Suite impaire symbolique de Collatz

[syrac]

Bonjour,

La question de savoir pourquoi une suite de Collatz se termine toujours par 1 vient de trouver sa réponse dans ce document. Je ne dis pas ça à la légère et je ne me fais pas des idées. Ça fait environ deux ans que l'idée d'une suite impaire symbolique m'est venue, mais c'est il y a quelques jours seulement que j'ai pris conscience de son potentiel.

Si la solution du problème paraît simple, sa démonstration l'est en revanche beaucoup moins, alors je compte sur vous pour y parvenir !

[aviateur]

Bonjour
Pourquoi symbolique. C'est la suite de Syracuse??

[syrac]

Parce qu'au lieu d'utiliser des valeurs numériques pour développer la suite on utilise des valeurs symboliques.

Oui, une suite impaire est une suite de Collatz, ou de Syracuse, dont on ne conserve que les termes impairs. Pourquoi m'obliger à le préciser alors que ça figure en introduction du document ?

[aviateur]

Rebonjour
Je ne vois pas où il y a démonstration puisque la conjecture est de démontrer que tout entier naturel est un prédécesseur de 1. A mon avis il n'y aque quelques remarques sur cette suite (dans ton document) et aucune démonstration.

Et puis, il ne faut pas rêver. A ma connaissance personne n'a trouvé une démonstration de cette conjecture (encore appelée Syracuse, 3n+1,...) et « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes » (cite: Paul Erdős)

Il y a très peu de résultats sur ce problème (l'approche est probabiliste) et le monde scientifique a abandonné pratiquement toute recherche sur ce problème.
Mais, peut-être fais tu appel à un Evariste Galois sur ce Forum?

[syrac]

@aviateur

En premier lieu, si dans mon premier post j'ai fait appel aux membres de ce forum pour démontrer le résultat que je propose, c'est bien parce que dans mon esprit je ne me livre pas moi-même à cette démonstration. J'explique "seulement" pourquoi le dernier terme d'une suite de Collatz (ou de Syracuse) est 1, et je montre qu'en réalité il s'agit d'un quotient.

L'idée t'a-t-elle effleuré l'esprit que Paul Erdös pouvait avoir tort ? Je vais te faire une autre citation : "Un problème sans solution est un problème mal posé" (Albert Einstein). Pour parvenir à une solution il faut donc poser le problème autrement, en particulier en finir avec les durées de vol, altitude de vol, cycle trivial et consort, dont on vient de nous abreuver pendant 80 ans en pure perte. Je sais que l'idée est très répandue de l'indécidabilité de ce problème, mais en ce qui me concerne j'affirme que c'est loin d'être le cas.

[Arbre]

Bonjour,

@Syrac : ne te fais pas avoir par l'aviateur, il veut te soutirer la réponse à moindre frais, et pour cela il utilise la ruse.

Cordialement.

[aviateur]

@ syrac Pourquoi te vexer?
D'abord voilà ce que j'ai lu!!

La question de savoir pourquoi une suite de Collatz se termine toujours par 1 vient de trouver sa réponse dans ce document. Je ne dis pas ça à la légère et je ne me fais pas des idées. Ça fait environ deux ans que l'idée d'une suite impaire symbolique m'est venue, mais c'est il y a quelques jours seulement que j'ai pris conscience de son potentiel.

Ensuite, ne fait pas dire à Eistein ce qu'il n'a jamais dit.
La conjecture de Fermat a-t-elle été mal posée pendant plus d'un siècle?
Paul Erdös qui est un grand mathématicien se permet de dire que l'on n'est pas prêt pour ce genre de problèmes. Mais c'est son intuition mais je suis sûr qu'il est le premier à admettre qu'il peut se tromper.
Ensuite tout ce que tu dis est vrai et c'est une évidence que pour résoudre un tel problème, il n'y a pas de portes à fermer au contraire. En particulier l'approche probabiliste est une porte ouverte (la seule à ma connaissance.) Toue autre approche a autant sa place que celle là.
Mais pour revenir à ton document, je ne vois rien sinon que de lier le de départ au 1 d'arrivée par une relation sous forme d'un quotient.
Par exemple si tu prend n_0=5 on tombe sur 1 tout de suite d_1=2^4 et tu as la relation

Maintenant il se peut que j'ai mal compris dans ce cas tu peux faire un peu preuve de pédagogie en méttant en évidence ce qu'il y a de vraiment important dans les remarques de ton document.

