Sujet d'oraux des forumeurs

[SimonB]

Comme proposé dans un autre topic (par Yipee), je propose aux taupins de poster ici leurs "pales" d'oraux.
Et je commence donc par les deux miennes (les dernières pour cette année, je n'ai eu que les Mines) :

Soit et tel que
On suppose que .
Montrer qu'alors .
En déduire que si est telle que , alors .

Déterminer .

[Joker62]

L'exo 2 de Rain' est joli

[Chimomo]

Ecole polytechnique :

1) Soit P un polynôme non nul, montrer que la suite (P(n)) vérifie une relation de récurrence linéaire.

2) Trouver les solutions à valeurs réelles de l'équation différentielle :

Det((y'' y' y), (y' y y''), (y y'' y')) = 0

Ecoles Normales supérieures :

Cachan) Trouver une intégrale première du système différentiel :

x' = x(1-y) et y' = y(x-1)

et montrer que toute solution non constante est périodique.

Ulm) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme niloptent, montrer que f^n=0. Soient f1, ..., fn des endomorphismes nilpotents qui commutent deux à deux, montrer que f1...fn=0.

Soit P un compact de R^n euclidien, montrer qu'il existe une unique boule fermée de rayon minimal qui contient P.

Pour la suite, il faut encore que je passes les oraux

[Bouchra]

Un peu de Centrale

"]

avec a<b. Soit une fonction non constante.
a- Montrer que la famille est libre.
b- En déduire les sous-algèbres de dimension finie (en tant qu'espaces vectoriels) de E.
c- Soit . On note .
Montrer que est un idéal de E.
d- Montrer que si J est un idéal de E tel que , alors ou (*) .
e- Montrer que tout idéal de E vérifiant (*) est de la forme avec

"]


1. Faire un dessin (à l'ordinateur). Donner l'équation cartésienne de E.
2. Donner l'équation cartésienne du plan P tangent à E en un point donné.
3. Soit H la projection orthogonale de O (l'origine) sur P.
Représenter le lieu des points H.

[SimonB]

Ps : Ce serait pas lim f'' + 2 f' + f = 0 dans ton exo par hasard SimonB ?

Non, c'est bien f''+f'+f.

Indice général : pose h=f'+a*f, écris h'+b*h=..., trouve a et b tels que h'+bh=f''+f'+f, et sers-toi de la première question.

[kazeriahm]

bouchra tu aurais une indication pour la question 1 de ton exo, ca me laisse perplexe ? (bouchra ou qqn qui verrait comment faire)

[Bouchra]

Tu pars de a_0, a_1, ..., a_n réels tels que : pour tt x de [a,b]
a_0+a_1 f(x) + ...+a_n f^n(x) = 0
puis tu considères le polynôme :
P(X) = a_0+a_1 X + ....a_n X^n


J'ai eu aussi l'indication ..

[kazeriahm]

certes, c'est joli en plus

[Yipee]

Tu pars de a_0, a_1, ..., a_n réels tels que : pour tt x de [a,b]
a_0+a_1 f(x) + ...+a_n f^n(x) = 0
puis tu considères le polynôme :
P(X) = a_0+a_1 X + ....a_n X^n


J'ai eu aussi l'indication ..

On peut aussi utiliser un déterminant de Vandermonde non ?

[Sylar]

Et apres vous faites comment ?

[kazeriahm]

Et apres vous faites comment ?

f est continue non constante et a<b donc I=f([a,b]) est un segment non réduit à un point donc infini.

Le polynome P s'annule sur I tout entier, donc P est le polynome nul. Donc a0=...=An=0

[Bouchra]

On peut aussi utiliser un déterminant de Vandermonde non ?

Ah oui, comme f prend une infinité de valeurs (comme l'a fait kazeriahm), on peut trouver x_0,..,x_n tq leurs images par f soient deux-à-deux distinctes, or la matrice associée (f^j(x_i)) est inversible. C'est ça ?

mais bon, du moment où on utilise que f prend une infinité de valeurs, je préfère le polynôme.

[kazeriahm]

salut

je fais remonter un peu tard j'ai passé l'oral de math des mines, pour ceux que ca interesse :

Ex1

Une permutation s de Sn est un dérangement ssi s n'a aucun point fixe (ie si pour tout x dans {1,...,n}, s(x) différent de x).

On appelle d_n le nombre de dérangements d'un ensemble à n éléments (c'est à dire le nombre de permutations de Sn qui sont des dérangements).

1) Calculer d_1, d_2 et d_3.
2) Etablir pour tout n.
3) En déduire une expression de d_n.
4) Soit f définie par

Donner le domaine de définition de f (RdC et étude aux bornes), donner un équivalent de f en 1-, donner une expression de f sur son domaine de définition.

Ex 2

On note w=exp(2i Pi/n) avec n un entier et f_k la forme linéaire qui à un polynome P associe P(w^k) avec k entier.

Montrer que la famille (f_k) pour k entre 0 et n est une base du dual de C_n[X].

Ensuite j'ai eu "plein" de questions auxiliaires sur cet exo, notamment parce qu'on est amené à utiliser un certain polynome, dont on m'a demandé une expression, des calculs dessus, etc mais je peux pas trop développer ici sans faire l'exo pour ceux qui voudraient le chercher.

[Sylar]

Ouah l'exo 1 j'y comprends rien.... :triste: :triste:

[kazeriahm]

c'est vrai que c'est pas très clair je reformule sorry

[kazeriahm]

pfff arrete rain j'le trouve bien mon exo, tu me blesses en disant ca

[Sylar]

Pourquoi ,Rain t'es pas en mp?

[Joker62]

Moi je l'avais eu cette histoire de dérangement en partiel d'arithmétique et j'me rapelle de Rien

[Alpha]

Moi je l'avais eu cette histoire de dérangement

Et donc ça t'a gêné? :ptdr:

[Bouchra]

J'imagine que pour la question 3, on attend d'utiliser la formule d'inversion de Pascal, et non f(x)e^x et convolution (vu que l'on définit f au 4) (?)