Technique pour prouver une inégalité

[isenki]

Mon manuel dit que si |x|>1 et n est assez grand, c'est |x|^n>=2 et cela implique que 1/(|x|^n-1)<=2/|x|^n . Rétrospectivement, je peux prouver l'inégalité simplement en réorganisant les termes en 1/(|x|^n-1)<=2/|x|^n, mais je voulais comprendre comment mon manuel peut déduire cette inégalité à partir de 1 /(|x|^n-1) et sachant juste qu'il veut finir avec quelque chose qui n'a que |x|^n au dénominateur, sans savoir déjà que la quantité qu'il recherche est 2/|x|^n (c'est-à-dire sans savoir quelle constante fonctionne au numérateur) mais sachant seulement que |x|^n>=2.

J'ai donc essayé de faire ceci : j'ai introduit un paramètre générique b, et j'ai résolu 1/(|x|^n-1)<=b/|x|^n. Puisque |x|^n>=2, cela équivaut à b<=(b-1)b|x|^n. Puisque j'introduis un paramètre générique, je peux supposer que b>1 et donc b<=(b-1)b|x|^n est équivalent à |x|^n>=b/(b-1). Puisque je sais que |x|^n>=2, je peux résoudre pour b l'inégalité 2>=b/(b-1) et obtenir cela quand c'est vrai quand b>=2 (puisque j'ai déjà imposé b>1 ). Donc pour tout b>=2 l'inégalité |x|^n>=b/(b-1) est certainement vérifiée car la quantité b/(b-1) est inférieure ou égale à 2 dont je sais déjà qu'elle est inférieure ou égale à |x|^n, donc la valeur optimale est b=2 ; soit 1/(|x|^n-1)<=2/|x|^n si |x|^n>=2.

Est-ce un raisonnement valable pour déduire de telles inégalités ?

[Pisigma]

Bonjour à toi aussi!

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