0^0 = 1

[beagle]

il y a la réponse école primaire de beagle.

celle de wiki est plus maths:
"La convention 0;) = 1 est utilisée dans un cadre abstrait plus large, par exemple pour identifier le polynôme X;) avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie des ensembles, la notation 0;) peut représenter le nombre d'éléments de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même et donc valoir 1.

Cependant, l'application , bien définie sur n'admet pas de prolongement par continuité en (0,0) ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité."

Et aussi ici:
http://faq.maths.free.fr/html/node26.html

[M@thIsTheBest]

Bon, toi et moi, on va redéfinir la notion de puissance, tu vas voir où ça coince.

........ .

Tout à fait d'accord, et le problème c'est qu'aux lycées, on n'enseigne pas l'histoire de ces trucs là(l'ordre chronologique..), par conséquent, parfois on démontre une définition ou une propriété par un corollaire ou une conclusion issue à l'origine de la définition même... .

[beagle]

Tout à fait d'accord, et le problème c'est qu'aux lycées, on n'enseigne pas l'histoire de ces trucs là(l'ordre chronologique..), par conséquent, parfois on démontre une définition ou une propriété par un corollaire ou une conclusion issue à l'origine de la définition même... .

ouais, mais j'ai encore bien du mal à faire la différence entre une définition, une convention, et une déduction qui est proche de démonstration.
or dès lors que l'on définit les puissances positives et négatives, on sait calculer à la puissance zéro qui n'existe pas mais dont on connait le résultat par calcul, cela me dépasse de dire que c'est juste une convention, m'enfin !

[Dlzlogic]

En tout cas, x^0 = 1 était déjà une convention il y a 50 ans, sauf si x = 0. Mais pour moi, à mon petit niveau, qu'on l'appelle définition au lieu de convention, et qu'ensuite on montre que c'est justifié, me convient.

[beagle]

ben moi quelque chose qui n'existe pas au départ, mais est créé dès lors que l'on utilise l'addition et la soustraction, dès que l'on utilise du +et du -, cela revient àcréer l'existence de zéro, et cette existence on la calcule facilement.Et pourquoi un calcul serait une convention?

[Skullkid]

Salut beagle, la différence entre une convention et une définition n'est pas vraiment tranchée, ça dépend surtout de ce qu'on a en tête en produisant l'énoncé concerné. La plupart du temps, on définit un concept qui s'applique à "quasiment tous les cas", et il y a un cas limite qui ne rentre pas dans la définition. On choisit alors d'étendre la définition à ce cas limite par une convention, qu'on justifie par le fait qu'elle "se comporte bien" dans la totalité ou au moins la grande majorité des cas.

Ici, on part d'une définition mathématique de "a à la puissance b" qui ne s'applique pas lorsque a = b = 0. Donc a priori 0^0 n'a tout simplement pas de sens (mais x^0 = 1 pour x non nul est couvert par les définitions, ce n'est pas une convention). On choisit donc une convention pour donner un sens à 0^0. Le fait qu'on choisisse 1 c'est pour que le choix soit cohérent avec la limite de x^x quand x tend vers 0+, le nombre d'applications du vide dans lui-même, le fait que n'importe quel réel non nul élevé à la puissance 0 fasse 1, ... Mais ce choix n'est pas cohérent avec le fait que 0 élevé à n'importe quelle puissance non nulle vaut 0, tant pis, on ferme les yeux là-dessus. Au final ça a surtout un impact cosmétique, ça évite de devoir traiter systématiquement à part les cas où 0^0 pourrait apparaître. Dans tous les cas, aucune définition mathématique générale de la puissance ne couvre le cas 0^0.

Dans le même genre, la valeur de 0!, le degré du polynôme nul et les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble vide sont fixés par convention. On pourrait aussi choisir une valeur pour 1/0 par exemple, on le fait pas parce qu'il n'y a aucune valeur qui se comporte vraiment bien.

[beagle]

"mais x^0 = 1 pour x non nul est couvert par les définitions, ce n'est pas une convention"

je ne conteste pas pour 0^0, que cela fasse ce qui arrange selon ce que l'on bosse, dans la mesure où je l'ai dit, je vois mal que cela découle d'une égalisation par des divisions de puissances de zéro.

