Simplification...

[Lostounet]

Bonjour!

Je cherche à simplifier une grosse expression. Comment procéder? Wolfram n'arrive pas à simplifier.
Je sais que la réponse est 4/3 (c'est un problème de géométrie):

(((a+b+c)/2)*(((a+b+c)/2)-a)(((a+b+c)/2)-b)(((a+b+c)/2)-c))/(((;)(c^2/2 + a^2/2 - b^2/4)+;)(c^2/2+b^2/2-c^2/4)+;)(-c^2/4+b^2/2+a^2/2))/2)(((;)(c^2/2 + a^2/2 - b^2/4)+;)(c^2/2+b^2/2-c^2/4)+;)(-c^2/4+b^2/2+a^2/2))/2)-;)(c^2/2 + a^2/2 - b^2/4))(((;)(c^2/2 + a^2/2 - b^2/4)+;)(c^2/2+b^2/2-c^2/4)+;)(-c^2/4+b^2/2+a^2/2))/2)-
(c^2/2+b^2/2-c^2/4))(((;)(c^2/2 + a^2/2 - b^2/4)+;)(c^2/2+b^2/2-c^2/4)+;)(-c^2/4+b^2/2+a^2/2))/2)-;)(-c^2/4+b^2/2+a^2/2)))

[Kikoo <3 Bieber]

Ouuiiiin !!!! :cry: :cry: :cry:

[Lostounet]

Ouuiiiin !!!!

Bon, je sais c'est pas très "joli"...

L'expression ci-dessus peut être définie comme suit. Autrement dit je cherche à calculer


Avec:
et

et

Sachant que:

[Dlzlogic]

Bonjour,
C'est un "exercice" ou le résultat d'un calcul compliqué.
Dans les deux cas je procéderais par étape.
On pose A = [de la première parenthèse ouvrante à la parenthèse fermante correspondante]
puis B, le même principe pour la suite, etc.
Tour ça écrit soigneusement sur des lignes successives devrait mettre en évidence des parties pouvant être mise en facteur.
Ca m'amuse, je vais le faire.
Bon, ça change les hypothèses.

...
U est le carré de l'aire du triangle de côtés a,b,c et v le carré de l'aire du triangle de côté x,y,z.
Après je sais pas encore.

[Doraki]

Appelle f(x,y,z) = u/v(x,y,z), et développe le polynôme
(X-f(x,y,z))(X-f(-x,y,z))(X-f(x,-y,z))(X-f(-x,-y,z)) (pas besoin de rajouter les facteurs en -z, puisque changer les 3 signes ne change pas f); tu observeras que x²,y²,z² apparaissent avec des exposants pairs donc remplace tous les x²,y²,z² par leur valeur, simplifie, espère que tous les a b c se tuent entre eux et compare ce que tu obtiens avec (X-4/3)^4.

[Dlzlogic]

On remarque aussi que x²+y²+z² = a²+b²+c² -1/4(a²+b²+c²)
Il doit bien y avoir un rapport d'homothétie.

[Lostounet]

...
U est le carré de l'aire du triangle de côtés a,b,c et v le carré de l'aire du triangle de côté x,y,z.
Après je sais pas encore.

Ah oui, il faut normalement obtenir 16/9 et non pas 4/3 ... my bad !

Le problème c'est de trouver la valeur du rapport des aires d'un triangle quelconque et d'un triangle dont les longueurs des côtés sont celles des médianes du premier triangle.
L'exercice est faisable en 2-3 étapes par une construction astucieuse d'un tel triangle, qui fait qu'on peut facilement comparer... (La solution n'est pas de moi).

Mais j'ai voulu essayer une méthode un peu plus bulldozer en exprimant les longueurs des médianes et calculer la valeur du rapport, "algébriquement".

Appelle f(x,y,z) = u/v(x,y,z), et développe le polynôme
(X-f(x,y,z))(X-f(-x,y,z))(X-f(x,-y,z))(X-f(-x,-y,z)) (pas besoin de rajouter les facteurs en -z, puisque changer les 3 signes ne change pas f); tu observeras que x²,y²,z² apparaissent avec des exposants pairs donc remplace tous les x²,y²,z² par leur valeur, simplifie, espère que tous les a b c se tuent entre eux et compare ce que tu obtiens avec (X-4/3)^4.

Désolé Doraki, j'ai pas tout à fait compris :/

On veut trouver les valeurs de grand X mais je ne comprends pas l'histoire des f(-x,-y,z)... Pourquoi faut-il aussi considérer ces cas?
x,y,z>0



Je vous remercie !

