sqrt{e^2+1}})
Merci d'avance !
Est-ce que quelqu'un a la réponse a la question:
Comment résoudre cette équation ?
Merci d'avance !
par Nightmare » 08 Mai 2010, 15:35
Exactement là ou tu veux ! La fonction arccos est "la" réciproque de la fonction cos, donc c'est elle qui va nous fournir les solutions de l'équation en question.
par Nightmare » 08 Mai 2010, 15:58
Si tu es en 4ème, c'est vraiment pas trivial. Déjà, il faut vérifier que 
. Ca à la limite c'est pas trop dur.
Ensuite, il faut justifier qu'on puisse trouver un antécédent de ce dernier par la fonction cos. Sur [-pi ; pi[, la fonction cos : [-pi ; pi[ -> [-1;1] induit une bijection, du fait de sa continuité, qui assure le théorème des valeurs intermédiaires - à savoir qu'un élément quelconque de [-1;1] admet un antécédent - et de sa stricte monotonie, qui assure l'unicité de l'antécédent. Conclusion, on peut inverser la fonction cos restreinte à [-pi ; pi[, c'est à dire associer à chaque élément x de [-1;1], un unique élément noté arccos(x) tel que cos(arccos(x))=x.
Ensuite, la périodicité de cos nous permet d'en déduire toute les solutions en ajoutant un tour de cercle (=2pi radian) et sa parité nous permet même de n'ajouter qu'un demi tour de cercle !
En conclusion, nos solutions sont les+k\pi)
avec k entier relatif. Et tu concevras bien que la notion de "résolution" d'équation est ici un peu confuse.
Ensuite, il faut justifier qu'on puisse trouver un antécédent de ce dernier par la fonction cos. Sur [-pi ; pi[, la fonction cos : [-pi ; pi[ -> [-1;1] induit une bijection, du fait de sa continuité, qui assure le théorème des valeurs intermédiaires - à savoir qu'un élément quelconque de [-1;1] admet un antécédent - et de sa stricte monotonie, qui assure l'unicité de l'antécédent. Conclusion, on peut inverser la fonction cos restreinte à [-pi ; pi[, c'est à dire associer à chaque élément x de [-1;1], un unique élément noté arccos(x) tel que cos(arccos(x))=x.
Ensuite, la périodicité de cos nous permet d'en déduire toute les solutions en ajoutant un tour de cercle (=2pi radian) et sa parité nous permet même de n'ajouter qu'un demi tour de cercle !
En conclusion, nos solutions sont les
par nuage » 08 Mai 2010, 16:26
Salut Nightmare
j'ai comme un doute.
je dirais plutôt :
+2k\pi)
ou
+2k\pi)
Nightmare a écrit:...
Ensuite, la périodicité de cos nous permet d'en déduire toute les solutions en ajoutant un tour de cercle (=2pi radian) et sa parité nous permet même de n'ajouter qu'un demi tour de cercle !
En conclusion, nos solutions sont les
j'ai comme un doute.
je dirais plutôt :
ou
par maxence6 » 08 Mai 2010, 17:09
Lol c'est bien compliqué votre truc, moi j'ai trouvé que:
cos(x)=y
arccos(y)=x
Donc:
=\frac{e^1}{sqrt{1+e^2}})
=0.352513..)
Donc donc l'angle x est de 0.352513.. a premiére vu c'est bon parce que j'ai tapé
a la calculette et on trouve 0.938507... et je me dis que quand cos(x) est positif plus x est petit plus le resultat est proche de 1. Donc pour etre sur je tape cos(0.352513) je trouve 0.9385080... donc comme les resultats sont proche j'en conclu que mon raisonnement est bon non ?
cos(x)=y
arccos(y)=x
Donc:
Donc donc l'angle x est de 0.352513.. a premiére vu c'est bon parce que j'ai tapé
par AL-kashi23 » 08 Mai 2010, 17:35
Es tu sur qu'une équation a toujours une et une seule seule solution ?
C'est comme si tu disais "je veux résoudre x^2=4 , alors j'ai pris x=2 et comme 2^2=4 et bah alors je conclus que x=2"
C'est comme si tu disais "je veux résoudre x^2=4 , alors j'ai pris x=2 et comme 2^2=4 et bah alors je conclus que x=2"
par nuage » 08 Mai 2010, 17:35
Salut maxence6
ton raisonnement est bon dans le sens suivant : tu as trouvé une solution à ton problème, et tu vérifies qu'elle est correcte. :++:
Mais résoudre une équation c'est trouver toutes les solutions.
D'où la réponse de Nightmare et la mienne.
Ceci étant en 4° tu n'as pas étudié la fonction cosinus.
Ta réponse est donc satisfaisante (mais je n'ai pas vérifié les calculs).
ton raisonnement est bon dans le sens suivant : tu as trouvé une solution à ton problème, et tu vérifies qu'elle est correcte. :++:
Mais résoudre une équation c'est trouver toutes les solutions.
D'où la réponse de Nightmare et la mienne.
Ceci étant en 4° tu n'as pas étudié la fonction cosinus.
Ta réponse est donc satisfaisante (mais je n'ai pas vérifié les calculs).
par maxence6 » 08 Mai 2010, 17:43
D'accord merci de votre aide mais je faisais ça car je voulais mettre e+i sous sa forme trigonométrique et j'avais besoin que d'une solution !
par nuage » 10 Mai 2010, 20:51
Salut,
je citerais Nightmare :
Tu peux donc prendre n'importe quel entier relatif.
Et j'aurais du le répéter.
Mais comme ton problème est de mettre e+i sous forme trigonométrique, il faut de plus que le sinus soit positif.
Les arguments de e+i sont donc de la forme
+2k\pi=\arctan(e^{-1})+2k\pi)
On peut remarquer que les arguments de e-i sont :
+2k\pi=-\arctan(e^{-1})+2k\pi)
je citerais Nightmare :
avec k entier relatif
Tu peux donc prendre n'importe quel entier relatif.
Et j'aurais du le répéter.
Mais comme ton problème est de mettre e+i sous forme trigonométrique, il faut de plus que le sinus soit positif.
Les arguments de e+i sont donc de la forme
On peut remarquer que les arguments de e-i sont :
par maxence6 » 11 Mai 2010, 15:01
Merci pour ta réponse très claire, je me demande juste pourquoi c'est égal à +2k\pi)
par Ericovitchi » 11 Mai 2010, 16:23
ajouter 2k pi c'est rajouter des tours complets de cercle trigonométrique. Si tu rajoutes à un angle un tour complet, ça ne change pas son sinus, cosinus ,etc... donc inversement quand on calcule un angle à partir de son cos ou sinus, c'est toujours modulo des tours complets que l'on peut rajouter à la solution trouvé.
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