Sphère et surface optimale pour un volume donné

[Baylock]

Bonjour,

Comment, en n'utilisant pas les intégrales (mais les dérivées sont admises), démontrer que la sphère est bien le solide qui optimise la surface pour un volume donné?

Je peux l'expliquer de manière logique mais je ne vois pas comment le prouver (pour info, je suis adulte et cela ne concerne donc pas un devoir que je dois rendre, il n'y a donc pas de raison de "brider" les réponses et aides éventuelles).

Je demande car c'est le sujet d'un travail d'un jeune dont je m'occupe, or il vient juste de voir les dérivées mais pas encore les intégrales.
Il m'a posé la question et si j'ai la réponse, elle n'est qu'empirique or, je me demande s'il y a une démonstration formelle à ce problème.

Le travail consiste en ceci:
- Déterminer si une cannette de coca (cylindre de 33cl) a les dimensions d'un cylindre idéal pour minimiser l'utilisation d'aluminium.
- Montrer qu'en dehors de toutes considérations pratiques (stockage, etc..), ce n'est pas la forme idéale pour minimiser au maximum la surface d'aluminium pour ce volume et expliquer pourquoi.

Pour la première partie, il suffit de déterminer l'équation contraignante (la forme du volume en terme de hauteur), la plugger dans l'équation d'optimisation (celle de la surface du cylindre), dériver cette dernière et on trouve la hauteur idéale pour le rayon idéal (et donc la surface optimale) .
Ok.

Pour la seconde question, la réponse semble être la sphère.
Reste à le prouver...

Merci pour vos commentaires.

[pascal16]

Il me semble que ce que tu vas "dériver" c'est la transformation d'un cylindre en une sphère qui dépend de comment tu fais évoluer ta surface.

Ce qu'on fait souvent, en 2D, c'est de démontrer qu'un polygone régulier de volume contant voit son rapport périmètre/volume décroître quand le nombre de coté augmente. Par passage à la limite, le cercle est le meilleur. On étudie seulement 1 paramètre, rien ne prouve que le passage par un polygone était le meilleur.

En 3D, en supposant qu'un n-êdre sera proche de toute surface quand n augmente, il me semble que passer par une projection sur la sphère permet de mener un calcul.

pour la canette :
http://www.debart.fr/capes/recherche_extremum.html

[Ben314]

Salut,
Concernant l'exo. lui même, et en restant très scolaire, la question posée ne demande pas de trouver la forme optimale, mais uniquement de montrer que le cylindre n'est pas optimal.
Donc a mon sens, ce qui est attendu comme réponse, c'est uniquement de comparer la surface du cylindre avec celle de la sphère (à volume égal) pour constater que la sphère est plus économique. Mais ça m'étonnerais un peu qu'il soit attendu de la part de l'élève de voir que la sphère est optimale et là où je suis assez catégorique, c'est que, même en supposant que l'élève "inuite" que la sphère est optimale, je vois pas comment on pourrait en donner un début de preuve un tant soit peu rigoureuse au niveau Lycée.
Ce qui me fait dire ça, c'est qu'exactement le même problème dans le plan (i.e. en dimension 2), c'est à dire de trouver quelle surface à le plus petit périmètre pour une aire donnée (c'est le disque), ben c'est déjà extrêmement coton à démontrer proprement.
Si ça t’intéresse de voir les différentes preuves possibles, regarde sur Wiki là
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... 3%A9trique
et/ou là
https://fr.wikipedia.org/wiki/Isop%C3%A9rim%C3%A9trie
où il y a un peu tout : l'historique du problème, des preuves plus ou moins élémentaires (mais pas forcément très rigoureuses) et des preuves rigoureuses (mais pas élémentaires du tout)
Perso. pour le cas du plan (dim. 2), la preuve la plus rapide que je connaisse utilise les séries de Fourier et l'égalité de Parseval : donc pas franchement du niveau Lycée...

[Black Jack]

Salut,

Pour prouver qu'une "proposition" est vraie ... il faut le démontrer.

Pour prouver qu'une "proposition" est fausse ... il suffit de donner un contre-exemple.

Et donc pour la seconde question, il n'est pas nécessaire de démontrer que la sphère est ce qui donne une surface minimum pour un volume donné.

Il suffit de montrer par un calcul simpliste que la sphère a une surface plus petite que le cylindre optimum pour un volume donné... c'est fondamentalement différent.

(Cela rejoint le début de la réponse de Ben314)

[beagle]

Sans oublier la réponse du crétin: vu sur site scolaire:
"Volume de la Canette = x 12.25 x 11=423,32 cm cube

Or on sait que 1cm cube = 0.1 cL, donc la canette peut contenir jusqu'à 42,332 cL. Elle peut donc contenir facilement 33 cL de soda."

un cylindre de 42 pour mettre du 33, c'est pas optimisé.
Il ya moins de gaz dans mes bouteilles de pinard.
Donc la bouteille de pinard optimise?

A mon avis faut ouvrir la cannette , bien boire le coca ce qui permet d'avoir la pèche pour répondre au problème transformé: le volume d'air de la cannette vide est-il optimum par rapport à la surface?
(pour le jour où faudra mettre de l'air pur en bouteille)
Après il ya le calcul comme proposé, et pour l'intuition, il y a l'action d' étirer au maximum un cylindre, alors que se passe-t-il? ben le volume rejoint la surface, ou plutôt l'inverse la surface rejoint le volume etc...Donc si c'est pire en étirant le cylindre, reste à compacter la cannette!

[Baylock]

Merci à tous pour vos réponses!