Trigonométrie basique.. ...mais pas tant que ça!

[Fabrice01500]

Bonjour,

J'ai un soucis d'écriture d'une formule pourtant basique. Je vous détaille un peu plus bas.
Je travaille depuis des années sur CAO, je sais résoudre mon problème en 2 minutes sur la CAO, mais j'aimerais en écrire une formule, pour la passer sur Excel.

Il s'agit de calculer l'angle de coupe d'une barre écharpe sur un volet en bois. Ca parait basique, mais je viens d'y passer du temps sans savoir y répondre..

Je cherche donc la formule pour calculer l'angle de coupe des barres obliques sur un volet battant en bois.

Je connais la distance entre les deux barres horizontales, je connais le décalage des barres horizontales avec la barre oblique, et je connais l'épaisseur de la barre oblique

Voir le schéma ci joint :

Capture_maths (Copier).JPG (40.76 Kio) Vu 742 fois

- distance barres horizontales : H (connu)
- décalage extrémité barre horizontale / départ barre oblique : d (connu, égal haut et bas)
- largeur barre oblique : l (connu)
- longueur barre horizontale : L (connu)
- distance horizontale entre pointe barre oblique : L1 = y+x
- angle recherché : ß

J'ai établi que :
cos ß = l/x
-> x = l/cosß

y=L1-x
et
tan ß = Y/H

Donc :

tan ß = (L1-x)/H
-> Htanß = L1-x
-> Htanß= L1-(l/cosß)

Arrivé à ce résultat je patauge.. Je ne sais plus comment transformer les tan et cos en une seule formule (y compris en utilisant le tanß = sinß/cosß), je tourne en rond..

Quelqu'un saurait-il m'orienter?

PS. : pour H=800, d=30, l=80, ß = 21.43°.. Vive la CAO!

[chan79]

salut
Je pense L=L1+2d
on arrive à

on peut poser


on a une équation du second degré en t.
Donne des valeurs pour voir (l, H, L et d)

[Fabrice01500]

H = 800, d = 30, l=80, L = 460 (j'avais oublié cette valeur dans la dernière phrase de mon message. La CAO me donne un ß = 21.4335....°

Je confirme L = L1+2d

[annick]

Bonjour,

Je n'ai pas tout compris dans tes mesures, mais je peux repartir de la formule que tu as trouvée et à partir de laquelle tu coinces :

Htanß= L1-(l/cosß)

tan b= sin b/ cos b

Soit :

H(sinb/cosb)=L1-(l/cosb)

Mise au même dénominateur et simplification par 1/cosb :

Hsinb=L1cosb-l

Mise au carré des deux membres de l'équation :

H²sin²b=L1²cos²b-2L1cosb l+l²

Formule générale de la trigonométrie : sin²b+cos²b=1, soit sin²b=1-cos²b

D'où :

H²(1-cos²b)=L1²cos²b-2L1cosb l+l²

Regroupement des termes :

cos²b(H²+L1²)-2 L1 l cosb+l²-H²=0

Equation du second degré en cosb à résoudre.

(J'ai mis b pour ton angle car c'était plus facile pour moi à écrire)

[Fabrice01500]

Vous remontez de vieux souvenirs (presque 20 ans.. sniff)

Mes mesures ne sont pas claires?

J'avoue, je suis infichu de résoudre une équation du 2nd degré..

J'ai pourtant suivi ta logique (j'ai même su retrouver le tanß = sinß/cosß ) mais j'avoue que cela est lointain..

[annick]

Equation du second degré :

ax²+bx+c=0

delta= b²-4ac

x= -b+Vdelta/2a ou x=-b-Vdelta/2a ( V voulant dire racine carrée)

Dans ton cas, on pose x= cosb

[chan79]

Avec les valeurs que tu donnes, l'équation en t est:
3t²+10t-2=0
=124

arctan() est environ 0.187042
en radians est 0.187042*2=0.374085 soit en degrés 21,4335°

[Fabrice01500]

Mmm je pense comprendre.

Je vais essayer demain de me "réattribuer" ces calculs, et de les rentrer sur Excel. Pas sûr que je sache tout refaire, je ne manquerais pas de vous solliciter, d'ici ces vérifications, merci déjà pour vos rappels, qui me ramènent bien loin..

