Suite nombre complexe

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
lunartiste
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Suite nombre complexe

par lunartiste » 26 Jan 2022, 00:41

Bonsoir j'aurais besoin d'aide sur un exercice :

On considère la suite (z_{n}) de nombres complexes définie par :
z_{0} = 2
z_{n+1} = ( sqrt 3/2 - i/2 )z n

1. Calculer z_{1}, z_{2} , z_{3} et z_{4} sous forme algébrique.

2. En Python, complex(a, b) désigne le nombre complexe a + ib et abs(z) désigne le module du nombre complexe z. On considère le programme ci-dessous:

from math import sqrt

def suite(n):
z = complex (2, 0)
for k in range (1, n + 1) :
z = z * complex (sqrt(3) / 2, - 1/2)
r = abs(x)
return r

a. Expliquer ce que renvoie la fonction suite.

b. Voici quelques résultats de la fonction suite :
>>> suite(1)
2.0
>>> suite(3)
1.9999999999996
>>>suite(8)
1.999999999999

Que peut-on conjecturer ?

c. Démontrer ou invalider la conjecture précédente.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a:

arg * (z_{n}) = - (n*pi)/6 * (2pi)

4. Démontrer que pour tout entier naturel k, z_{6k+3} est un imaginaire pur.

Je pense avoir réussi les premières questions mais dès qu'il faut démontrer je ne sais pas comment m'y prendre : à partir de la question 2)c.
Merci d'avance.
Modifié en dernier par lunartiste le 26 Jan 2022, 12:24, modifié 1 fois.



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fatal_error
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Re: Suite nombre complexe

par fatal_error » 26 Jan 2022, 10:00

hi lunartiste

tu as les balises [code][ /code] pour préserver l'indentation de ton code
Par ailleurs la def de ta suite est étrange. 2^x (où est défini x et est-on sûr du symbole ^ ?)

mis à part, on remarque que
du coup tu devrais pouvoir exprimer le terme général de la suite (z_n) (plutot qu'utiliser la def par récurrence)


edit: je laisse volontairement ma boulette (non volontaire) telle qu'observée par lyceen95.
la vie est une fête :)

lyceen95
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Re: Suite nombre complexe

par lyceen95 » 26 Jan 2022, 11:07

, ce n'est pas

Il y a un problème de signe.
Mais trouver tel que , c'est effectivement une valeur très courante, qu'on trouve en dessinant un cercle trigonométrique.


Edit : corrigé suite à la remarque de Fatal-Error
Modifié en dernier par lyceen95 le 26 Jan 2022, 14:45, modifié 1 fois.

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fatal_error
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Re: Suite nombre complexe

par fatal_error » 26 Jan 2022, 11:43

@lyceen95 il manque un i dans ton exp(ression).
la vie est une fête :)

lunartiste
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Re: Suite nombre complexe

par lunartiste » 26 Jan 2022, 12:23

Oui excusez moi je suis pas douée avec l'éditeur d'équation, c'est donc : e^(-iπ/6).
Le formule explicite est donc : 2exp(-inπ/6)
Donc c'est ok pour la question 2)c et 3), maintenant pour la 4) :
pour que ce soit un imaginaire pur, son argument doit valoir π/2 [π].
Donc -nπ/6=π/2 [π]
Les solutions s'écrivent donc avec k ∈ N, n=6k+3

 

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