Suites TS

[StangeVolt]

3) Soit (Vn) la suite définie par : Pour tout entier naturel n1 , Vn= Un-Un-1.

a) Montrer que la suite (Vn) est une suite arithmétique; Préciser la raison et le premier terme.

b) Pour n supérieur ou egal à 1; on note Sn=v1+v2+...+vn.

i. Exprimer Sn en fonction de n, pour tout entier naturel n supérieur ou egal à1.

ii. En déduire alors que, pour tout entier n, Un=n^2 +n.

j'ai besoin d'aide pour la 3 b) i) s'il vous plait!

[infernaleur]

Tu peux tout d'abord exprimer Vn en fonction de n avec tes formules du cours sur les suites arithmétiques

[StangeVolt]

Vn=2(n-1)+2? et ensuite?

[infernaleur]

Je peux pas vérifier ton expression de Vn tu nous a pas donner l'énoncé complet.
Mais Vn=2(n-1)+2=2n c'est mieux .
Peux tu au moins donner l'expression de la suite Un ?

[infernaleur]

Sinon pour i) il te suffit de remplacer v1,...,vn par leurs expressions (dans relation explicite c'est-à-dire Vn en fonction de n)
En gros si effectivement Vn=2n,

Sn=2*1+2*2+...+2*n et tu continues

[StangeVolt]

Un+1=Un+2n+2 si c'est ce que vous souhaitez?

[infernaleur]

Comment as tu fais pour montrer que la suite est arithmétique ?

[StangeVolt]

pour dire que la suite est arithmétique j'ai fait Vn+1-Vn et elle est de raison 2 et de premier terme V1=2
Pour l'instant j'ai tout trouvé j'ai besoin de votre aide pour la toute dernière question étant la 2 b ii s'il vous plait!
il faut faire un raisonnement par reccurence mais j'ai ceci
Soit (P) la proposition définie sur IN par Un=n^2+n
Initialisation: U0=0^2+0=0 donc (P) est vraie pour n=0
Hérédité: Supposons que (P) soit vraie pour un entier k
c.à.d Uk=k^2+k
Montrons que (P) est vraie pour k+1
Ainsi Uk+1=Uk(indice)+2k+2
Uk+1=k^2+k+2k+2
Uk+1=k^2+2k+1+k+1
Uk+1=(k+1)^2+k+1
Conclusion d'après le principe de reccurence, Un=n^2+n est vrai pour tout n appartenant à IN

mais je ne pense pas que ce soit ça...

[infernaleur]

Ton raisonnement est juste mais l'exercice attend une autre manière de faire.
En effet, pour la i) tu trouves normalement Sn=n²+n (c'est ce que je trouve)
Or Sn=V1+...+Vn
Mais comme Vn=Un-U(n-1)
V1=U1-U0
V2=U2-U1
....
Quand tu remplace dans Sn tu va remarquer quelque chose d'intéressant .

[Difficultetotaal]

T'es en quel niveau ?

[StangeVolt]

pourrais-je avoir la redaction du 3 )b) i) je ne sais pas comment bien la faire... ^^'
je suis en Terminale S mais les maths ont toujours été le point faible dans ma moyenne...

[infernaleur]

Sn=V1+...+Vn
Mais Vn=2n
donc Sn=2*1+2*2+...+2*n=2(1+...+n)
Sais-tu que vaut 1+...+n ?

[StangeVolt]

Sais-tu que vaut 1+...+n ?

ça vaut n+1? ou bien je n'ais pas du tout compris...

[infernaleur]

non je n'est pas demandé 1+n mais 1+2+3+4+5+...+n
C'est une formule de première

[StangeVolt]

S=[nombre de termes x (premier terme + dernier terme)] / 2 ?

[infernaleur]

Oui voila c'est la formule qui te permet de calculer la sommes des termes d'une suite arithmétique.
Applique cette formule pour savoir que vaut 1+2+....+n

[StangeVolt]

Sn= n x (2+2n)/2= (2n+2n^2)/2=n^2+n?

[infernaleur]

Sn= n x (2+2n)/2= (2n+2n^2)/2=n^2+n?

Je ne comprend pas pourquoi 2 et 2n ...
Le premier terme c'est 1 et le dernier terme n

[StangeVolt]

Sn=2*1+2*2+...+2*n=2(1+...+n)

vue que tout Sn va etre multiplié par 2 donc on aura du 2 et du 2n non?

[infernaleur]

Oui pour Sn mais je te demandais seulement 1+....+n=n(n+1)/2
Donc en effet pour récapituler:
Sn=V1+...+Vn
Mais Vn=2n
donc Sn=2*1+2*2+...+2*n=2(1+...+n)
Finalement Sn=2*n(n+1)/2
Soit Sn=n(n+1)=n^2+n