X² - x - 1 = 0 ?

[Lostounet]

En fait t'es parti de
x² - 10 = 0
et t'as fait 10 lignes qui se résument à multiplier par (x-3), et obtenir
(x-3)(x²-10) = 0,
soit x³ -3x² -10x + 30 = 0.

Je vois rien de magique, à part que t'as totalement complexifié l'équation de départ.

Le but n'était certainement pas de vous exposer ma "démarche", mais simplement de vous demander comment passer d'un polynôme de degré 3 à un autre de degré 2.

Attention toutefois, question de vocabulaire : polynôme et fonction polynomiale sont des termes différents. Au lycée, on ne voit que les fonctions polynomiales

Je ne suis qu'en collège malheureusement. :triste:

Ca n'a rien d'un "phénomène" : cela revient à multiplier ton équation de départ par (x-3) (vérifie-le !), c'est pourquoi l'équation obtenue admet les mêmes solutions que l'équation de départ + une troisième qui est 3.

Encore, si une équation de degré 3 est une forme d'une équation de degré 2, alors celle de degré 2 est une forme d'équation de degré 1.

J'ai vraiment un problème de définition :--:

[Anonyme]

Ah bon ? :hein:

Bien entendu !
Une fonction polynomiale est une fonction P définie sur R (de la forme anx^n...)
alors qu'un polynôme à une indéterminée à coefficients dans K toute suite presque nulle d'éléments de K.

[Mathusalem]

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Le but n'était certainement pas de vous exposer ma "démarche", mais simplement de vous demander comment passer d'un polynôme de degré 3 à un autre de degré 2.
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Salut :)

Tu es d'accord que 1 peut se noter comme x/x, x^2/x^2, x^3/x^3 etc... (oui ce n'est pas tout à fait exact à cause de l'indetermination en x = 0..)

Bref, si tu peux passer d'un polynôme de degré 3 à un polynôme de degré 2, c'est que forcément ce polynôme était de degré 2 réellement, de manière masquée. En gros, t'as défriché l'écriture pour arriver à la vraie forme du polynôme.

[Lostounet]

Salut

Tu es d'accord que 1 peut se noter comme x/x, x^2/x^2, x^3/x^3 etc... (oui ce n'est pas tout à fait exact à cause de l'indetermination en x = 0..)

Bref, si tu peux passer d'un polynôme de degré 3 à un polynôme de degré 2, c'est que forcément ce polynôme était de degré 2 réellement, de manière masquée. En gros, t'as défriché l'écriture pour arriver à la vraie forme du polynôme.

Salut

Ah, je vois.
Mais comment le reconnaitre? :triste:
Merci de ta réponse

[Selmak]

Salut

Ah, je vois.
Mais comment le reconnaitre? :triste:
Merci de ta réponse

En essayant de le factoriser !
Ici, en factorisant par (x-3).

[Nightmare]

Bien entendu !
Une fonction polynomiale est une fonction P définie sur R (de la forme anx^n...)
alors qu'un polynôme à une indéterminée à coefficients dans K toute suite presque nulle d'éléments de K.

Qui est K? Si K=R (ce qui est le cas ici, vu le niveau du posteur et ta definition d'une fonction polynomiale), on a bien polynome = fonction polynomiale.

As-tu un exemple ou ce n'est plus vrai?

[Anonyme]

Si K=C.... Il est d'usage de noter K les ensembles R ou C...

[Ben314]

Si K=C.... Il est d'usage de noter K les ensembles R ou C...

En ce qui concerne la distinction fonctions polynômes/polynômes formels, prendre K= ne marche toujours pas : il y a aussi "égalité" entre les deux notions.
Il faut prendre un autre K (qui n'est ni , ni , ni , ni mais... )

[lapras]

Prenons dans Z/pZ le polynome x^p-x. Ce n'est pas le polynome nul mais pourtant sa fonction polynomiale est nulle par le petit théoreme de fermat.

[Nightmare]

Si K=C.... Il est d'usage de noter K les ensembles R ou C...

No comment ( a part "no comment" )

[Anonyme]

No comment ( a part "no comment" )

Je ne te suis pas...

[Benjamin]

Titux, à chaque polynôme P de A[X], A un anneau, on définit la fonction polynomiale associée comme l'application de A dans A qui à x associe P(x). Quand A = R ou C (ou Z ou Q comme l'a dit Ben), une application polynomiale est associée à un et un seul polynôme, d'où le fait que sur ces ensembles, on "confonds" les 2.