Maintenant il y a peut être un peu plus dans ton document et si j'ai mal compris, tu peux faire un peu preuve de pédagogie pour mettre en évidence son importance.

[aviateur]

@rebonjour
Là, je commence en avoir marre. J'aurai besoin d'un peu d'aide. En effet, les pseudo-mathématiques ce n'est pas mon fort.
@ arbre Est-ce que tu veux que je mette à la communauté ton message privé? Où soit disant tu me donnes une réponse à un problème (pas facile au demeurant) et qui me dirige vers un site où les réponses sont faites par les adeptes des pseudo-mathématiques. J'entends par pseudo-mathématiques, l'art de ne rien démontrer en faisant croire (ou en croyant) que l'on démontre quelque chose.

[syrac]

Maintenant il se peut que j'ai mal compris dans ce cas tu peux faire un peu preuve de pédagogie en méttant en évidence ce qu'il y a de vraiment important dans les remarques de ton document.

Non, tu n'as pas mal compris, je dirais plutôt que tu n'as rien compris du tout !

[syrac]

Ensuite, ne fait pas dire à Einstein ce qu'il n'a jamais dit.

Tu as presque réussi à me faire douter. Pour ta gouverne je t'invite à visiter cette page.

Si tu pouvais arrêter de troller ce serait sympa de ta part. Merci d'avance !

[Arbre]

@ arbre Est-ce que tu veux que je mette à la communauté ton message privé? Où soit disant tu me donnes une réponse à un problème (pas facile au demeurant) et qui me dirige vers un site où les réponses sont faites par les adeptes des pseudo-mathématiques.

Tiens voilà ce dont tu parles :

Le résultat :

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p ... cd#p884361

L'explication :

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=884485#p884485

Si cela est des pseudo-maths, alors j'avoue je ne sais pas ce que sont les maths, mais l'aviateur en matière d'explication demande d'être irréprochable, alors que lui se montre avare en information.

J'arrête là et je t'invite à en faire autant Monsieur l'aviateur sans avion.

[aviateur]

Alors @arbre, précise bien où on doit voir la démonstration! Quel message, nom de la personne, et heure du message.

[samoufar]

Bonjour,

Déjà, pour , ça ne marche pas (tu trouves ).

De plus, c'est bien beau de donner un exemple qui marche (), mais ça ne justifie rien. Avec un petit programme informatique, on voit que le nombre de impairs vérifiant est très faible. Par exemple, pour entre 1 et 1.000.000, on trouve moins de 0,2% de valeurs vérifiant cette propriété.

Ensuite, ta preuve consiste grosso modo à admettre la conjecture de Collatz pour la démontrer. On peut alors faire exactement le même raisonnement sur une suite à un seul terme, au lieu de six, ce qui, bien entendu, est complètement faux...

Bref, dès la fin de la première page, ça devient faux... Je regarde quand même la suite.

Il s’ensuit que si une seule des autres fractions était supérieure à 1, ne serait pas entier.

Pourquoi ? (NB: c'est certainement faux)

La seule possibilité d’obtenir une valeur entière est que ces fractions soient toutes inférieures à 1 et
que leur somme soit 1.

Ça n'était pas déjà supposé valoir 1 ?

Ensuite, c'est sympa de sommer de a=1 à 0 lorsque N=2, et d'appeler ça "n'existe pas".

Lorsque n’est pas une puissance de 2, la somme au numérateur évolue au fil des
itérations de l’algorithme jusqu’à s’égaliser avec le produit des diviseurs.

Encore une fois, pourquoi ?

Puis, ton exemple de "suite compressée" me fait curieusement penser à la définition d'une suite impaire...

