X^y = y^x

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
montsegur
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x^y = y^x

par montsegur » 20 Mar 2006, 07:36

x^y = y^x pour x différent de y :

y a-t-il des solutions et si oui combien ?



Quidam
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par Quidam » 20 Mar 2006, 11:08

montsegur a écrit:x^y = y^x pour x différent de y :

y a-t-il des solutions et si oui combien ?

Oui, il y a des solutions. et il y en a une infinité. Je me restreins aux solutions pour lesquelles x et y sont positifs :

est équivalent à soit à :

La fonction f définie sur R+* par est croissante sur elle croît de à . Elle est ensuite décroissante sur : elle décroît de à 0.

Par conséquent quel que soit tel que , la droite d'équation coupe le graphe de f en deux points distincts d'abscisses et et l'on constate que , ce qui montre que .

Un exemple est , solution positive du problème plus restreint posé et résolu récemment dans ces colonnes !

montsegur
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par montsegur » 20 Mar 2006, 11:17

Bravo Quidam.
C'est exactement ce que j'ai trouvé,
avec la même démonstration,
il y a de cela plusieurs années.
Je suis quand même stupéfait de voir que deux personnes,
ne se connaissant pas, trouvent exactement la même démonstration,
d'autant plus que je n'ai jamais publié la mienne.
J'ai trouvé aussi une autre démonstration qui abouti au même résultat.
La réponse étant exacte et dédinitive,
il n'y a plus rien à ajouter sauf les félicitations.

Quidam
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par Quidam » 20 Mar 2006, 11:29

montsegur a écrit:Bravo Quidam.
C'est exactement ce que j'ai trouvé,
avec la même démonstration,
il y a de cela plusieurs années.
Je suis quand même stupéfait de voir que deux personnes,
ne se connaissant pas, trouvent exactement la même démonstration,
d'autant plus que je n'ai jamais publié la mienne.
J'ai trouvé aussi une autre démonstration qui abouti au même résultat.
La réponse étant exacte et dédinitive,
il n'y a plus rien à ajouter sauf les félicitations.

Merci ! Navré de n'avoir pas été aussi dithyrambique envers toi, que moi à ton égard dans http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=13436
Peut-être la prochaine fois...

montsegur
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par montsegur » 20 Mar 2006, 11:38

Tu as bien fait de parler franchement.
Cela permet de savoir ce que pense réellement les personnes.
De plus, cela ne me gêne pas du tout, au contraire.
Je ne suis pas susceptible, j'accepte volontier la critique
et je reconnais mes erreurs. Personne n'est infaillible.
En toutes circonstances, il convient de pratiquer l'humilité.

montsegur
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par montsegur » 21 Mar 2006, 07:25

J'ai oublié de demander ceci :
Y a-t-il un extémum (min ou max) pour x^y = y^x
Si oui, pour quelles valeurs de x et y
et quelle est la valeur de cet extremum ?

Quidam
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par Quidam » 21 Mar 2006, 14:42

montsegur a écrit:J'ai oublié de demander ceci :
Y a-t-il un extémum (min ou max) pour x^y = y^x
Si oui, pour quelles valeurs de x et y
et quelle est la valeur de cet extremum ?


Lorsque , et . Par conséquent et . Il n'est pas borné.

Je ne parviens pas à trouver comment étudier la fonction proprement. Cependant il semble d'après les essais que j'ai faits que cette fonction est décroissante. Elle semble donc décroître de à , valeur qui apparaît donc comme un minimum. Mais je ne l'ai pas démontré ! Alors, c'est peut-être plus compliqué...

montsegur
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par montsegur » 21 Mar 2006, 14:49

La réponse est exacte.
Il y a minimum pour x = y = e
et donc ce minimum est e puissance e.

Encore bravo et félicitations.

Quidam
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par Quidam » 21 Mar 2006, 14:52

montsegur a écrit:La réponse est exacte.
Il y a minimum pour x = y = e
et donc ce minimum est e puissance e.

Encore bravo et félicitations.


L'as-tu démontré ou simplement constaté sur quelques essais comme moi ? Si tu l'as démontré, je suis curieux de savoir comment !

Merci d'avance !

