Du tableau à la fonction

[artefact]

Bonjour,

J'ai le tableau suivant :
0 --> 1
4 --> 10
7 --> 100
10 --> 1000
14 --> 10000

Je voudrais traduire ce tableau par une fonction.
je remarque une symétrie de 0 à 7 et de 7 à 14 et une croissance exponentielle de y
et mes compétences s'arrêtent là Je serais très heureux que quelqu'un m'aide car comprendre le raisonnement m'intéresse autant que le résultat !

cordialement, Julien

[lyceen95]

Certains te diront qu'à partir d'une série de données, on peut ajouter n'importe quelle nouvelle valeur derrière, et on peut toujours justifier cette nouvelle valeur par une explication plus ou moins logique.

Ici, tu as repéré une symétrie ... et tu veux que cette symétrie ressorte dans le résultat.
Le point(7,100) est en effet particulier
A droite de (7,100) , on a (7+3,100*10) puis (7+3+4,100*10*10)
Et à gauche de (7,100), on a (7-3,100/10) puis (7-3-4,100/10/10)

La fonction ressemble à une exponentielle , mais ce n'est pas réellement une exponentielle.

Ici, on a envie (ou besoin) de faire cette manipulation :
0 --> 0
4 --> 1
7 --> 2
10 --> 3
14 --> 4
Puis
0 --> 0 -->1
4 --> 1 --> 10
7 --> 2 -->100
10 --> 3 -->1000
14 --> 4 --> 10000

La 2ème opération est classique, c'est l'exponentielle, en base 10.
La 1ère opération n'est pas triviale. On veut une fonction qui monte 'vite' quand x est proche de 7, et qui monte un peu moins vite quand on s'en éloigne. Et qui soit symétrique autour de ce point 7.

Ma fonction fétiche, c'est la fonction artangente. Je vais donc l'utiliser ici, une nouvelle fois.
Par tatonnement, on va chercher un nombre k, tel que atan(7k) = 2*atan(3k) ; on trouve k=0.12598815

Et en reconstituant toute la chaine, on arrive à la fonction :

Ce n'est pas très lisible. Ce qu'il y a en exposant, c'est : 2.76726908 * atan( 0.12598815 (x-7) ) +2

Cette fonction colle parfaitement à tes 5 valeurs. Sur l'intervalle 0 à 14, on a une belle croissance, propre.
Elle est croissante partout , mais pas sûr du tout que tu sois d'accord avec les valeurs proposées pour x=30 ou au delà.

Tout ça, parce que comme dit au début, à partir d'une série de données, on peut compléter à peu près comme on veut.
Après réflexion, une bonne fonction pour remplacer ma chère fonction atan(), ce serait une fonction du type

[artefact]

Merci beaucoup ! c'est vraiment une super réponse !
De guerre lasse je m'étais rabattu sur une fonction affine !
J'ai fait un petit tableau avec graph pour présenter les résultats(j'ai perdu largement )
Malgré tout je rêve d'une équation sans coef, d'une solution purement mathématique...

bon, tant pis pour mon joli tableau, les pièces jointes ne fonctionnent pas !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

D'où vient ton tableau ? De quoi résulte-t-il ?

[artefact]

Bonjour,

Ce tableau représente la relation entre les différentes positions numérotées des potentiomètres de mon synthétiseur Moog Sub Phatty. Ces potentiomètres agissent sur le filtre, les enveloppes... mais fonctionnent tous avec ce même principes : 5 positions clefs (que je donne dans le tableau) qui renvoient des résultats de 1 à 100000 (1ms à 10s dans le cas des enveloppes)

[GaBuZoMeu]

Après réflexion, une bonne fonction pour remplacer ma chère fonction atan(), ce serait une fonction du type

Petit problème : une dérivée infinie (pente verticale) pour x=7. Est-ce souhaitable ?

[lyceen95]

En fait , allons à l'essentiel.
Tu as ce point qu'on peut appeler point de symétrie (7,100).
Tu cherches une fonction intermédiaire h ; cette fonction sera croissante, impaire, et passera par (3,1) et (7,2), et forcément par (0,0), parce que la fonction doit être impaire et continue.
Et quand tu auras cette fonction h, la fonction finale sera :
En tout cas, c'est comme ça que je vois la chose. Mais je peux me tromper.

Des fonctions impaires qui passent par ces 2 points... on a le choix.
Ce qu'il manque, c'est une information sur le comportement 'asymtotique'. Que se passe-t-il quand x devient très grand.
Le contexte technique devrait effectivement aider ... mais en l'occurence, je sèche.

-Edit- : Effectivement, cette fonction aurait le problème d'une dérivée infinie

[GaBuZoMeu]

Et ça ?



C'est obtenu par :

Code: Tout sélectionner

a=sqrt(17/3)
plot(2+2*a*sinh(arcsinh(3*(x-7)/a^3)/3),(x,0,14))

La fonction bizarre est juste la fonction réciproque de .

Le sinus hyperbolique et l'arcsinus hyperbolique sont disponibles dans les tableurs, normalement.

[GaBuZoMeu]

Voici ce que ça donne dans un tableur :

[artefact]

pour @lycéen95: comment calculer k ? (je tatonne un peu trop là )
pour @GaBuZoMeu : comment arrive-t-on à cette constante a=sqr(17/3) ? quelle est le raisonnement pour parvenir à cette formule ?

Merci pour vos réponses !

[GaBuZoMeu]

Tu as le tableau

Tu calcules le polynôme d'interpolation qui donne en fonction de . Il se met sous la forme

Ensuite tu résous en l'équation

en comparant avec la formule

et en posant . Le qui convient bien est . Voila d'où sort ce nombre bizarre.

[artefact]

Bon je suis largué mais est-ce réalisable pour ces valeurs ?
x----->f(x)
-14 ----> 20
-9 -----> 80
-4------>320
0------->760
4------->1200
9------->5000
14----->20000

Je ne perds pas espoir de comprendre le raisonnement avec ce dernier exemple !

[lyceen95]

Le premier jeu de données était plus simple.
Il y avait un ""point de symétrie"". Identifié. Avec une volonté de chercher une fonction qui respecte ce point de symétrie.
Ici, la fonction a un comportement plus erratique. Trouver une fonction 'sympathique' qui passe par ces 7 points, ce sera très difficile.
Ce que j'appelle une fonction sympathique, c'est une fonction qui ne fait pas le yoyo, une fonction qui n'a pas des points d'inflexion à tout va.

[GaBuZoMeu]

D'où sort ce dernier exemple ?