montsegur a écrit:Quidam ne poste plus. Que se passe-t-il ?
Bon, j'arrive !
montsegur a écrit:z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :
y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)
et alors : y = f(x) = e^[1/ln(x)] que nous reportons dans z = y^x
Donc : z = { e^[1/ln(x)] }^x = e^[x/ln(x)] d'où : ln(z) = x/ln(x)
Je suis d'accord avec le début. Tu cherches à quelle condition Z' sera nul, parce que tu cherches un minimum. Bon ! Tu en déduis que s'il existe x0 qui annulle Z' alors, nécessairement, en ce point x0, on aura ln(z0) = x0/ln(x0). Je suis d'accord.
Mais tu continues par :
montsegur a écrit:z'/z = 1/ln(x) + ( x ) [ -1/(ln(x))² ] ( 1/x ) = [ 1/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ]
z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = 0 entraîne : 1 = 1/ln(x) et donc x = e
Donc : ln(y) = 1/ln(x) = 1/ln(e) = 1 cela donne y = e
Voilà enfin la démonstration que x = y = e
Et là, je ne suis plus d'accord !
La relation, vraie pour x0, ln(z0) = x0/ln(x0), n'est pas nécessairement vraie pour tout x ! Chercher à annuller la dérivée de la fonction
=\frac{x}{\ln(x)})
est sans rapport avec notre problème ! Admettons un instant que le minimum que nous cherchons est effectivement
et qu'il est obtenu pour
. Tu pourrais dire, par exemple, que
! Quel sens cela aurait-il de dériver la fonction
=e^x)
, sous prétexte que, par hasard,
=Z_{min})
, et de chercher pour quelle valeur de x elle s'annulle ? La dérivée de
n'est jamais nulle ! Pourquoi ne pas prendre aussi la fonction
=x^e)
, car il est également vrai que
 = Z_{min})
? La dérivée de
est
qui s'annulle en x=0 ! Quel rapport avec notre problème ? Aucun !
Le fait que ln(z0) = x0/ln(x0) ne t'autorise pas à dériver la fonction
, qui par hasard vérifie
=z0)
!
Par ailleurs, je rappelle, à nouveau, que ton problème spécifie bien x et y différents !
yos a écrit:Reste la possibilité dont parle quidam : se limiter à l'ouvert
J'en parle parce qu'il n'est question que de cela depuis le début ! Si l'on étudie l'évolution de
, on sait bien que cette fonction est minimale pour
, égale à
, inférieur à 1 (d'ailleurs
!) a fortiori inférieur à
dont nous nous échinons depuis une semaine à montrer que c'est une borne inférieure de
pour les couples (x,y) de nombre différents. Par conséquent le cas
doit être exclu de cette discussion, même si l'on parvient finalement à montrer (justement, je n'y suis pas encore parvenu non plus !) que lorsque
et que
alors
et qu'aucun autre couple (x,y) vérifiant
n'est tel que
!
montsegur a écrit:J'ai vérifié sur une calculatrice graphique que :
z = x^y = y^x = { e^[1/ln(x)] }^x
passe bien par le minimum e^e pour x = e
Donc la démonstration sur le post précédent est exacte.
L'affaire est donc classée.
Je pensais que nous étions d'accord sur le fait qu'une vérification graphique ne constituait nullement une preuve ! Pour moi, l'affaire n'est nullement classée !
