Somme infinie à résultat négatif.

[Aberline]

1+10+100+1000+...=-1/9

Qui est pour ? Qui est contre ?

[Luc]

1+10+100+1000+...=-1/9

Qui est pour ? Qui est contre ?

Bonjour,

ce sont les nombres p-adiques. On peut définir une autre notion de convergence pour les suites de rationnels que celle induite par la valeur absolue habituelle. Dans le cas p-adique, la notion de convergence découle de la définition de la distance p-adique entre deux rationnels.

[Sylviel]

Hum aller chercher les p-adiques ici ne me semble pas nécessaire. On définit
f(x)=1+x+x²+... = 1/(1-x) pour |x|<1. On prends le prolongement holomorphe de f, et on a calculé f(10)=-1/9. Donc pour moi il s'agit plus simplement d'un abus de notation (écriture sous forme développée utilisée hors du disque de convergence) qu'autre chose...

[Luc]

Hum aller chercher les p-adiques ici ne me semble pas nécessaire. On définit
f(x)=1+x+x²+... = 1/(1-x) pour |x|<1. On prends le prolongement holomorphe de f, et on a calculé f(10)=-1/9. Donc pour moi il s'agit plus simplement d'un abus de notation (écriture sous forme développée utilisée hors du disque de convergence) qu'autre chose...

Ok, j'ai peu de connaissances en fonctions holomorphes, comment on définit un (ou "le") prolongement holomorphe?

Sinon, mon argument est en fait très proche du tien. Ce n'est pas vraiment des nombres p-adiques, plutôt une distance 10-adique.
On peut munir en effet d'une distance 10-adique, où en notant le plus grand entier tel que et soient congrus modulo , on pose si et si x est différent de y.

On voit facilement que et donc que qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Donc la série est égale à qui tend bien vers -1/9 au sens de la distance 10-adique quand n tend vers l'infini.

[Freyja]

En fait c'est un prolongement analytique unique d'un germe de fonction le long d'un arc (ou chemin...)

[paquito]

Bonjour,

Le but du jeu est toujours d'utiliser un jeu d'écritures pour voir ce que ça donnerait; ça ne prétend pas démontrer quoi que ce soit, puisque de toute façon, on part de résultats faux;
dans cet esprit si q est un entier >1 et si l'on pose S, ce qui n'a pas de sens mathématique, on a, d'où , donc pour q=10, et si q=2 on retrouve S=-1. On sait que c'est faux, ce qui n'empêche pas de jouer avec, voire de regarder si cette "méthode heuristique" n'apporte pas quelque chose, puisqu'on a bien obtenu

C'est donc à prendre comme une curiosité, voire comme une détente; par contre une distance 10-adique définie sur N????????

[beagle]

" si on pose S= 1+q²+q^3+ ..., ce qui n'a pas de sens mathématique"

Pourquoi cela n'a pas de sens?

...................................

"on part de résultats faux"
Je ne comprends pas ce que veut dire partir de résultats.

[nodjim]

Perso, je trouve assez irresponsable de jauger une quantité non quantifiable (....111)
Sinon, en effet, on pourrait supposer que .....9999+1=0

[beagle]

Perso, je trouve assez irresponsable de jauger une quantité non quantifiable (....111)
Sinon, en effet, on pourrait supposer que .....9999+1=0

Bah que l'on me dise le S= 1+q²+q^3+ ... je ne sais pas au final ce que c'est, ben ok, pourquoi pas,
mais je ne vois pas ce qui serait sans sens dans l'écriture.

Le truc 1/2 + 1/2 du 1/2 puis encore 1/2 du reste puis 1/2 du reste
c'est bien une somme infinie de termes, et cela a un sens de dire que c'est une écriture du 1.

maintenant quand le S donne un résultat de -1/9, ben faudrait dire quand , comment, etc...et je n'ai aucune compétence là-dedans.Et je ne comprends rien aux messages sus-jaccents p-addict.

J'ai juste remis ce fil en lien pour demander
vous refusez le fil de discussion précédent "1+2+3+... = -1/12"
mais celui-ci passait sans objection, ou bien sans objection comprise par moi.

