Theoreme d'incompletude

[Pafapafadidel]

Bonjour a tous!

J'ai récemment lu sur wikipedia la preuve du théoreme d'incomplétude de Godel ([url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'incomplétude_de_Gödel]lien[/url]), et certains détails m'échappent. Essentiellement, l'article parle de N comme du "modele standard de l'arithmétique" et l'utilise dans la suite pour camper ses hypotheses sur la théorie considérée. En gros, certains trucs vrais dans N doivent etre prouvables dans cette theorie. Mais alors, si ce N est un modele, il vient donc lui meme d'une théorie, a fortiori d'une theorie qui "formalise l'arithmétique" elle aussi, et donc qui est concernée elle meme dans le théoreme d'incomplétude. Comment peut on ainsi parler de trucs vrais dans N en dehors de toute théorie, alors qu'on a besoin par exemple de ZFC (elle meme concernée par le théoreme d'incomplétude) pour définir N?


Désolé pour le manque de clarté, et merci d'avance de vos réponses!

[Ben314]

Salut,
Justement, le théorème commence par :
"Dans n'importe quelle théorie...capable de « formaliser l'arithmétique »"
Il s'appliqe donc évidement à la théorie de Peano, mais aussi à ZF.
Le théorème (et la preuve) ne parle donc pas de "trucs vrais dans N en dehors de toute théorie", mais de trucs vrai dans toute théorie suffisement grosse pour que dans n'importe quelle modèle de cette théorie on puisse trouver un modèle de N.

[Pafapafadidel]

Certes, mais le modele de N n'est il pas sensé changer selon la théorie considérée,un peu comme pour le cas de R qui pourrait etre de cardinal aleph 1 ou de cardinal aleph 5 selon si on inclut HC a ZFC ou pas? Ce N n'étant pas forcément unique, lequel choisit on pour mettre en pratique la démonstration du théoreme d'incomplétude?

[Ben314]

Certes, mais le modele de N n'est il pas sensé changer selon la théorie considérée,un peu comme pour le cas de R qui pourrait etre de cardinal aleph 1 ou de cardinal aleph 5 selon si on inclut HC a ZFC ou pas? Ce N n'étant pas forcément unique, lequel choisit on pour mettre en pratique la démonstration du théoreme d'incomplétude?

Bien sûr que le modèle n'est pas "le même" dans chaque théorie, mais la preuve n'utilise QUE les axiomes de N qui, par définition, sont vrais dans tout les modèles de N, donc le résultat du théorème est vrai dans tout les modèles de N.

C'est exactement comme lorsque tu montre par exemple que l'ensemble des nombres premiers de N ne peut pas être mis en bijection avec une partie {1..n} de N : si tu le montre en utilisant uniquement les axiomes de N cela prouvera que c'est vrai dans tout les modèles de N.
Même chose pour ton exemple concernant R : il y a des tas de modèles de R, mais, par exemple, dans absolument tout ces modèles, le théorème des accroissements finis est vrai vu que pour le démontrer, on n'utilise QUE les axiomes de R et que ces derniers sont vrais dans tout modèle.

[Pafapafadidel]

Compris! Clair et efficace, comme d'habitude. Merci Ben!