Bref, j'arrête, parce que je vois pas mal d'imprécisions (éléments sans preuve) et d'erreurs encore plus loin (citer la première me paraît amplement suffisant).

Ah, et au passage, à moins d'admettre la conjecture de Collatz (càd le résultat recherché), rien ne dit que la "suite impaire" est finie...

[syrac]

Déjà, pour n0=9, ça ne marche pas (tu trouves n5=5).

Je cite la seconde phrase de ce document : "On s’intéressera ici à des suites impaires de 6 termes ...". La suite impaire de 9 compte 7 termes : 9, 7, 11, 17, 13, 5, 1. De ce fait, son dernier terme symbolique est n6, et non pas le n5 dont il est question jusqu'à la fin du document.

Avec un petit programme informatique, on voit que le nombre de n0 impairs vérifiant n5=1 est très faible.

Ton programme informatique te dit-il combien de valeurs de n0 ont une suite impaire de 6 termes ? Il en existe seulement 14 jusqu'à 1000 : 7, 29, 61, 117, 241, 245, 267, 483, 469, 535, 537, 965, 981, 985.

Ensuite, ta preuve consiste grosso modo à admettre la conjecture de Collatz pour la démontrer.

Je cite une phrase de la fin de la page 1 : "Si la conjecture de Collatz est vraie, alors n5=1, ...". Il est nécessaire de partir du principe que la conjecture peut être vraie, sinon on n'avance pas. D'autre part, je ne cherche pas à démontrer la conjecture, j'explique pourquoi le terme final d'une suite est 1. Ce qu'il faut démontrer, c'est le fait que dans l'expression du dernier terme d'une suite impaire la somme au numérateur s'égalise avec le produit des diviseurs.

On peut alors faire exactement le même raisonnement sur une suite à un seul terme, au lieu de six, ce qui, bien entendu, est complètement faux...

Non. Il n'existe aucune suite, impaire ou traditionnelle, à 1 seul terme. Si j'ai choisi 6 termes c'est uniquement parce que c'est un chiffre suffisant pour montrer le développement symbolique d'une suite impaire.

Il s’ensuit que si une seule des autres fractions était supérieure à 1, n5 ne serait pas entier.

Pourquoi ? (NB: c'est certainement faux)

Tu as une somme de fractions dont tu sais qu'elle doit être entière. Mais voilà que soudain tu t'aperçois que la première fraction est toujours inférieure à 1 ! Comment leur somme pourrait-elle être entière dans ces conditions ? Quelle que soit la valeur des autres fractions, leur somme ne sera jamais entière ... sauf si toutes les fractions sont inférieures à 1 et que leur somme soit 1.

Lorsque 3n0 + 1 n’est pas une puissance de 2, la somme au numérateur évolue au fil des itérations de l’algorithme jusqu’à s’égaliser avec le produit des diviseurs.

Encore une fois, pourquoi ?

Si tu avais lu ce document avec attention tu n'aurais pas à demander pourquoi.

Puis, ton exemple de "suite compressée" me fait curieusement penser à la définition d'une suite impaire...

Confirmation : tu as bien lu en diagonale. C'est symptomatique de quelqu'un qui débute sa lecture avec à l'esprit la certitude que tout ça est bidon et que chercher à comprendre sera donc une perte de temps. Je n'ai rien contre les certitudes, mais dans certains cas il faut savoir les mettre de côté.

[aviateur]

Rebonsoir,
@tu sais Syrac, vu ta certitude, tu devrais soumettre ton travail dans une revue. Déjà dans une première étape tu verras si l'éditeur le garde pour le soumettre à des rapporteurs.

[syrac]

En effet, je suis certain d'approcher du but. Continuer seul ne me dérange absolument pas.

[aviateur]

Rebonjour, en tout cas merci à Samoufaur de m'avoir aider dans mes remarques.

[aviateur]

Rebonjour,
en tout cas merci à @Samoufaur de m'avoir aider par ses remarques.

[samoufar]

Bonjour,

@aviateur : Un éditeur un tant soit peu raisonnable s'arrêterait à la première ligne, puisque les objets sont mal voire pas définis...