[Ben314]

Ben, ce que dit Nightmare, c'est que le "Il est d'usage de noter K les ensembles R ou C..." ben c'est trés trés trés relatif comme truc.
Il "est d'usage" de noter K
- Une constante (par exemple d'intégration).
- Un corps quelconque (que ce soit R, C, Q, Fq, ou d'autres)
- Un compact dans un espace topologique.
.
.
.

[Anonyme]

K est donc un anneau commutatif ?

[Ben314]

Si tu commence un article par :
"Soit K un anneau commutatif"
alors, dans cet article, K est... un anneau commutatif (étonant non !)

Par contre, si tu commence ton article par :
"Soit K un espace topologique compact"
alors, dans cet article, K est... un espace topologique compact (surprenant isn't it)

(Le grand classique), si tu fait de la K-théorie, la lettre K désigne la fonction qui à un espace topologique associe le(s) groupe(s) décrivant certaines propriétée de ton espace topologique.

[Nightmare]

c'etait surtout "no comment" vis-a-vis du pseudo contre-exemple... Encore une fois, il y a un probleme de niveau.

[Anonyme]

Tu insinues que je n'ai pas le niveau et que je ferais mieux de me taire ?

[Le_chat]

Bon pour revenir au problème de Lostounet:

Déjà un polynôme de degré 2 c'est un truc de la forme ax^2+bx+c, et un polynôme de degré 1 c'est un truc de la forme ax+b


Dans tous tes problèmes tu t'es intéressé aux polynômes dans R.
Je ne sais pas si cela répondra entièrement à tes questions sur le fait de ramener un polynôme de degré 3 à un polynôme de degré 2, mais:

j'ai cru comprendre qu'en fait ce que tu faisais n'était, au fond, qu'une factorisation. Tu fais:
(x^2-10)(x-3)=0-->x^3-3x^2-10x+30=0
Et il me semble que ce qui t'intéresse alors, c'est l'autre sens: x^3-3x^2-10x+30=0-->(x^2-10)(x-3)=0

En fait, comme on bosse dans les réels, on montre que n'importe quel polynôme peut s'écrire comme produit de polynômes du second degré et du premier degré.( ça peut paraitre un peu barbare mais en fait c'est simple, cela signifie juste que tout polynôme de degré supérieur ou égal à 3 pourra toujours être simplifié en polynômes de degrés 2 et 1)

Évidement, cette factorisation de polynômes est parfois vraiment compliquée à trouver... essaye (enfin rend toi compte de la difficulté ) de "factoriser" x^3+2x+1

A remarquer: les polynômes de degré 2 sont un peu spéciaux.
Dans R on peut en mettre certains sous forme d'un produit de deux polynômes de degré 1, comme x^2+2x+1.
En effet, x^2+2x+1=(x+1)(x+1)
Mais il y en a d'autres, comme x^2+1, qu'on ne sait pas factoriser dans R.

Comme tu as l'air d'avoir déjà entendu parler de discriminant, si tu veux savoir si on peut simplifier un polynôme de degré 2, regarde son discriminant: si il est négatif, tu ne peux pas, sinon c'est bon :)

[Lostounet]

Merci beaucoup pour ta réponse! :happy3:

Évidement, cette factorisation de polynômes est parfois vraiment compliquée à trouver... essaye (enfin rend toi compte de la difficulté ) de "factoriser" x^3+2x+1

Salut
Mes vaines tentatives à vouloir mettre x en facteur... :--: :ptdr:
Je ne pense pas avoir le niveau

En fait, comme on bosse dans les réels, on montre que n'importe quel polynôme peut s'écrire comme produit de polynômes du second degré et du premier degré.( ça peut paraitre un peu barbare mais en fait c'est simple, cela signifie juste que tout polynôme de degré supérieur ou égal à 3 pourra toujours être simplifié en polynômes de degrés 2 et 1)

Pourquoi? :doh:
J'ai lu ça quelque part, mais je ne vois pas pourquoi.

Mais il y en a d'autres, comme x^2+1, qu'on ne sait pas factoriser dans R.

Mais sur C, en revanche :zen:


Pour le reste, j'ai compris. Tout est bon .

Un autre problème: Je ne sais plus pourquoi on ne peut factoriser si le discriminant est négatif. (J'ai oublié, excusez-moi :triste: )

[Billball]

Un autre problème: Je ne sais plus pourquoi on ne peut factoriser si le discriminant est négatif. (J'ai oublié, excusez-moi :triste: )

on peut mais dans C po dans R