Somme 1-> infini n^3

[joebox]

Bonsoir

Je m'intéresse aux suites qui somment jusqu'à l'infini.

J'ai compris la démonstration heuristique de la S-infini : 1+2+3+... = -1/12. Je pense avoir démontré par heuristique S-infini : 1^2+2^2+3^2+... = 0, mais pour S-infini : 1^3+2^3+3^3+... j'obtiens la somme infinie de la fraction 1/12, ce qui me paraît faux.

Auriez-vous la solution (ensuite j'essaie d'en faire une démonstration bricolée...) ?

Merci de votre aide

Jean-Marc

[Ben314]

Salut,
C'est quoi que tu appelle une démonstration "heuristique" ?
Parce que la démonstration "rigoureuse" (non heuristique ?) elle te dit clairement que la suite U_n=1+2+3+...+n est divergente... :doh:

[Mathusalem]

Je ne pense rien t'apprendre Ben314, mais vu ton :doh: , mais le nombre de fois que je vois apparaître ce sujet me porte à mentionner que ce genre de sommes à limites 'surprenantes' provient de l'extension dans le plan complexe de la fonction Zeta de Riemann http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
avec

[Doraki]

;)(-3) = 1/120

[Ben314]

Je ne pense rien t'apprendre Ben314, mais vu ton :doh: , mais le nombre de fois que je vois apparaître ce sujet me porte à mentionner que ce genre de sommes à limites 'surprenantes' provient de l'extension dans le plan complexe de la fonction Zeta de Riemann http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
avec

Ben si, tu maprend quelque chose, c'est qui un ab... sur le net qui trouve malin de noter 1+2+3+... la valeur de .
ça ma semble aussi futé que d'écrire que =quelque_chose sous prétexte qu'on a une fraction donné qui tend vers le quelque chose en question.

[Ben314]

Je ne pense rien t'apprendre Ben314, mais vu ton :doh: , mais le nombre de fois que je vois apparaître ce sujet me porte à mentionner que ce genre de sommes à limites 'surprenantes' provient de l'extension dans le plan complexe de la fonction Zeta de Riemann http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
avec

Ben si, tu maprend quelque chose, c'est qui un ab... sur le net qui trouve malin de noter 1+2+3+... la valeur de .
ça ma semble aussi futé comme notation que d'écrire que =quelque_chose sous prétexte qu'on a une fraction donné qui tend vers le quelque chose en question.

[Mathusalem]

Ben si, tu maprend quelque chose, c'est qui un ab... sur le net qui trouve malin de noter 1+2+3+... la valeur de .

Bha 1+2+3... c'est la notation heuristique de :we:

Mis à part l'abus de notations, cette somme est assez intéressante, du lors qu'on admet une convention de sommation des termes de la série qui alors effectivement converge vers -1/12 http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

[Ben314]

Si le but est juste de constater que "la fonction zeta est assez intéressante" alors, là, O.K. je suis 100% d'accord.

Mais quand je vois le temps et tout les efforts qu'il a fallu a de très nombreux mathématiciens pour arriver a dégager des notions "propres" de limites, de famille sommables, etc... pour en arriver a voir en 2014 écrit que 1+2+3+...=-1/12, ben j'en pense... ce que tu te doute...

Surtout qu'on ne peut même pas dire que c'est plus court a écrire que .
Donc c'est quoi l'intérêt d'écrire une ânerie pareille ? (c'est une vrai question)
Le seul truc qui me vient a l'esprit (et j'espère que je me trompe), c'est de faire croire que c'est un résultat "simple".

[DamX]

hello,

un petit lien pas trop charlot qui parle de cette thématique et présente différentes techniques de "sommation" (au sens d'un opérateur linéaire attribuant un réel à une suite et vérifiant certains critères) qui coïncide sur l'ensemble des séries convergentes au sens classique mais peut parfois affecter une valeur à des séries alors qu'elles ne convergent pas au sens classique, comme dans l'exemple de ce post.

Le texte est plutôt assez bien construit et intéressant, avec des réserves là où il faut, le plus gros problème c'est surtout que la plupart des posts sur ce genre de sujets, les gens prennent cette "heuristique" pour argent comptant sans comprendre les tenants et aboutissants, ce qui mène à du délire pur et simple .

http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/

Damien

[Luc]

Hello,
Je plussoie Damien pour ce lien, ainsi que cet excellent article http://www.science4all.org/le-nguyen-hoang/infinite-series/

Bonne lecture (c'est en anglais mais c'est très lisible!)

