Systèmes, systématiquement...

[Lostounet]

Bonjour!

Certains systèmes comme dans la section Olympiade (je pense par exemple à l'un des systèmes d'Olympus) qui, bien qu'ayant 5 inconnues, serait apparemment "exploitable" avec deux équations seulement..!

Par ailleurs, Olympus m'a une fois proposé une équation à trois inconnues où l'on peut trouver les valeurs des trois inconnues dans ce cas bien particulier (je donne un exemple):



Alors voilà. Dans quelles mesures peut-on dire que les inconnues d'un système sont trouvables. Faut-il toujours se limiter à un certain ensemble (exemple: le très peu que j'ai vu des équations diophantiennes) ou la question est-elle bien trop vague pour de telles généralisations..?

Merci de m'aider, je suis un peu perdu!

[Nightmare]

Salut,

j'y ai mis beaucoup de bonne volonté, mais je vais t'avouer que je ne comprends vraiment pas la question.

Qu'entends-tu par "serait apparemment exploitable avec deux équations"

Qu'entends-tu par " on peut trouver les valeurs des droits inconnues dans ce cas bien particulier"

Et pour finir, qu'entends-tu par "trouvable" ?

S'agit-il de savoir s'il est possible de déterminer si une équation (ou un système) a un nombre fini ou non de solutions?

:happy3:

[Lostounet]

Oui, j'entends par tout cela le fait de trouver un nombre bien déterminé, fini de solutions.

Qu'entends-tu par " on peut trouver les valeurs des droits inconnues dans ce cas bien particulier"

J'ai bien dit "trois inconnues" :ptdr:

J'entends par cela le fait de trouver des valeurs uniques pour le triplet (x; y ; z) qui seraient solution du système ainsi donné par une équation, si tu préfères.

[Ben314]

Salut,
Tout dépend de l'ensemble dans lequel tu te place : plus l'ensemble est "petit", plus tu as des systèmes interessants avec peu d'équations et beaucoup d'inconnues.
Dans N, dans Z ou dans Q, il est trés interesant d'avoir une seule équation avec des tas d'inconnues et il peut trés façilement n'y avoir que trés peu (voire pas du tout) de solutions. Par exemple, il est assez facile de voir que a²=3b²-1 n'a pas de solution dans N.
Dans R, on peut encore avoir une seule équation avec plusieurs inconnues qui n'a qu'une solution (voire pas du tout), le modèle de telles équations est évidement x²+y²+z²=0 (ou x²+y²+z²=-1).
Par contre, dans C (que tu n'as pas encore vu), ça commence à plus que difficile de trouver ce type de cas (par exemple, dans C x²+y²+z²=-1 a une trés grosse infinité de solutions).

En fait, la théorie est "carrée carrée" dans le cas d'équations linéaires sur Q, R ou C, c'est à die de la forme 3x-5y+7z=2. Dans ce cas, on sait repérer (sans le résoudre) si un système de n équations à p inconnnues va avoir zéro, une seule ou une infinité de solution.

[Lostounet]

Salut,
Tout dépend de l'ensemble dans lequel tu te place : plus l'ensemble est "petit", plus tu as des systèmes interessants avec peu d'équations et beaucoup d'inconnues.
Dans N, dans Z ou dans Q, il est trés interesant d'avoir une seule équation avec des tas d'inconnues et il peut trés façilement n'y avoir que trés peu (voire pas du tout) de solutions. Par exemple, il est assez facile de voir que a²=3b²-1 n'a pas de solution dans N.
Dans R, on peut encore avoir une seule équation avec plusieurs inconnues qui n'a qu'une solution (voire pas du tout), le modèle de telles équations est évidement x²+y²+z²=0 (ou x²+y²+z²=-1).
Par contre, dans C (que tu n'as pas encore vu), ça commence à plus que difficile de trouver ce type de cas (par exemple, dans C x²+y²+z²=-1 a une trés grosse infinité de solutions).

En fait, la théorie est "carrée carrée" dans le cas d'équations linéaires sur Q, R ou C, c'est à die de la forme 3x-5y+7z=2. Dans ce cas, on sait repérer (sans le résoudre) si un système de n équations à p inconnnues va avoir zéro, une seule ou une infinité de solution.

Bonsoir,

J'ai essayé d'aborder les différents points cités, mais je ne comprends pas le coup du x²+y²+z²=-1 dans R ! Sinon, tout va bien je pense..

Enfin pour les ensembles, petite question hors sujet: Peut-on dire que N a moins d'éléments que Q par exemple?

Merci !!

[Ben314]

Bonsoir,

J'ai essayé d'aborder les différents points cités, mais je ne comprends pas le coup du x²+y²+z²=-1 dans R ! Sinon, tout va bien je pense..

Enfin pour les ensembles, petite question hors sujet: Peut-on dire que N a moins d'éléments que Q par exemple?

Merci !!

Le x²+y²+z²=-1 est là pour donner un exemple super facile d'une équation à 3 inconnues qui n'a pas de solutions dans R.

