[LB2] Non, il n'y a pas de structure d'espace vectoriel,
est un simple espace topologique. L'application "projecteur" pour un produit cartésien c'est l'application qui à un élément associe l'une de ses coordonnées.
Donc ici
est un ensemble qui peut être vu comme un produit cartésien de
)
ensembles tous égaux à
: si
on peut écrire
_{i\in X})
et chaque
est une coordonnée. Donc
est le projecteur tel que
=y_i)
.
Ou bien si on reprend le formalisme fonctionnel,
=f(x))
.
[Elias] oui, la topologie produit est la "plus économique" : la topologie initiale pour un ensemble d'application est la topologie la moins fine ("la plus économique") qui rend toutes les applications concernées continues.
Et la base d'ouverts de la topologie produit est constituée des cylindres, produit cartésien d'ouverts dont seuls un nombre fini d'entre eux sont distincts de
(dans le cas d'un produit fini, c'est équivalent à dire que la base d'ouverts du produit est constitué des produits cartésiens des ouverts des ensembles facteurs du produit cartésien, mais dans le cas infini c'est tout à fait différent).
Autrement dit, formellement, si
est un ouvert de la base topologique de
, alors
)
où
sont des ouverts de
tous égaux à
sauf pour un nombre fini d'entre eux.
Ce qui est équivalent à dire que la topologie est engendrée par les
)
où
est un ouvert de
, puisque par intersection finie on retrouve les cylindres de la base topologique.
La démonstration de "une suite converge ssi elle converge simplement" est facile à obtenir, cela revient à montrer qu'une suite dans l'espace produit converge ssi les suites formées par les coordonnées convergent. Et cela montre que les fermés de la topologie produit sont également fermés dans la topo de la convergence simple, donc que la topo convergence simple est plus fine que la topo produit : c'est la réciproque que je souhaite avoir : autrement dit, tout ensemble
qui est un fermé pour la topo de la CV simple est-il aussi un fermé pour la topo produit.
On arrive aisément au fait, dans la topo produit, que toute suite dans
et ayant une limite a sa limite dans
(cela tient à la définition même de la convergence simple), mais ceci ne permet de conclure que
est un fermé pour la topo produit que si cette topologie est à base dénombrable de voisinages.
J'ai essayé en supposant que
était à base dénombrable de voisinages, mais je n'arrive pas à obtenir cela pour
... et j'espérais également y arriver sans cette contrainte...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.