S'agissant de x^0 , je ne vois pas pourquoi c'est une définition et non pas un calcul résultant du cas bilan de puissances positives et négatives, je sais à partir des définitions pour puissances non nulles positives et négatives, calculer par exemple: 7x7/7x7 cela fait 1 par calcule, pas par définition, m'enfin je vais pas me battre avec ça!

[Skullkid]

J'aurais dû dire "par les définitions avancées", à savoir celles avec les exponentielles. Si tu prends la définition "a à la puissance b est le résultat de la multiplication de a par lui-même b fois", qui en effet ne couvre pas x^0 avec x non nul, tu dois recourir à une convention pour fixer la valeur de x^0. Et tu choisis 1 parce que c'est cohérent avec la formule qui dit que a^(b+c) = a^b*a^c, que tu n'as démontrée que lorsque a est non nul. Tu choisis la convention parce qu'elle se comporte bien vis-à-vis de ce que tu sais déjà, tu ne peux pas la prouver pas par calcul (tu ne peux pas faire de calcul sur des objets que tu n'as pas définis), tu ne peux au mieux que la justifier, sauf si bien sûr tu trouves un moyen d'étendre mathématiquement tes définitions (ce qu'on peut faire avec les exponentielles par exemple).

[beagle]

J'aurais dû dire "par les définitions avancées", à savoir celles avec les exponentielles. Si tu prends la définition "a à la puissance b est le résultat de la multiplication de a par lui-même b fois", qui en effet ne couvre pas x^0 avec x non nul, tu dois recourir à une convention pour fixer la valeur de x^0. Et tu choisis 1 parce que c'est cohérent avec la formule qui dit que a^(b+c) = a^b*a^c, que tu n'as démontrée que lorsque a est non nul. Tu choisis la convention parce qu'elle se comporte bien vis-à-vis de ce que tu sais déjà, tu ne peux pas la prouver pas par calcul (tu ne peux pas faire de calcul sur des objets que tu n'as pas définis), tu ne peux au mieux que la justifier, sauf si bien sûr tu trouves un moyen d'étendre mathématiquement tes définitions (ce qu'on peut faire avec les exponentielles par exemple).

le beagle ne lache jamais son os!
Bon alors,on définit les puissances avec entier positifs, puis avec entiers négatifs,
puis on définit x^k . x^-k = x^(k-k)=x^0 comme tout le reste!

Et voilà, pas besoin de x^0=1 par définition!

[Skullkid]

Ce que tu écris correspond pourtant à définir x^0 = 1 par convention.

Tu as une définition qui couvre x^k et x^(-k) avec k entier non nul, donc tu sais calculer x^k*x^(-k) qui vaut 1. Mais si tu n'as pas défini x^0 tu ne peux pas parler de x^(k-k) ! Et évidemment tu n'as pas pu prouver que x^k*x^(-k) est égal à x^(k-k) puisque x^(k-k) est un objet qui n'a pas encore de définition. Ce que tu as pu prouver, sans avoir recours à la convention, c'est que si a et b sont des entiers et que a+b est non nul alors x^a*x^b = x^(a+b). Pour des raisons esthétiques, on a bien envie que cette formule soit également vraie si a+b = 0, donc on définit x^0 de sorte que x^a*x^(-a) = x^0. Or x^a*x^(-a) = 1 quel que soit l'entier a, donc on pose la convention x^0 = 1.

Tu peux me répondre que ça paraît tellement naturel d'avoir x^(a-a) = x^a*x^(-a) qu'on ne devrait pas avoir à se poser la question, mais ce n'est qu'une justification par l'intuition (qui d'ailleurs n'est pas partagée par tout le monde, il y a des collégiens qui ont du mal à accepter que 2^0 = 1). Cette même intuition qui pousse certains à écrire que -1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1.