Concernant le "N a moins d'éléments que Q", à priori, la plupart des matheux répondent sans hésiter "NON : ils en ont autant", mais c'est en prenant "au pied de la lettre" la question, c'est à dire en ne s'interessant aux entiers et au quotients qu'en temps qu'élément d'un ensemble et c'est tout.

Or, quand tu résoud des équation, tu t'interesse non seulement aux éléments, mais aussi aux "structures" attachées à ces éléments (opérations et/ou comparaisons que l'on peut faire avec ces éléments) et, si on s'interesse non seulement aux éléments de N et à ceux de Q mais aussi aux structures qui y sont attachées, alors, dans un certain sens, on peut quand même dire que Q est "plus gros" que N (on peut faire plus d'opérations)

[Lostounet]

D'accord, je vois mieux.
C'est logique tout ça..!

Sinon pour les équations du type:
3x-5y+7z=2
Comment déterminer l'existence (ou non) des solutions dans R par exemple ..?
C'est faisable pour N?

[Ben314]

D'accord, je vois mieux.
C'est logique tout ça..!

Sinon pour les équations du type:
3x-5y+7z=2
Comment déterminer l'existence (ou non) des solutions dans R par exemple ..?
C'est faisable pour N?

Dans R, une seule équation de ce type (sans carrés, ni divisions ni produit d'inconnues), c'est trivial : tu fait passer toutes les inconnues SAUF UNE à droite du égal et tu dit que, tout ce qui est à droite du =, ben tu peut le tirer au pif complet et ensuite tu calcule quelle doit être la valeur de l'inconnue que tu as gardée à gauche (donc une infinité de solution).
Dans N, déjà, c'est un peu moins évident : il y a de l'arithmétique (i.e. des problèmes de divisibilité et de pgcd) derrière. Par exemple, que pense tu de l'équation (dans N) 2x+4y-8z=7 ?

[Lostounet]

Elle n'a pas de solution puisque le membre de gauche est divisible par 2 alors que 7 ne l'est pas..?

[Ben314]

Elle n'a pas de solution puisque le membre de gauche est divisible par 2 alors que 7 ne l'est pas..?

C'est exactement ça.
En fait dans N, lorsqu'une équation du type ax+by+cz=d (a,b,c,d connus) n'a pas de solution, c'est forcément que l'on est dans un cas de ce type là : a,b et c sont divisible par un certain nombre alors que d ne l'est pas.
Cela conduit à évaluer le plus grand diviseur commun de a,b et c (que l'on appelle le pgcd) et à regarder s'il divise d.
S'il ne divise pas d, c'est foutu : il n'y a pas de solutions.
S'il divise d, il va y avoir des solutions (et même une infinité de solutions), mais je pense que c'est un peu "chaud" niveau colège de parler de la méthode théorique de résolution.
A la rigueur, tu peut essayer sur un exemple simple :
Quels sont tout les couples d'entiers relatifs (x,y) tels que 5x-3y=4 ?

[Olympus]

Salut !

Quand tu recherches des solutions, tu recherches des intersections d'ensembles . Or celles-ci peuvent être obtenues avec divers moyens et pas seulement par les équations, par exemple par des inégalités . ( l'exemple de l'équation à 3 inconnues que tu as cité cache en réalité 3 inégalités dans R : )

Si tu entends tes profs de physique te dire qu'on ne peut résoudre un système si on a plus d'inconnus que d'équations, bin, sache tout simplement qu'ils parlent des systèmes linéaires .

Après, je ne connais pas vraiment une théorie détaillée dessus .

[Lostounet]

@ BenPi: Donc on cherche tous les couples d'entiers relatifs solution de l'équation:

5x-3y=4

Évaluons l'existence des solutions:
PGCD (5 ; 3) = 1 (Premiers)
1 divise 4.

Alors il existe au moins une solution..!

-3y = 4 - 5x
y = (-5x + 4)/-3

C'est normalement tous les couples d'entiers relatifs vérifiant (x ; (-5x + 4)/-3) ?

(Pourquoi est-ce que 5x - 4 est toujours divisible par 3? :dodo: )

@ Olymp': Salut!
C'est un donc peu comme les équations où il faut établir des inéquations pour évaluer le domaine de définition, pour les radicaux ("pairs") par exemple (merci Dinozzo)..?

[Ben314]

...C'est normalement tous les couples d'entiers relatifs vérifiant (x ; (-5x + 4)/-3) ?
(Pourquoi est-ce que 5x - 4 est toujours divisible par 3? :dodo: )

Justement, ce ne sera pas tous les couples d'entiers (x ; (-5x + 4)/-3), mais seulement certain d'entre eux : ceux pour lesquels 5x-4 est divisible par 3.
Si tu fait quelques essais, tu voit que :
x=-4:OUI ; x=-3:NON; x=-2:NON ; x=-1:OUI ; x=0:NON ; x=1:NON ; x=2:OUI ; x=3:NON ; x=4:NON; x=5:OUI...
il semblerait donc qu'il y ait un x sur 3 qui marche.
Reste à le prouver proprement...