Je rectifie en précisant quand même que puisque le problème consiste à trouver deux nombre distincts tels que , la réponse x=e, y=e n'est pas valable (si l'on autorise x et y à être égaux, alors n'importe quel réel positif vérifie !). Par conséquent l'ensemble des solutions n'a pas de minimum. On peut s'approcher autant que l'on veut de mais on ne l'atteint pas, en tous cas pas si ma fonction est effectivement décroissante, ce que je n'ai pas prouvé !

montsegur
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par montsegur » 21 Mar 2006, 14:55

Je l'ai démontré, mais il y a de cela très longtemps.
Il faut donc que j'aille fouiller dans mes archives
manuscrites. Je vais voir et je te tiens au courant.

montsegur
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par montsegur » 21 Mar 2006, 20:58

J'ai fouillé mes archives manuscrites et je n'ai pas retrouvé
la démonstration. J'ai tellement d'archives un peu partout que
j'ai bien de la difficulté à retrouver un sujet que j'ai étudié.
Si lors d'autres fouilles, je retrouve la démonstration, je te
ferais signe. Curieusement, je ne me souviens plus comment
j'ai fait et je suis aujourd'hui incapable de refaire la démonstration.
En vieillisant le cerveau lent...

Quidam
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par Quidam » 21 Mar 2006, 23:28

montsegur a écrit:En vieillisant le cerveau lent...


À qui le dis-tu !

montsegur
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par montsegur » 21 Mar 2006, 23:36

Ok, alors nous sommes de vieux croutons...
Mais... chuuuttt... il ne faut pas le répéter...

montsegur
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par montsegur » 23 Mar 2006, 22:03

Quidam dit :
L'as-tu démontré ou simplement constaté sur quelques essais comme moi ?
Si tu l'as démontré, je suis curieux de savoir comment !

Réponse :
Après avoir fait d'autres recherches dans mes archives,
je n'ai pas retrouvé le manuscrit. J'ai retrouvé des notes,
jointes à un programme d'une ancienne calculatrice programmable,
qui n'apportent rien de nouveau.
J'ai fait les calculs entre 1976 et 1979 lorsque je travaillais
aux télécommunications. Il est fort possible que ma démonstration
du minimum soit seulement numérique, mais je ne me souviens pas
très bien. Tant que je n'aurais pas retrouvé le manuscrit,
je serais dans l'incertitude.
Donc la réponse reste en attente...

Mikou
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par Mikou » 23 Mar 2006, 22:29

quel est le pb ? je suis un peu perdu. Est-ce trouver le minimum de ou x et y sont deux reels positifs et disctincts ? si oui il est evident que le minimum est 0, si x,y sont non distincts alors on a
on peut etudier seulement puis deriver pour montrer que le minimum est atteint pour x =

Quidam
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par Quidam » 23 Mar 2006, 22:54

Mikou a écrit:quel est le pb ? je suis un peu perdu. Est-ce trouver le minimum de ou x et y sont deux reels positifs et disctincts ? si oui il est evident que le minimum est 0, si x,y sont non distincts alors on a
on peut etudier seulement puis deriver pour montrer que le minimum est atteint pour x =


Tu fais erreur, il ne s'agit pas de cela !

Il faut trouver si l'ensemble des valeurs de x^y parmi les couples x,y de nombres distincts tels que x^y = y^x a un minimum et lequel. Je conjecture que la fonction qui à un nombre alpha associe la valeur x1^x2, x1 et x2 étant les deux nombres positifs vérifiant ln(x)/x = alpha, ce qui a pour conséquence que x1^x2=x2^x1, est décroissante. Si c'est le cas, alors lorsque alpha croît de 0 à 1/e, x1^x2 décroît de + l'infini à e^e, mais ne l'atteint pas. e^e serait alors une borne inférieure, mais pas un minimum.

Tout cela repose sur une conjecture, alimentée par quelques test numériques, et non sur une démonstration : telle est la question ! Si tu as une démonstration, elle sera la bienvenue !

montsegur
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par montsegur » 23 Mar 2006, 23:03

Je propose la démonstration suivante :

z = x^y = y^x ; Ln(z) = y Ln(x) = x Ln(y) = Z

Z' = y/x + Ln(x) = x/y + Ln(y) = 0

Ce qui donne : Ln(x) = -y/x et Ln(y) = -x/y

Donc Ln(x) = 1/Ln(y)

Cette égalité a pour solutions :

x = y = 1/e et x = y = e

Cette démonstration est-elle valable ?

Mikou
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par Mikou » 23 Mar 2006, 23:11

il 'suffit' de montrer que x^y = x^y si et seulement si lnx / x = ln y / y est minimum non ?

Quidam
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par Quidam » 24 Mar 2006, 16:38

Mikou a écrit:il 'suffit' de montrer que x^y = x^y si et seulement si lnx / x = ln y / y est minimum non ?

Ben non, cela ne suffit pas, et ce n'est pas nécessaire non plus !

yos
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par yos » 24 Mar 2006, 20:09

Bonjour.
Ca vole haut dans ce café.
Ce qui est intéressant aussi, c'est d'étudier la courbe de R+² d'équation x^y=y^x.
A noter qu'elle contient la demi-droite D d'équation y=x et qu'elle est symétrique par rapport à D. Et à part ça???

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