Luc

hello,

un petit lien pas trop charlot qui parle de cette thématique et présente différentes techniques de "sommation" (au sens d'un opérateur linéaire attribuant un réel à une suite et vérifiant certains critères) qui coïncide sur l'ensemble des séries convergentes au sens classique mais peut parfois affecter une valeur à des séries alors qu'elles ne convergent pas au sens classique, comme dans l'exemple de ce post.

Le texte est plutôt assez bien construit et intéressant, avec des réserves là où il faut, le plus gros problème c'est surtout que la plupart des posts sur ce genre de sujets, les gens prennent cette "heuristique" pour argent comptant sans comprendre les tenants et aboutissants, ce qui mène à du délire pur et simple .

http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/

Damien

[joebox]

Merci pour vos réponses

Bonne soirée

[TheReveller]

Bonjour,

Je ne suis pas mathématicien, mais je m'intéresse aux maths et je les utilise beaucoup et il y a quelque chose qui me tracasse dans tout ça.

Personnellement, j'utilise beaucoup les maths dans le cadre d'équations numériques.

Alors je me dis : toute équation mathématique ne devrait-elle pas pouvoir être approchée également de façon numérique ?

Par exemple, pour une limite, une intégrale ou une dérivée, on pourra toujours arriver à obtenir un résultat qui l'approchera numériquement. Évidemment, puisque ça converge.

Mais alors là, ça diverge, alors évidemment qu'on ne pourra jamais s'en approcher numériquement. Mais alors pourquoi les mathématiciens acceptent-ils d'y mettre une valeur finie sous prétexte d'une démonstration algébrique ? Par exemple, pour le 1-1+1-1+..., on finit par A = 1 - A donc A = 0.5, mais cette équation algébrique n'est valide que si A est une valeur définie (et donc qui a convergé). Au même titre que 1/0 est indéfini puisque d'un côté on a -Inf et de l'autre on a Inf, alors quelle est l'utilité d'avoir une valeur définie pour 1-1+1-1+... si d'un "côté" (pair) on a 0 et de l'autre "côté" (impair) on a 1 et bref qu'on est dans une oscillation constante ? Et que l'équation qui a mené à la définition de A = 1-1+1-1+... n'est valide que si A est définie, or c'est paradoxal puisqu'on cherche à définir A, mais la condition pour que la définition de A soit valide est que A soit une valeur définie...

Pour moi, si on peut définir 1-1+1-1+... = 0.5, alors on peut définir une valeur définie à sin(inf).

[joebox]

Bonjour,

Je ne suis pas mathématicien, mais je m'intéresse aux maths et je les utilise beaucoup et il y a quelque chose qui me tracasse dans tout ça.

Personnellement, j'utilise beaucoup les maths dans le cadre d'équations numériques.

Alors je me dis : toute équation mathématique ne devrait-elle pas pouvoir être approchée également de façon numérique ?

Par exemple, pour une limite, une intégrale ou une dérivée, on pourra toujours arriver à obtenir un résultat qui l'approchera numériquement. Évidemment, puisque ça converge.

Mais alors là, ça diverge, alors évidemment qu'on ne pourra jamais s'en approcher numériquement. Mais alors pourquoi les mathématiciens acceptent-ils d'y mettre une valeur finie sous prétexte d'une démonstration algébrique ? Par exemple, pour le 1-1+1-1+..., on finit par A = 1 - A donc A = 0.5, mais cette équation algébrique n'est valide que si A est une valeur définie (et donc qui a convergé). Au même titre que 1/0 est indéfini puisque d'un côté on a -Inf et de l'autre on a Inf, alors quelle est l'utilité d'avoir une valeur définie pour 1-1+1-1+... si d'un "côté" (pair) on a 0 et de l'autre "côté" (impair) on a 1 et bref qu'on est dans une oscillation constante ? Et que l'équation qui a mené à la définition de A = 1-1+1-1+... n'est valide que si A est définie, or c'est paradoxal puisqu'on cherche à définir A, mais la condition pour que la définition de A soit valide est que A soit une valeur définie...