On peut avoir une mention AB à un bac S en étant un bulot en math, sachez le (mais faut se rattraper en physique )

[Fabrice01500]

Que je comprenne ou me souvienne, pourquoi peut on calculer avec la formule citée par Annick, et celle en "t"?

[chan79]

Les deux méthodes sont valables.
On peut bien donner une formule qui donne en degrés, mais elle est assez lourde:

[Fabrice01500]

Bonjour,

Bon la démo est acquise : je retombe bien sur la "mise en équation" d'Annick, à savoir :

cos²ß(H²+L1²)-2L1cosß+l²+H² = 0

Puisque ax²+bx+c=0

a = H²+L1²
b = -2L1l
c= l²-H²

Calcul du discriminant Delta = b²-4ac soit Delta = (-2L1l)² - 4(H²+L1²)(l²-H²).

Jusque là tout va bien (sauf si j'ai commis une erreur).

Là où je ne retrouve pas mes petits c'est lorsque j'y rentre mes valeurs.

La première chose qui me chagrine c'est que je trouve un cos ß qui varie en fonction des unités (dans mon cas mm, si je passe en m je n'ai pas les mêmes valeurs) : ce ne devrait pas être le cas, non?

Avec mes valeurs :
a = H²+L1² = 800²+400² = 800 000
b = -2L1l = -2x400x80 = -64 000
c= l²-H² = 80²-800² = -633 600

Delta = 2.03162E12

Cos ß = bien trop grand ou bien trop petit

Merci encore de votre aide.

[chan79]

Avec mes valeurs :
a = H²+L1² = 800²+400² = 800 000
b = -2L1l = -2x400x80 = -64 000
c= l²-H² = 80²-800² = -633 600

Delta = 2.03162E12

Cos ß = bien trop grand ou bien trop petit

ton calcul est correct



soit 0.9308..

arccos(0.9308)*180/pi=21.433...°

[Fabrice01500]

Bor..l!

Erreur de parenthèse sur Excel, ça ne pardonne pas! J'en ai oublié une sur la fraction du Cosß (tapé (64000+R2.03162E12/2*800000 au lieu de 64000+R2.03162E12/(2*800000))

En effet, j'avais bon.

Que je comprenne jusqu'au bout : j'ai deux solutions de Cosß avec le calcul du discriminant.

Dans mon exemple précis, ß=21.4335° (ce qui est le réél), ou ß= 148.0334° (qui ne correspond à rien, ou alors qqchose m'échappe).

Est-ce que cela signifie que le calcul du cosß sera toujours le même (donc cosß = -b+Vdelta/2a) ou dans certains cas que le cosß sera l'autre?

Encore merci!

[chan79]

S'il y a une solution, on l'obtient en résolvant l'équation du second degré.
Il faut vérifier les solutions, d'autant qu'on a élevé au carré pour établir l'équation.
Le cosinus de l'angle aigu cherché doit être compris entre 0 et 1 puisque doit être aigu.

[Ben314]

Salut,

. . . ax²+bx+c=0
a = H²+L1²
b = -2L1l
c= l²-H²

Vu leurs définitions tu as dans tout les cas a>0 et b<0 donc la somme -b/a des deux solutions de ton équation est <0 donc au moins l'une d'entre elle est <0.
Sauf que celle des deux qui t'intéresse, c'est le cosinus d'un angle entre 0 et pi/2 donc une valeur positive et ça signifie que, systématiquement, la solution à conserver sera la plus grande des deux donc celle avec un +racine(delta) et pas celle avec -racine(delta).

[Fabrice01500]

Super, ça marche nickel.

Merci de votre aide, difficile à croire que j'aurais pu avoir besoin de ce genre d'équations 15/20 ans après.

[chan79]

Ouf, il arrive que les maths servent bien à quelque chose

[annick]

Contente que tu t'en sois sorti et qu'en plus tu aies pu rafraichir un peu tes notions mathématiques.
Je suis sûre que tes neurones s'en sentent tout guillerets.

[Fabrice01500]

Bonjour,

De loin, hier, mes collègues ont aperçu une fumée suspecte sortant de mon bureau : très certainement, une preuve de surchauffe neuronale..

Je ne vous montrerais pas mes feuilles manuscrites de calculs, honteuses..

Que je sache à quel moment de ma vie je vais retrouver ces calculs avec ma fille de 6 ans : c'est au programme de 3ème ça?

[annick]

Non, les équations du second degré sont au programme du lycée, mais pas du collège.