ironie cher yos ?
la pb est donc pour quel valeures x,y reeles distinctes a ton legalite x^y = y^x verifiée tel que x^y soit maximum : reponse il ny en a pas !
X^y = y^x
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par montsegur » 24 Mar 2006, 19:51
il y a un minimum de x^y = y^x lorsque x = y = e
Dès que x est différent de y avec :
x compris entre 1 et e et y compris entre e et l'infini
ou l'inverse en permutant x et y
x^y = y^x est supérieur à e^e
C'est une constataion numérique.
Le problème est de le démontrer.
Dès que x est différent de y avec :
x compris entre 1 et e et y compris entre e et l'infini
ou l'inverse en permutant x et y
x^y = y^x est supérieur à e^e
C'est une constataion numérique.
Le problème est de le démontrer.
par Mikou » 24 Mar 2006, 19:54
ce n'est pas le minimum si on prends x=y=1. par contre pour x et y distincts on peut montrer 'assez facilement' qu 'il ny a pas de max.
par montsegur » 24 Mar 2006, 21:03
J'ai commencé une démonstration, mais je n'abouti pas.
Si cela intéresse quelqu'un, je peux la poster.
A défaut d'autre chose, cela peut donner une piste,
mais je crains que ce soit une impasse.
Si cela intéresse quelqu'un, je peux la poster.
A défaut d'autre chose, cela peut donner une piste,
mais je crains que ce soit une impasse.
par yos » 24 Mar 2006, 21:25
Mikou a écrit:ironie cher yos ?
Pas le moins du monde pour une fois.
la pb est donc pour quel valeures x,y reeles distinctes a ton legalite x^y = y^x verifiée tel que x^y soit maximum : reponse il ny en a pas !
Non je ne parle pas de maximum, simplement de l'ensemble des couples (x,y) de réels positifs vérifiant x^y=y^x. Ca fait bien une courbe. A quoi elle ressemble?
par montsegur » 25 Mar 2006, 07:52
Je propose une piste :
z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Donc : [ln(x)]/x = [ln(y)]/y = a
D'où : ln(x) = a x et ln(y) = a y
Donc : ln(z) = y ln(x) = axy = x ln(y)
D'où : z = e^(axy)
Z' = y/x + ln(x) = x/y + ln(y) = 0
entraîne alors : ln(x) = -y/x et ln(y) = -x/y = 1/ln(x)
Donc : ay = ln(y) = 1/ln(x) = 1/ax d'où : y = 1/ (a²x)
D'où : z = e^(axy) = e^(ax/a²x) = e^(1/a)
Posons : y1 = ln(x) et y2 = a x ; alors : y'1 = 1/x et y'2 = a
Donc pour y'1 = y'2 on obtient : 1/x = a et donc : x = 1/a
D'où : ln(x) = ax entraîne ln(1/a) = a (1/a) = 1 donc 1/a = e
et a = 1/e ce qui entraîne que z = e^e
Au point x = e ; y1 = ln(x) = ln(e) = 1 et y2 = ax = (1/e) e = 1
Sur un graphique, on voit bien que y2 = ax ne coupe y1 = ln(x)
que pour a inférieur à 1/e
Autre graphique : y1 = a et y2 = x^(1/x)
ln(y2) = (1/x) ln(x) = z d'où : z' = (1/x²) [ ln(x) - 1 ]
z' = o entraîne x = e
y2 passe par un maximum = e^(1/e) pour x = e
Maintenant, y1 = a ne coupe y2 que pour a inférieur à e^(1/e)
Mais y2 a une asymptote en y2 = 1
Donc pour y2 compris entre 1 et e^(1/e)
l'axe des x est partagé en deux régions :
A^B = B^A pour lesquels :
A est compris entre 1 et e
B est compris entre e et l'infini
z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Donc : [ln(x)]/x = [ln(y)]/y = a
D'où : ln(x) = a x et ln(y) = a y
Donc : ln(z) = y ln(x) = axy = x ln(y)
D'où : z = e^(axy)
Z' = y/x + ln(x) = x/y + ln(y) = 0
entraîne alors : ln(x) = -y/x et ln(y) = -x/y = 1/ln(x)
Donc : ay = ln(y) = 1/ln(x) = 1/ax d'où : y = 1/ (a²x)
D'où : z = e^(axy) = e^(ax/a²x) = e^(1/a)
Posons : y1 = ln(x) et y2 = a x ; alors : y'1 = 1/x et y'2 = a
Donc pour y'1 = y'2 on obtient : 1/x = a et donc : x = 1/a
D'où : ln(x) = ax entraîne ln(1/a) = a (1/a) = 1 donc 1/a = e
et a = 1/e ce qui entraîne que z = e^e
Au point x = e ; y1 = ln(x) = ln(e) = 1 et y2 = ax = (1/e) e = 1
Sur un graphique, on voit bien que y2 = ax ne coupe y1 = ln(x)
que pour a inférieur à 1/e
Autre graphique : y1 = a et y2 = x^(1/x)
ln(y2) = (1/x) ln(x) = z d'où : z' = (1/x²) [ ln(x) - 1 ]
z' = o entraîne x = e
y2 passe par un maximum = e^(1/e) pour x = e
Maintenant, y1 = a ne coupe y2 que pour a inférieur à e^(1/e)
Mais y2 a une asymptote en y2 = 1
Donc pour y2 compris entre 1 et e^(1/e)
l'axe des x est partagé en deux régions :
A^B = B^A pour lesquels :
A est compris entre 1 et e
B est compris entre e et l'infini
par montsegur » 25 Mar 2006, 09:11
Dans le post précédant, j'ai fait les calculs en considérant
que x et y étaient indépendants ce qui est faux car x et y sont liés.
