Structure algebrique et relations

[zebullon]

Voila une definition que je sors d'un livre de math pour 1ere annee de 1er cycle :
"Soient G un groupe , H un sous groupe, R la relation x^(-1)y appartient a H , entre elements x,y de G

Theoreme:
1/ R est une relation d'equivalence
2/ La classe de x suivant R est xH
3/ l'application y->xy de H dans xH est bijective"

premiere question : le x^-1 qui apparait au debut est cense representer le symetrique de x , d'accord , mais pour quelle loi ???

p.s : je poserai d'autres questions par la suite , des que vous m'aurez explique cela , merci

[Zeitblom]

Vu que tu es dans un groupe, tu as une seule loi, qu'on note visiblement ici multiplicativement (et en omettant le point ou le x de la multiplication)

[zebullon]

merci , donc si je comprends bien on ne prend pas le soin de definir quelle est la loi.

2eme question : qu'est ce que cette relation a d'interessant , parce que vu comme ca , elle a juste l'air bizarre ...
l'exemple qui est pris est autant bizarre :
"prenons G=Z , H=aZ (ou a est un element de Z) la relation d'equivalence est alors :
y-x appartient a aZ
La classe d'equivalence d'un entier rationnel x est la classe de congruence de x modulo a"
...A priori je vois pas de ressemblance entre cette relation est l'autre (...je suis en train de me dire que la loi est peut etre l'addition est donc le "-x" serait en fait le "x^-1" de la relation citee plus haut...)

est ce que cette relation est vraiment speciale , parce qu'ils y refont allusion apres ???

[Zeitblom]

C'est bien ce que tu es en train de te dire : Z est un groupe pour l'addition, qu'on note additivement (si si je vous assure ).L'exemple est donc bien un cas particulier de la définition générale donnée plus haut. A propos de cette relation, on parle de congruence (à gauche ou à droite) modulo un sous groupe. La congruence modulo un entier que tu connais en est un cas particulier. A quoi ca sert ? à démontrer le théorème de Lagrange probablement juste après dans ton bouquin

[zebullon]

ok , je vais donc reflechir a la suite

p.s aux modos : pouvez vous deplacer ce post dans le bon endroit et effacer ce message apres , merci

[Anonyme]

Salut,
en fait ton group G dans la déf, n est pas forcément commutatif, et dans ce cas, on prefere utiliser la notation multiplicative pour noter la loi de groupe (en gardant bien a l esprit que cette "multiplication" n est pas forcement commutative).

En revanche, il est courant d utiliser la notation additive lorque l on sait que le groupe G est abélien. C est le cas dans ton exemple, ou tu prend pour G le groupe Z des entiers relatifs, muni de la loi de addition, qui évdement est commutative.

Bref tout est une question de notation:
xy^-1 en notation multiplicative, correspond a x-y en notation additive.

Il est vrai cependant que la notation multiplicative est celle qui, historiquement, c a d dans l article de Galois sur la resolubilite des equations polynomiales du cinquieme degre, a permis d entrevoir toute la puissance du concept de groupe.
D ailleurs, ce brave Evariste en a fait les frais, car son travail n a jamais ete compris par ses pairs contemporains.
Il a fallu attendre pres d un siecle apres cet article, pour que la communaute mathematique comprenne l essence de la theorie de Galois, c est a dire la notion de groupe (et donc le rehabilite dans le pantheon des mathematiciens).


Voila, j espere vous avoir un peu aidé
A+