Trigo sphérique - Navigation

[Dzp]

@ Robot,
On connait deux points (Asterix et Calais dans mon exemple) et les distances de ces deux points à un point inconnu, but de la recherche.
Les distances sont calculées suivant l'arc du grand cercle. Pour la localisation, (nord de la France) ces distances terrestres correspondent chacune à un angle. On suppose que ces angles ont été calculés par une méthode inconnue, pour respecter l'énoncé, j'ai fixé ce point (Rouen). Les deux distances angulaires Astérix-> Rouen et Calais->Rouen peuvent donc être calculées (petite formule de trigo). Ce sont deux angles que j'ai donnés (j'ai fait le calcul). Ce sont les hypothèses.
Dans le calcul de Ben, les rayons sont calculés avec les coordonnées cartésiennes des 3 points. Ce n'est pas l'énoncé de Sextant.
Le point Rouen n'est pas connu en coordonnées (cartésiennes ou géographiques) puisque c'est justement cela qu'on cherche. On ne peut calculer les "rayons" qu'à partir des coordonnées géographiques (fournies pour test), mais, en théorie, données comme hypothèse.
Pour vérification, calcule donc les angles entre chacun des points d'appui et Rouen, connus en coordonnées géographiques.
Voyons le problème autrement : je donne les deux angles (rayons), quel est la position du trésor ?

A la première lecture, je n'ai pas compris ta formule. Puis j'ai vu que c'était l'expression du produit scalaire. Les calculs de Bn314 sont faits avec les rayons calculés suivant les cordes. Ce qui est faux.
Tu ne connais pas la trigonométrie sphérique, c'est pas grave. La seule chose qu'il faut comprendre, c'est que toutes les distances mesurées sur la terre sont mesurées suivant le grand cercle.
Bon, ta formule ne marche pas, comme je l'ai dit dans l'un de mes premiers messages. Donc, ta méthode ne répond pas à la question de Sextant. Mais, tu peux toujours rester avec tes certitudes.

PS. j'avoue que j'ai mis un certain temps à comprendre pourquoi Ben tombait pile sur les données de base. Si on écrit "2+3=5 ; puis qu'on calcule 5-3, il est normal que l'on trouve 2".
J'avoue que je suis un peu étonné de ta réaction et de celle de Ben314. J'ignorais que ces notions étaient autant ignorées des matheux.
Par exemple, as-tu une idée de ce qu'est l'excès sphérique ? Comment on le calcule etc. ? Je ne crois pas.

[Robot]

Dzp, tu es vraiment un grand comique, et il se confirme que tu n'as rien compris, mais alors rien de rien.

Je te fais tout de même un petit dessin (dans le plan d'un grand cercle de la sphère unité), mais sans grand espoir que tu aies la révélation.



La dstance géodésique sur la sphère unité entre et est .
On pose , , alors . Autrement dit, vu que est entre et , on a . La distance géodésique (suivant l'arc de grand cercle est donc bien l'arccosinus du produit scalaire. Tu avais fini par reconnaître le produit scalaire dans la formule, encore un petit effort et tu arriveras peut-être à comprendre vraiment cette formule ? Ben, qui mène son calcul avec cette formule, travaille donc bien avec la distance géodésique et pas du tout avec la longueur de la corde.

La longueur de la corde c'est, selon Monsieur Al Kashi,

[Dzp]

Bon, je renonce.
Juste la copie du calcul du rayon (source de Ben) :

typedef struct coord coord;
struct coord
{ double x;
double y;
double z;
};

double Rayon(coord A, coord B)
{ return acos(A.x*B.x + A.y*B.y + A.z*B.z);
}
Espérons seulement que peu de visiteurs liront ce sujet.
Salut.

[Robot]

Oui, je crois que tu fais mieux de renoncer, parce que tu viens d'administrer la preuve que tu ne comprends vraiment rien à la géométrie élémentaire. Et il vaut mieux pour toi que peu de visiteurs lisent ce sujet, car alors ils se rendraient compte du peu de sérieux de tes interventions.

La formule

Code: Tout sélectionner

acos(A.x*B.x + A.y*B.y + A.z*B.z)

donne exactement, comme je l'ai expliqué plus haut, la distance géodésique sur la sphère unité des points et , c'est-à-dire la longueur du plus petit arc de grand cercle qui les joint.

J'avais prévu que tu serais incapable de comprendre ça, j'ai gagné.

[Dzp]

@ Robot,
J'ai fini par comprendre nos divergences.
J'ai utilisé la trigo sphérique et j'avoue que ce n'était pas un bon choix, puisque la précision s'en ressent.
Tu as bien vu que je n'ai pas compris tout de suite ta méthode, manque d'explication ou vieillissement de mes neurones, je ne sais pas.
En tout cas, j'espère que Sextant aura profité de ta formule.
Cordialement.

[Robot]

Mieux vaut tard que jamais.

[Sextant]

Bonjour à tous,
Tout d'abord merci à tous d'avoir pris le temps de vous pencher sur mon problème. J'ai lu avec attention toutes vos réponses et cela m'a éclairé sur une solution possible.

Petit schéma illustrant mon problème :

Eléments connus :
Coordonnées de Pg1 : Latitude L1 et Longitude G1
Coordonnées de Pg2 : Latitude L2 et Longitude G2
Rayon du cercle Pg1 : Dz1 ; rayon du cercle Pg2 : Dz2

Question : Coordonnées (latitude et longitude) de P1 et P2 ?

Proposition de solution :
1 – Calculer la longueur angulaire Pg1-Pg2 (a)
a = arccos (sin L1 x sin L2 + cos L1 x cos L2 x cos (G1-G2))
2 – Dans le triangle N Pg1 Pg2 : Calculer la valeur de l'angle en Pg1 (α)
α = arccos ((sin L2 – sin L1 x cos a) / (cos L1 x sin a))
3 – Dans le triangle P1 Pg1 Pg2 : Calculer la valeur de l'angle en Pg1 (β)
β = arccos ((sin Dz2 – sin Dz1 x cos a) / (cos Dz1 x sin a))
4 – Dans le triangle N Pg1 P1 : Calculer la valeur de l'angle en Pg1 (γ)
γ= α – β
5 - Dans le triangle N Pg1 P1 : Calculer la valeur de l'angle en N (longitude de P1 : G_P1) et la longueur angulaire du complément de N P1 (latitude de P1 : L_P1)
G_P1 = arccos ((cos Dz1 – sin L1 x sin L2) / (cos L1 x cos L2))
L_P1 = arcsin (cos Dz1 x sin L1 + sin Dz1 x cos L1 x cos γ))
6 – Faire de même pour P2

Voilà. C'est un peu différent de ce que vous m'avez proposé, mais j'ai essayé d'utiliser des éléments que je connais déjà et il faut évidemment adapter tout ça aux latitudes Nord ou Sud et aux longitudes Est ou Ouest. Mais c'est pas le plus difficile

Vos commentaires éventuels sont bienvenus.
Merci.