@syrac :

Je cite la seconde phrase de ce document : "On s’intéressera ici à des suites impaires de 6 termes ...". La suite impaire de 9 compte 7 termes : 9, 7, 11, 17, 13, 5, 1. De ce fait, son dernier terme symbolique est n6, et non pas le n5 dont il est question jusqu'à la fin du document.

De ce que je lis, une "suite impaire" est juste une suite de Collatz dont on ne garde que les termes impairs. Non seulement une suite de Collatz est infinie (mais stationne en la valeur 1, par conjecture), mais en plus, tu introduis sans le définir la notion de "suite impaire à k termes", qui est la troncature d'une suite impaire à la première apparition de la valeur 1.

Je cite une phrase de la fin de la page 1 : "Si la conjecture de Collatz est vraie, alors n5=1, ...". Il est nécessaire de partir du principe que la conjecture peut être vraie, sinon on n'avance pas. D'autre part, je ne cherche pas à démontrer la conjecture, j'explique pourquoi le terme final d'une suite est 1. Ce qu'il faut démontrer, c'est le fait que dans l'expression du dernier terme d'une suite impaire la somme au numérateur s'égalise avec le produit des diviseurs.

D'abord, tu n'as pas besoin de la conjecture de Collatz pour montrer que , puisque c'est ce que tu supposes au départ (ou du moins c'est ce que suggère ta remarque ci-dessus). Et puis, ah bon ? Tu ne cherches pas à "démontrer" la conjecture de Collatz ? Pourtant, je lis

La question de savoir pourquoi une suite de Collatz se termine toujours par 1 vient de trouver sa réponse dans ce document.

En plus,

j'explique pourquoi le terme final d'une suite est 1

bah, c'est plus ou moins ce que dit la conjecture de Collatz, non ? À moins que Wikipédia et consorts soient plus indisposés aux mathématiques que Monsieur...

Et enfin

Ce qu'il faut démontrer, c'est le fait que dans l'expression du dernier terme d'une suite impaire la somme au numérateur s'égalise avec le produit des diviseurs.

c'est ce que tu supposes en prenant une suite impaire dont le "dernier terme" vaut 1... Et au fait, ici, il n'est pas question d'avancer, mais plutôt de tourner en rond.

Non. Il n'existe aucune suite, impaire ou traditionnelle, à 1 seul terme. Si j'ai choisi 6 termes c'est uniquement parce que c'est un chiffre suffisant pour montrer le développement symbolique d'une suite impaire.

Et si je prends ? Et puis encore une fois, si tu prends une suite à k termes, tu supposes que le dernier terme vaut 1. Dès lors, il devient parfaitement normal que ton "développement symbolique" du kème terme donne 1... Et, au passage, c'est quoi cette histoire de "suite traditionnelle" ?

Tu as une somme de fractions dont tu sais qu'elle doit être entière. Mais voilà que soudain tu t'aperçois que la première fraction est toujours inférieure à 1 ! Comment leur somme pourrait-elle être entière dans ces conditions ? Quelle que soit la valeur des autres fractions, leur somme ne sera jamais entière ... sauf si toutes les fractions sont inférieures à 1 et que leur somme soit 1.

Et pour toi, , ça n'est pas entier ? Et non plus ? La preuve que c'est faux, quand tu prends une "suite impaire à 7 termes", l'expression de ne change pas. Et pourtant, tu viens de me confirmer que pour , on n'a pas ...

Puis, ton exemple de "suite compressée" me fait curieusement penser à la définition d'une suite impaire...

Confirmation : tu as bien lu en diagonale. C'est symptomatique de quelqu'un qui débute sa lecture avec à l'esprit la certitude que tout ça est bidon et que chercher à comprendre sera donc une perte de temps.