[paquito]

C'est quand même pas compliqué à comprendre!
Pour la série de terme généralest divergente car son terme général tend ne tend pas vers 0:
par conséquent.n'a aucun sens, puisque n'existe pas.
On peut quand même l'écrire et jouer avec cette "écriture" et on obtient résultat qui n'a aucun sens mathématique puisque S n'existe pas mais qui a un sens dans une démarche heuristique puisque l'on manipule pour "voir".
Donc quand on écrit , on part d'un résultat faux, mais on l'utilise quand même car l'écriture,elle, a un sens! on obtiens et surprise, , donc une démarche heuristique pourrait déboucher sur un résultat "vrai", c'est à dire que faux => vrai, ce qui est possible.
Petit inconvénient, le résultat "heuristique" dépend de l'astuce d'écriture choisi; par exemple je trouve , ce qui est génant.
Conclusion: si on travaille avec des gens conscient des problèmes, ça peut être amusant et intéressant.

[beagle]

C'est quand même pas compliqué à comprendre!
Pour la série de terme généralest divergente car son terme général tend ne tend pas vers 0:
par conséquent.n'a aucun sens, puisque n'existe pas.
On peut quand même l'écrire et jouer avec cette "écriture" et on obtient résultat qui n'a aucun sens mathématique puisque S n'existe pas mais qui a un sens dans une démarche heuristique puisque l'on manipule pour "voir".
Donc quand on écrit , on part d'un résultat faux, ..
.

Je ne comprends rien en effet, pour moi un résultat est final,
il y a haut et bas
devant derrière
avant après
et un résultat c'est pas l'avant pour moi, enfin à mon niveau, c'est pas dur à comprendre non plus.

donc pour moi une écriture du S est licite car elle est l'avant, l'antérieur.
Lorsque je l'écrit je ne connais rien du résultat.
Après calcul, ou après analyse, ce S ne veut rien dire, bon ben ok,
mais cela se sait après analyse.

[paquito]

Dans la "démarche heuristique"on part délibérément d'un résultat faux; exemple:
.qui est archi faux sur le=plan mathématique(A n'existe pas); mais l'écriture A=1-1+1-1+...existe quand même et on peut jouer avec;

ainsi , d'où; résultat archi faux puisque A n'existe pas! Mais on va s'en servir quand même pour montrer que résultat encore archi faux, mais le but est de trouver un résultat presque crédible qui justifie la "méthode".
Pour moi,c'est une activité récréative, point final.

Il n'empêche que ces résultats sans but ont un succès totalement immérité!

[beagle]

A=1-1+1-1+...

A n'existe pas, mais on peut savoir où il est, ce qui n'est pas le cas de tous les autres non existant.
Si on prend une feuille à petits carreaux, +1 on fait une petite diago supérieure droite, -1 on fait une petite diago supérieure gauche, et on fait la frise en montant ainsi,
on démarre la frise en abscisse 7.
A n'existe pas, ben faut quand mème passer entre 7 et 8 pour le croiser si on veut lui parler.
Maintenant il n' a peut-ètre rien à dire.Il n'existe pas mais on sait où le trouver.

Par contre moi je cause, je cause.
je voulais savoir pourquoi le 1+2+3 qui fait le -1/12 était affreux et argumenté par Ben314 comme une hérésie mathématique,
alors que le 1 + 10 + 100 + 1000 qui fait -1/9 , objet de ce fil était considéré comme représentant quelque chose en maths

[Ben314]

je voulais savoir pourquoi le 1+2+3 qui fait le -1/12 était affreux et argumenté par Ben314 comme une hérésie mathématique,
alors que le 1 + 10 + 100 + 1000 qui fait -1/9 , objet de ce fil était considéré comme représentant quelque chose en maths

Salut,
Dans ce fils (contrairement au blog où il est fait référence à 1+2+3+...), si tu regarde les deux première interventions, ni l'une ni l'autre n'utilise une "hérésie calculatoire" pour faire croire que le résultat est "fastoche" :
La première réponse parle de "nombres p-adiques" et de "définir une autre notion de convergence" permettant de donner un sens à la somme en question et la deuxième de "prolongement holomorphe de f" ainsi que "d'abus de notation". Dans les deux cas, le vocabulaire employé ne laisse aucune doute concernant le fait qu'il ne s'agit pas là de "bidouillage de collégiens".