Je reprends donc les calculs avec y = f(x) :
z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :
y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)
Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e
Donc Z = ln(z) est extrémal pour : x = y = e et x = y = 1/e
Mais Z = ln(z) donc Z' = z'/z et alors : z' = z Z' soit :
z' = z [ y' ln(x) + y/x ] = z [ x/y) y' + ln(y) ]
Comme z n'est jamais nul, les extréma de Z sont aussi les extréma de z
x^y = y^x implique que x et y sont liés et donc que y = f(x)
Le calcul de z' = 0 par Z' = 0 nous donne ln(y) = 1/ln(x)
et donc nous en déduisons que y = f(x) = e^(1/ln(x))
x = y = 1/e donne Z = - e et z = (1/e)^(1/e)
x = y = e donne Z = + e et z = e^e
Graphiquement : x = y = e est valide,
alors que x = y = 1/e ne convient pas
Il faut donc justifier que seul : x = y = e est valide
pour que x^y = y^x soit minimum.
que x et y étaient indépendants ce qui est faux car x et y sont liés.
Je reprends donc les calculs avec y = f(x) :
z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :
y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)
Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e
Donc Z = ln(z) est extrémal pour : x = y = e et x = y = 1/e
Mais Z = ln(z) donc Z' = z'/z et alors : z' = z Z' soit :
z' = z [ y' ln(x) + y/x ] = z [ x/y) y' + ln(y) ]
Comme z n'est jamais nul, les extréma de Z sont aussi les extréma de z
x^y = y^x implique que x et y sont liés et donc que y = f(x)
Le calcul de z' = 0 par Z' = 0 nous donne ln(y) = 1/ln(x)
et donc nous en déduisons que y = f(x) = e^(1/ln(x))
x = y = 1/e donne Z = - e et z = (1/e)^(1/e)
x = y = e donne Z = + e et z = e^e
Graphiquement : x = y = e est valide,
alors que x = y = 1/e ne convient pas
Il faut donc justifier que seul : x = y = e est valide
pour que x^y = y^x soit minimum.
par yos » 25 Mar 2006, 11:29
montsegur a écrit:Il faut donc justifier que seul : x = y = e est valide
pour que x^y = y^x soit minimum.
Bizarre ton minimum.
par montsegur » 25 Mar 2006, 11:34
Yos dit : Bizarre ton minimum.
Ta réponse ne convient pas
car x et y ne sont pas indépendants
mais liés par x^y = y^x
Ta réponse ne convient pas
car x et y ne sont pas indépendants
mais liés par x^y = y^x
par yos » 25 Mar 2006, 12:35
montsegur a écrit:Yos dit : Bizarre ton minimum.
Ta réponse ne convient pas
car x et y ne sont pas indépendants
mais liés par x^y = y^x
Selon toi 2^2 n'est pas égal à 2^2 ??
par montsegur » 25 Mar 2006, 12:46
Hé Yos...
Agites les boyaux de la tête, les neurones, les synapses...
Tu ne vois clair dans ce problème.
Agites les boyaux de la tête, les neurones, les synapses...
Tu ne vois clair dans ce problème.
par yos » 25 Mar 2006, 14:02
montsegur a écrit:Hé Yos...
Agites les boyaux de la tête, les neurones, les synapses...
Tu ne vois clair dans ce problème.
Ca doit être ça.
par yos » 25 Mar 2006, 17:10
d'où : ln(y) = 1/ln(x)
Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e
T'es sûr de ça?
On trouve y= exp(1/lnx).
Je conviens que e et 1/e sont solutions mais le fait que ce soient les seules est pas immédiat. Cela dit ton minimum je le répète est peut-être bien obtenu en 1/e mais sûrement pas en e.
par montsegur » 25 Mar 2006, 18:24
Yos dit : T'es sûr de ça?
Réponse :
y = f(x) = e^(1/ln(x)) est la conséquence
du calcul des extréma de : x^y = y^x
Bien sûr que : ln(y) = 1/ln(x) est satisfait
par d'autres valeurs que e et 1/e
J'ai donc eu tord de dire que :
Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e
Mais une étude graphique m'a orienté vers ces valeurs
car elles sont des cas particuliers simples.
