Bonjour!
Inspiré par le test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne, j’ai formulé l’affirmation suivante :
Soit
où
Soit
avec
. Alors
est premier si et seulement si
.
Vous pouvez faire ce test
ici.
Preuve de la suffisance.J’ai essayé d’imiter la preuve de Bruce du test de Lucas-Lehmer. Laissez
et
. Il est alors possible de montrer (par induction) que
. Donc
divise
signifie qu’il y a un entier
tel que
.Multiplié par
donne
La quadrature des deux côtés de cette égalité donne
^2 \tag{2})
Pour preuve par contradiction, supposons que
est composé et choisissez un de ses diviseurs premiers
qui n’est pas supérieur à sa racine carrée. Considérons le groupe
de tous les nombres
modulo
qui sont inversables. Le groupe
a au plus des éléments
. En affichant
modulo
, les égalités (1) et (2) ci-dessus deviennent
et
.
Nous avons donc montré que l’ordre de
divise
. Afin de compléter la preuve, nous devons montrer que
)
est exactement
mais je ne vois pas pourquoi cela devrait être le cas. Est-il possible de montrer que
 =4 \cdot 3^{n})
? Est-il possible de prouver la suffisance de la revendication par une autre méthode?