Si je veut vraiment faire la fine bouche, on pourrait un peu reprocher au deuxième post. de ne pas dire qu'on a de "la chance" que la fonction se prolonge et surtout, on a "de la chance" que le prolongement soit unique.
Par exemple, pour les amateurs "d'heuristique" (j'ai toujours pas compris ce que ça voulais dire, mais j'ai l'impression que c'est super classe comme expression... :ptdr:) ça vaut combien la somme :

(perso, je sais attribuer une valeur à exp(S), mais à S lui même, c'est plus dur...)

[beagle]

Merci Ben314.

S'agissant de la méthode heuristique:
"Appliquée à la résolution d'un problème complexe, une méthode heuristique ne garantit pas l'obtention d'une solution optimale, mais fournit, dans un laps de temps raisonnable et à un coût acceptable, à l'aide de l'expérience ou de l'intuition, une solution qui, en général, est assez efficace.

On utilise fréquemment des méthodes heuristiques en intelligence artificielle, à l'intérieur de ce qui est techniquement appelé univers incertains.

À l'opposé du concept de « méthode heuristique », on trouve celui d'« algorithme ». En effet, si une méthode heuristique (ou une heuristique) procède par essais et erreurs, un algorithme respecte une procédure rigoureuse et un nombre d'étapes théoriquement déterminé. "

Traduction de beagle: en mathématique une solution non optimale, c'est juste que la solution au final n'est pas démontrée.Je comprends vos réticences!

[adrien69]

Par exemple, pour les amateurs "d'heuristique" (j'ai toujours pas compris ce que ça voulais dire, mais j'ai l'impression que c'est super classe comme expression... :ptdr:) ça vaut combien la somme :

(perso, je sais attribuer une valeur à exp(S), mais à S lui même, c'est plus dur...)

(Ce nombre n'est pas assez réel à mon goût)

[Ben314]

(Ce nombre n'est pas assez réel à mon goût)

et pourquoi pas i.pi ou 3i.pi ou tout autre complexe d'exponentielle -1 ?

[paquito]

@ben

le terme heuristique est très à la mode; en gros, c'est manipulation et bricolage et ça s'oppose à rigueur; mais dans le domaine pédagogique tous les enseignants devraient utiliser un procédé heuristique; exemple:
en 1°S les élèves doivent faire des activités géométriques jusqu'à ce qu'ils découvrent d'eux mêmes la nécessité d'introduire un nouvel outil: le produit scalaire; succès garanti auprès de l'inspecteur!
évidemment tout le monde triche car ça ne marcherait jamais.

En ce qui nous concerne,c'est qu'on a aucune règle; donc par exemple, si je pose pour
, puis je écrire
et ,

d'où; si on ne respecte aucune règle, on finit vraiment par faire n'importe quoi; finalement, c'est dangereux!

[Ben314]

et

Tient, j'avais pas fait gaffe qu'on pouvait aussi considérer que la fonction qu'on "prolonge" on peut non seulement la voir au départ comme définie au voisinage de 0, mais, si on veut on peut la prendre plus ou moins au voisinage de l'infini (comme tu le fait) : c'est ouvert comme truc "l'heuristique".
Perso, j'était parti sur et (valable au voisinage de 0) sauf que le problème, c'est que si on cherche à "prolonger" jusqu'à x=2, c'est à dire donner une valeur à ln(-1), ben y'a pas unicité du prolongement.
Donc pour moi, la "valeur heuristique" de la somme, (le terme me plait de plus en plus : il va falloir que je le ressorte celui là...) c'était (2k+1)i.pi avec k dans Z qu'on prend comme on veut.
Mais, 0 comme "valeur heuristique", c'est très bien aussi... :ptdr:

[paquito]

Au niveau de l'enseignement; "l'heuristique" ne présente que des avantages, puisque par exemple on ne peut pas pénaliser l'erreur, puisque tout est faux depuis le départ! Il reste à valoriser l'initiative et toute initiative est bonne;donc que des bonnes notes!
Je ne comprends pas que l'inspection générale n'y ait pas déjà pensé!
C'est génial!