[beagle]

"Ce que tu écris correspond pourtant à définir x^0 = 1 par convention."

voui, mais je préfère dire que la convention c'est: x^k . x^-k = x^(k-k) !!!!!

après c'est pas de ma faute et c'est pas de la convention, si le membre de gauche fait 1 et l'autre calcul (k-k)fait 0

Bon merci à Night et à toi skullkid pour votre patience.
Qui je l'espère profitera à d'autres lecteurs également!

va falloir aussi que je regarde pourquoi j'ai pas encore bossé cela avec ma fille,
enfin pas sous cette forme avec des définitions.

[beagle]

donc on peut définir le x^0 grace au zéro bilan, le k-k,
mais pouvait-on le définir dès le début par le zéro qui n'est rien, qui n'est pas,
Si la puissance de x est une multiplication,
le k de puissance indique le nombre de fois où l'on multiplie x par lui-mème,
si la puissance zéro est une multiplication,
et que cette multiplication ne multiplie jamais de fois x,
alors je suis une multiplication qui ne change rien,
je suis l'élément neutre de la multiplication,
on peut donc dès le début définir que c'est 1 pour cette raison.

ma question est comment fait-on pour la multiplication par zéro?
cela me semble assez proche,
la multiplication comme addition répétée,
multiplier par zéro, zéro fois quelque chose,
c'est une addition où je vais prendre zéro fois ce que je multiplie,
je suis une addition qui ne change rien,
je suis l'élément neutre de l'addition,
donc zéro fois quelque chose est zéro.
A-t-on le mème genre de soucis de définition dans ce cas de 0 fois quelque chose ou non?
Ou bien passe-ton par un autre chemin pour dire c'est zéro et je n'avais pas à le définir?

[Skullkid]

donc on peut définir le x^0 grace au zéro bilan, le k-k,
mais pouvait-on le définir dès le début par le zéro qui n'est rien, qui n'est pas,
Si la puissance de x est une multiplication,
le k de puissance indique le nombre de fois où l'on multiplie x par lui-mème,
si la puissance zéro est une multiplication,
et que cette multiplication ne multiplie jamais de fois x,
alors je suis une multiplication qui ne change rien,
je suis l'élément neutre de la multiplication,
on peut donc dès le début définir que c'est 1 pour cette raison.

Oui au final c'est toi qui choisis tes définitions, mais fais bien la différence entre une justification intuitive et une preuve (la première consiste à dire "ça me paraît logique", la deuxième consiste à partir de définitions préexistantes et faire un raisonnement logique).

ma question est comment fait-on pour la multiplication par zéro?
cela me semble assez proche,
la multiplication comme addition répétée,
multiplier par zéro, zéro fois quelque chose,
c'est une addition où je vais prendre zéro fois ce que je multiplie,
je suis une addition qui ne change rien,
je suis l'élément neutre de l'addition,
donc zéro fois quelque chose est zéro.
A-t-on le mème genre de soucis de définition dans ce cas de 0 fois quelque chose ou non?
Ou bien passe-ton par un autre chemin pour dire c'est zéro et je n'avais pas à le définir?

Le cadre naturel des "multiplications" c'est les anneaux. Et on peut prouver dans ce cadre que la définition d'un anneau (un ensemble muni de deux lois : une addition commutative, associative telle que tout élément admet un opposé et qui admet un neutre, et une multiplication associative, distributive par rapport à l'addition et qui admet un neutre) implique que 0 multiplié par n'importe quel élément de l'anneau donne 0. C'est parce que la multiplication a de "bonnes" propriétés que la puissance n'a pas (typiquement la distributivité). Bien sûr, lorsqu'on introduit la multiplication en primaire, on pose par définition que 0 fois n'importe quoi égale 0, et on justifie ça comme tu l'as fait.

[beagle]

OK, merci, donc on s'en sort autrement pour la multiplication,
car aurait pu ètre indéfini:
-le 0 fois 7, où je dois prendre 0 fois le 7 pour additionnner (multiplication est addition répétée)
comme on refuse ici que soit défini le tout à fait symétrique:
- 7 puissance 0, où je dois prendre 0 fois le 7 pour multiplier (puissance est multiplication répétée)

et on aurait très bien pu dire que la commutativité ne s'applique pas car ce n'est pas défini dans l'autre sens,...