Somme infinie 1+2+3+4+5+...

[nico783]

Hello tout le monde,
Je m'intérroge sur la somme infinie "divergente" suivante:
S = 1+2+3+4+5+6+7+....

Je viens de voir une démonstration de l'égalité S = -1/12 et je ne vois pas d'erreur flagrante dans le raisonnement:
A = 1 -1 +1 - 1 +1 - 1 + ...
--> 1-A = 1-1+1-1+1-1+1-1+...
--> 1-A = A
--> A = 1/2

B = 1 - 2 +3 - 4 +5 - 6 + ...
en additionnant les termes de A et B deux à deux:
--> B+A = 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 +...
--> B+A-1 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 +...
--> B+A-1 = -B
--> B = 1/4

S - B = 1+2+3+4+5+6+7+...
-1+2 -3+4 -5+6 -7+...
--> S - B = 4 + 8 + 12 +16 +...
--> S - B = 4 (1+2+3+4+5+...)
--> S - B = 4 S
--> S = -1/12
Voyez vous une imprecision qui invalide ce raisonnement ?
L'imprécision du raisonnement est-elle qu'il n'est pas "permis" de calculer la valeur d'une série clairement divergente (vers l'infini ou altérnée) ?

En écrivant, ce message je me rends compte que le calcul d'une somme divergente comme A semble mener a des incohérences.
Par exemple:
A = 1-1+1-1+1-1+1-1+...
= 0+0+0+0+0+0+0 en sommant les termes deux à deux...
= 1 + (-1+1-1+1-1+1-1+...)
Pourquoi privilégier A=1/2 plutôt que A=0 ou encore A=1... ?

Qu'en pensez-vous? Est-ce que le problème est qu'il n'est pas cohérent d'essayer de calculer des séries non convergentes ?

[hdci]

Bonjour,

Justement, vous mettez le point sur la possibilité que l'on a, dans une somme infinie, de changer les termes de place, d'effectuer des "sommes par regroupement", etc.
Et ceci n'est possible que si la somme est "absolument convergente", c'est-à-dire si la somme des valeurs absolues est convergente.
Or pour A, la somme des valeurs absolues n'est pas convergente (puisque cela fait 1+1+1+1+1...)
Il n'est donc pas possible de changer l'ordre des termes, d'appliquer l'associativité, etc.

Et quand vous additionnez deux sommes divergentes, vous ne pouvez pas non plus associer les termes deux à deux.

D'un point de vue théorique : une "somme infinie" n'existe pas (c'est un "abus de langage"), car c'est en fait la limite d'une suite (et ça, on sait formellement le définir en mathématiques, en revenant à la définition même de la limite : quel que soit epsilon, il existe n0, etc.)

Dans le cas de A, la suite est définie par

Et cette suite n'a pas de limite puisque
Par contre, quand vous écrivez (1-1)+(1-1)+..., en fait vous "extrayez" de (A_n) la sous-suite des termes de rang impair, qui sont tous nuls.

Par contre, on montre que lorsque tous les termes d'une somme sont positifs, alors toute permutation aura la même limite (éventuellement infinie). Puis on montre que lorsque une "somme infinie" est telle que la limite de la somme des valeurs absolues converge, alors tout permutation aura la même limite.
C'est cela qu'il faut retenir :hors de l'absolue convergence, on est très limité dans les manipulations.

[nico783]

Je vous remercie
C'est très clair.