Déjà, quand on commence par "Je rappelle qu’une suite compressée", ça signifie qu'on a défini ça quelque part. Alors ou bien tu ne te relis pas, ou bien tu ne sais pas ce que tu fais... En plus, je ne vois pas en quoi "suite compressée" et "suite impaire" sont différentes. D'ailleurs ton exemple avec 29 n'aide pas du tout à y voir plus clair :

Suite impaire de 29 = 29, 11, 17, 13, 5, 1. (haut de la page 2)
La suite compressée de 29 est 29, 44, 22, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1. (bas de la page 2)

Ensuite, je ne dis pas que c'est bidon. C'est juste que tu dis plein de choses pour rien. En gros tu ponds un truc sans le définir correctement, puis tu t'embrouilles entre ce qui est supposé et ce qui est à montrer, pour enfin dire "On a une propriété A, donc après plein de trucs alambiqués,... miracle, on a A !".

Je n'ai rien contre les certitudes, mais dans certains cas il faut savoir les mettre de côté.

Tu as parfaitement raison sur ce point ! Il faut parfois arrêter de s'obstiner et de s'entêter à dire que son truc marche super bien et que les autres mathématiciens (dédicace à Erdös) ont tort et qu'on a raison, pour porter un regard critique sur ce que l'on a fait.

Enfin, plutôt de dire que j'ai "lu le document en diagonale" ou que d'autres n'ont "rien compris du tout" (ce que je comprends parfaitement, sans mauvais jeu de mots), je dirais qu'on a "pris la peine de lire". Parce que, et je reprends le début de ce post, la plupart des matheux ne prendraient pas la peine de dépasser la première ligne...

[syrac]

Pour ceux qui utilisent Mathematica, voici une fonction qui calcule le dernier terme d'une suite impaire (ou d'une suite de Collatz/Syracuse, peu importe) en utilisant la formule générale de la seconde page de mon document. On lui passe n0 en argument et elle renvoie sa suite impaire, l'exposant de 2 de ses diviseurs (autrement dit le nombre de fois que l'on peut diviser 3n_i + 1 par 2), et la valeur de son dernier terme, le tout sous forme d'un tableau comme dans l'exemple au bas de l'image.

Ceux qui utilisent un autre logiciel, ou programment à l'aide d'un langage de script (Javascript ou Php), ou en C++, devraient ne pas avoir de difficulté à transcrire cette fonction. Si ce n'est pas le cas je me ferai un plaisir d'apporter des précisions.

On remarquera que quel que soit n0 la fonction renvoie toujours 1 comme valeur du dernier terme. Et il n'est pas inventé mais bien calculé sur la base des diviseurs de la suite.



La fonction au format texte (pour faire un copier-coller dans Mathematica) :

Code: Tout sélectionner

dernierTerme[n_]:=Block[{divs,stimp,nk,N},
(* Fonctions pour le calcul de la suite compressée de n *)
collatz[a_]:=NestWhileList[cltz,a,#!=1&];
cltz[b_]:=If[OddQ[b],(3b+1)/2,b/2];
(* Calcul de la suite impaire de n.
On sélectionne les termes impairs de la suite compressée *)
stimp=Select[collatz[n],OddQ];
(* Nbr de termes de la suite impaire *)
N=Length[stimp];
(* Calcul des exposants de 2 des diviseurs de la suite impaire.
Most[stimp] supprime son 1 final (il n'a pas de diviseur) *)
divs=IntegerExponent[3*Most[stimp]+1,2];
(* Calcul de la valeur du dernier terme de la suite impaire *)
nk=(\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(x = 1\), \(N - 2\)]\((
\*SuperscriptBox[\(3\), \(x - 1\)] \(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(y = 1\), \(N - x - 1\)]
\*SuperscriptBox[\(2\), \(divs[[y]]\)]\))\)\)+3^(N-2) (3n+1))/\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(z = 1\), \(N - 1\)]
\*SuperscriptBox[\(2\), \(divs[[z]]\)]\);
(* Renvoyer {suite impaire, diviseurs, valeur du dernier terme}
sous forme d'un tableau *)
TableForm[{stimp,divs,nk}]
];


@samoufar
Je pourrais répondre à ton post virulent mais je n'en ai pas envie, ce serait une perte de temps. Il te suffit de programmer la fonction dernierTerme(n) pour enfin comprendre de quoi je parle.