Stratégie de vie sauve

par **BancH** » 12 Déc 2006, 00:56

Vous dites que le maximum avec quatre prisonniers c'est 5/12?

par **fahr451** » 12 Déc 2006, 00:58

c'est la proba avec la stratégie que je propose; la même stratégie qui donne à peu près 1-ln2 pour 100

par **Imod** » 12 Déc 2006, 18:23

Une tentative de formalisation du problème ( je ne sais pas si celà apporte grand chose ) .

et pour tout

,

une partie de

à 50 éléments .

et

. Le problème est de trouver un élément

rendant

maximal .

Imod

par **fahr451** » 12 Déc 2006, 22:06

-> imod on parle de permutation ça se réchauffe.

par **Imod** » 13 Déc 2006, 00:05

Oui , le passage par les permutations me semble une bonne piste ( et ma formulation vraiment lourde ) j'ai du mal à me libérer suffisamment de temps pour réfléchir sérieusement au problème et c'est dommage car il est vraiment intéressant .

A bientôt , Imod

par **fahr451** » 13 Déc 2006, 06:54

pour résumer on en est là:
Les boites sont (moralement) numérotées de 1 à 100.
Les prisonniers sont numérotés de 1 à 100 (ds l'ordre alphabètique).
L'expérience aléatoire est donc le choix (par le bourreau) d'une disposition des 100 numéros ds les 100 boites ; un résultat est donc une permutation
d e 1 ,100 ; l'ensemble des résultats étant muni de l équiprobabilité.Il y a 100! résultats.

par **Imod** » 13 Déc 2006, 18:19

Oui fahr451 , le problème est clairement posé , il n'y a plus qu'à en trouver la solution .

Imod

par **fahr451** » 13 Déc 2006, 19:58

la solution est la suivante:
le prisonnier 1 se rend à la boite 1 il ouvre la boite regarde le nombre k écrit sur le papier , se rend à la boite k etc ..
Il décrit donc l'orbite de 1 sous la permutation Il sera en sursis ssi il tombe sur 1 en au plus 49 itérations donc ssi l'orbite de 1 est de cardinal inférieur ou égal à 50
le prisonnier deux fera exactement la même chose il ira a la boite 2 etc
Les prisonniers seront saufs ssi toutes les orbites sont de cardinal =50.
pour k>50
on compte les permutations ayant un cycle de longueur k
comme il y a 100 prisonniers il n ' y a qu 'un tel cycle.
On choisit le cycle

n se donne un arrangement de k parmi 100 il ya
A(100,k) façons de le faire mais par invariance par rotation il ya
A(100,k) /k tels k cycles (principe des bergers) et ensuite on se donne une permutation qq des (100-k) autres éléments.

la proba qu' une permutation ait un cycle >50 est donc

sigma (k=51;100) de A(100,k)(100-k)!/(100!k) = sigma 1/k
en utilisant soit une somme de riemann soit le dv de la somme partielle de la
série harmonique cette quantité vaut ln2 (à qq centièmes cv en 1/n)
la proba cherchée est donc 1-ln2.

par **Imod** » 14 Déc 2006, 00:10

Vraiment machiavélique , j'aurais pu y passer des heures sans aboutir . Vraiment un beau problème !!! :++:

Imod

par **Kerdy** » 17 Déc 2006, 19:12

Faut il encore que les prisonniers soient intelligents (peut être un prof de maths dans le groupe qui aurait maltraité un élève :marteau: )

par **fahr451** » 17 Déc 2006, 20:24

on peut aussi imaginer un régime totalitaire où les "dissidents" font quelquefois des maths.

par **Imod** » 18 Déc 2006, 00:25

Pour fahr451 .

J'ai soumis ton problème au site Les Mathématiques.net où il a reçu je pense l'écho qu'il méritait ( Domi = Imod ) . Je me répète sûrement mais c'est un magnifique problème et grande honte au site à qui tu l'avais proposé sans réponse .

Encore merci , Imod

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 12:47

c'était ici

mais dans une mauvaise rubrique

par **sandrine_guillerme** » 18 Déc 2006, 13:12

oué, je crois que tu l'avais posté dans supérieur, je m'e suis rendu compte qu'après un moment ..

:zen:

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 15:56

ben oui ... y en a bien qui postent sur le théorème de fermat ds la section primaire...

par **Imod** » 19 Déc 2006, 00:58

Je suis quand même surpris que le problème posté dans "supérieur" n'ai pas eu d'écho , je le survole ( depuis peu ) il est plutôt bien fréquenté et je vois mal comment tout le monde a pu passer à côté d'un tel problème .

Imod

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 01:09

Peu de temps après avoir vu ce problème j'en ai parlé à une personne fort susceptible de le trouver comme moi superbe, sa réaction fut (avant même la fin de l énoncé) : " c'est tellement artificiel..."

par **Imod** » 19 Déc 2006, 01:30

farh451 ,

faire des maths c'est utiliser continuellement des artifices ou bien réciter sa leçon en boucle . Plus c'est astucieux et plus c'est joli et m... à ceux qui pensent le contraire

Imod

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