Pour moi, si on peut définir 1-1+1-1+... = 0.5, alors on peut définir une valeur définie à sin(inf).

Hello

Dans le cas de A = 1-1+1-1+... on peut aussi utiliser les probabilités, et si j'ai bien compris l'espérance mathématique de A à l'inf. est de 0.5.
J'ai aussi été surpris de ce résultat et des autres (1/12 etc.) raison pour laquelle je cherche des avis différents.

A+

[TheReveller]

D'ailleurs, pour le vidéo qui démontre que 1+2+4+8+... = -1

Pour moi, c'est totalement invalide puisqu'on banalise les "...". Ces "..." ont une "longueur" dans le "temps".

Lorsqu'il écrit (2-1) * (1+2+4+8+...) = (2 + 4 + 8 + 16 +...) + (-1 -2 -4 -8 -16...) = -1 et qu'il élimine les valeurs, c'est totalement invalide en mon sens puisqu'on a décalé les termes dans le temps (il y a un terme de plus en bas, soit le -16), alors on n'est pas au même moment dans le "temps" pour l'atteinte de la limite de la somme puisqu'en ajoutant un terme, on somme jusqu'à "l'infini plus 1". Alors, ce qui est valide est (2 + 4 + 8 + 16 +...) + (-1 -2 -4 -8...) = 1 + 2 + 4 + 8..., bref on retombe sur la même équation. Et c'est ce qui arriverait numériquement.

Je crois que les mathématiciens devront ajouter une notion de temps à leurs équations...

[joebox]

.... Je crois que les mathématiciens devront ajouter une notion de temps à leurs équations...

quand les mathématiciens et les physiciens se rejoignent

[TheReveller]

Et ce que je viens de dire là à propos du "temps" invalide toutes les autres démonstrations.

1-1+1-1+...

soit A = 1-1+1-1+...

A = 1-1+1-1+... = 1-(1-1+1-...) = 1-(A+1) --> A = -A --> A = 0 à ce moment dans le temps

bref c'est A = 1-(A+1) et non A = 1-A puisqu'on a changé le "temps" !!

Si je continue dans le temps...

soit A = 1-1+1-1+1-...

A = 1-1+1-1+1-... = 1-(1-1+1-1+...) = 1-(A-1) --> A =-A + 2 = 1 à ce moment dans le temps

Donc, si on continue toujours dans le temps, on retrouve A = 1-1+1-1+1-1+... (et non A = 0.5)

Toutes les démonstrations que j'ai vues sont basées sur le fait que "sommation à l'infini" = "sommation à l'infini + 1" = "sommation à l'infini - 1". Évidemment, puisqu'on dit qu'ajouter ou enlever 1 à l'infini, ça reste l'infini, mais il faut justement faire attention à ce qu'implique l'infini puisque pour la sommation l'infini n'est pas une forme de "nombre" proprement dite, mais plutôt une quantité d'itérations et donc une évolution dans le temps.

[Monsieur23]

Mais alors là, ça diverge, alors évidemment qu'on ne pourra jamais s'en approcher numériquement. Mais alors pourquoi les mathématiciens acceptent-ils d'y mettre une valeur finie sous prétexte d'une démonstration algébrique ?

En fait, les mathématiciens ne l'acceptent pas :lol3:

[TheReveller]

En fait, les mathématiciens ne l'acceptent pas :lol3:

Ah, merci! Alors pourquoi voit-on toutes ces démonstrations avec A = 1-A, etc. (ou 1+2+3+... = -1/12) alors que poser cette équation implique que les deux "A" sont égaux alors que cette équation a été posée à l'aide de deux "A" qui ne sont pas au même instant dans le "temps" et donc pas la même valeur...

[Monsieur23]

Ah, merci! Alors pourquoi voit-on toutes ces démonstrations avec A = 1-A, etc. (ou 1+2+3+... = -1/12) alors que poser cette équation implique que les deux "A" sont égaux alors que cette équation a été posée à l'aide de deux "A" qui ne sont pas au même instant dans le "temps" et donc pas la même valeur...

On voit ces trucs parce que c'est marrant, ç'tout.
Ça donne une explication intuitive (mais fausse) du calcul de zeta(-1).

[TheReveller]

Ah, et le scandale c'est qu'il y a des mathématiciens qui s'entêtent à vouloir dire que c'est valide ?