Les tracés de y1 = ln(x) et de y2 = a x ( avec a = 1/e voir post 23 )
nous montrent que seul e convient. Mais c'est une constattion
graphique, pas une démonstration mathématique.
Donc Yos, d'accord pour ta remarque. Nous devons encore chercher.
Réponse :
y = f(x) = e^(1/ln(x)) est la conséquence
du calcul des extréma de : x^y = y^x
Bien sûr que : ln(y) = 1/ln(x) est satisfait
par d'autres valeurs que e et 1/e
J'ai donc eu tord de dire que :
Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e
Mais une étude graphique m'a orienté vers ces valeurs
car elles sont des cas particuliers simples.
Les tracés de y1 = ln(x) et de y2 = a x ( avec a = 1/e voir post 23 )
nous montrent que seul e convient. Mais c'est une constattion
graphique, pas une démonstration mathématique.
Donc Yos, d'accord pour ta remarque. Nous devons encore chercher.
par montsegur » 25 Mar 2006, 22:41
Voilà enfin la démonstration :
z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :
y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)
et alors : y = f(x) = e^[1/ln(x)] que nous reportons dans z = y^x
Donc : z = { e^[1/ln(x)] }^x = e^[x/ln(x)] d'où : ln(z) = x/ln(x)
z'/z = 1/ln(x) + ( x ) [ -1/(ln(x))² ] ( 1/x ) = [ 1/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ]
z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = 0 entraîne : 1 = 1/ln(x) et donc x = e
Donc : ln(y) = 1/ln(x) = 1/ln(e) = 1 cela donne y = e
Voilà enfin la démonstration que x = y = e
Mais maintenant, il faut prouver que nous avons un minimum.
Pour cela, il nous faut calculer z"
si z" est positif pour x = e alors z est minimum
si z" est négatif pour x = e alors z est maximum
z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = z [ 1/ln(x) - 1/ln²(x) ] = z v
z" = v z' + z v' mais pour x = e on a z' = 0 donc z" = z v'
v = 1/ln(x) - 1/ln²(x) donc v' = -1/[x (ln(x)²)] + 2/[x (ln(x))^3]
et v' = [ 1/(x (ln(x)²) ] [ -1 + 2/ln(x) ] = 1/e pour x = e
Donc : z" = z v' = z/e mais z = e^[x/ln(x)] = e^e pour x = e
Finalement z" = (e^e)/e qui est positif. Donc z = x^y = y^x
est bien minimum pour x = y = e CQFD
z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :
y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)
et alors : y = f(x) = e^[1/ln(x)] que nous reportons dans z = y^x
Donc : z = { e^[1/ln(x)] }^x = e^[x/ln(x)] d'où : ln(z) = x/ln(x)
z'/z = 1/ln(x) + ( x ) [ -1/(ln(x))² ] ( 1/x ) = [ 1/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ]
z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = 0 entraîne : 1 = 1/ln(x) et donc x = e
Donc : ln(y) = 1/ln(x) = 1/ln(e) = 1 cela donne y = e
Voilà enfin la démonstration que x = y = e
Mais maintenant, il faut prouver que nous avons un minimum.
Pour cela, il nous faut calculer z"
si z" est positif pour x = e alors z est minimum
si z" est négatif pour x = e alors z est maximum
z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = z [ 1/ln(x) - 1/ln²(x) ] = z v
z" = v z' + z v' mais pour x = e on a z' = 0 donc z" = z v'
v = 1/ln(x) - 1/ln²(x) donc v' = -1/[x (ln(x)²)] + 2/[x (ln(x))^3]
et v' = [ 1/(x (ln(x)²) ] [ -1 + 2/ln(x) ] = 1/e pour x = e
Donc : z" = z v' = z/e mais z = e^[x/ln(x)] = e^e pour x = e
Finalement z" = (e^e)/e qui est positif. Donc z = x^y = y^x
est bien minimum pour x = y = e CQFD
par montsegur » 26 Mar 2006, 11:09
Il est possible que ma démonstration soit fausse.
Critiques et corrections sont les bienvenues.
Critiques et corrections sont les bienvenues.
par montsegur » 27 Mar 2006, 11:25
Je viens de vérifier sur la calculatrice TI-92 que :
z = x^y = y^x = { e^[1/ln(x)] }^x
passe bien par le minimum e^e pour x = e
Donc la démonstration du post précédent est exacte.
L'affaire est donc classée.
z = x^y = y^x = { e^[1/ln(x)] }^x
passe bien par le minimum e^e pour x = e
Donc la démonstration du post précédent est exacte.
L'affaire est donc classée.
par montsegur » 27 Mar 2006, 19:16
J'ai vérifié sur une calculatrice graphique que :
z = x^y = y^x = { e^[1/ln(x)] }^x
passe bien par le minimum e^e pour x = e
Donc la démonstration sur le post précédent est exacte.
L'affaire est donc classée.
z = x^y = y^x = { e^[1/ln(x)] }^x
passe bien par le minimum e^e pour x = e
Donc la démonstration sur le post précédent est exacte.
L'affaire est donc classée.
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