[Doraki]

Ben parceque c'est comme ça qu'on simplifie une racine carrée.
si tu développes (X-f(+x,y,z))(X-f(-x,y,z)), les coefficients que tu obtiens f(+x,y,z)+f(-x,y,z) et f(+x,y,z)*f(-x,y,z) feront apparaître x seulement avec des exposants pairs, du coup tu pourras retirer tous les x en remplaçant x² par sa valeur. Et après tu recommences avec y et z. Comme ça tu obtiens un polynôme en X,a,b,c dont f(+x,+y,+z) est une racine.
Bon en fait ce polynôme aura probablement d'autres racines que 4/3 ou 16/9 ou je ne sais quoi, mais il y aura probablement des racines négatives ou complexes, qui ne peuvent pas correspondre à f(+x,+y,+z).

[Dlzlogic]

Le problème c'est de trouver la valeur du rapport des aires d'un triangle quelconque et d'un triangle dont les longueurs des côtés sont celles des médianes du premier triangle.

Ca me rappelle un exercice d'oral qui consistait justement à construire un triangle connaissant la longueur des 3 médianes, ou des 3 hauteurs, je sais plus.

[Lostounet]

C'est un "exercice" ou le résultat d'un calcul compliqué. Dans les deux cas je procéderais par étape.

J'ai suivi ton conseil... Il faut y aller slowly.

On cherche à calculer U/V avec u = p(p - a)(p - b)(p - c), avec p = (a + b + c)/2

En substituant p dans U, on trouve: -1/16 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) = U

De même pour V: -1/16 (x-y-z) (x+y-z) (x-y+z) (x+y+z) = V

En posant u = -16U, v = -16V (juste parce que ça fait joli):
(a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) = u
(x-y-z) (x+y-z) (x-y+z) (x+y+z) = v

On a rien fait jusque-là.


Ensuite, je définis R et K tels que:


Avec:



Posons . m peut s'exprimer sans radicaux et simplement en fonction de a, b et c:
On peut remarquer que:

et , ce qui donne:





est un truc sympa.

C'est pas trop dur comme calcul pour Wolfram...

Et comme par hasard:


Donc:





J'espère...

[Doraki]

u = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
Quand on change a par -a,
on obtient ;)(u) = (-a+b+c)(a+b+c)(-a-b+c)(-a+b-c) = u (on multiplie deux facteurs par -1 et on réordonne).
Ceci implique que u est un polynôme en a².
De même, u est un polynôme en b² et en c².
Il est de plus symétrique en a²,b²,c² et de degré 2 en a²,b²,c², donc il s'écrit
u = A * (a²+b²+c²)² + B * (a²b²+b²c²+c²a²)

Si on veut on peut trouver A (le coefficient devant a^4 vaut -1) et B (on prend a=b=c=1, ce qui donne 3 = 9A+3B, d'où B=4) mais vu le résultat à trouver on en a pas besoin.
On a donc tenu compte de toutes les symétries pour exprimer u en fonction des polynomes symétriques élémentaires en les a²,b²,c².
Maintenant, on a bien sûr la même chose pour v en fonction de x²,y²,z².

On voit rapidement que le coefficient de a² dans x²+y²+z² vaut 1/2+1/2-1/4 = 3/4,
que le coefficient de a^4 dans x²y²+y²z²+z²x² vaut 1/4-1/8-1/8 = 0,
et que le coefficient de a²b² dans x²y²+y²z²+z²x² vaut 1/4+1/4+1/16-1/8-1/8+1/4 = 9/16.

Du coup, (x²+y²+z²) = (3/4) * (a²+b²+c²) et (x²y²+y²z²+z²x²) = (9/16) * (a²b²+b²c²+c²a²)
Donc v = A*(x²+y²+z²)² + B*(x²y²+y²z²+z²x²) = A*(3/4)²*(a²+b²+c²)² + B*(9/16)* (a²b²+b²c²+c²a²) = (9/16)*u.

[Lostounet]

Merci Doraki, je viens de "comprendre" plus ou moins ta méthode, très astucieuse !
Mais je serais incapable de la réinvestir dans d'autres calculs.

[Doraki]

Ben il faut toujours essayer de tirer parti des symétries le plus possible.

Le plus souvent, on se sert de symétries du genre "le machin est invariant quand on échange a et b !", ce qui conduit à exprimer le machin en fonction de (a+b) et (a*b).

Ici, on utilise aussi la symétrie "le machin est invariant quand on remplace a par -a", ce qui conduit à l'exprimer en fonction de a². (ce qui est fortement suggéré quand on te donne des relations entre a²,b²,c² et x²,y²,z² au lieu de relations entre a,b,c et x,y,z)

Tout ça est une application de la théorie de Galois. Le corps des fractions rationnelles en n variables invariantes par tel ou tel groupe de transformations est un sous-corps du corps initial. Ensuite on calcule les générateurs de ce sous-corps, ce qui permet de beaucoup simplifier ce qu'on dit quand on parle de ses éléments.

Là, on a u qui est un élément de K = Q(a,b,c) ; et si ;) est l'automorphisme de corps de K donné par (a,b,c) -> (-a,b,c), ;) celui donné par (a,b,c) -> (b,c,a) et ;) celui donné par (a,b,c) -> (a,c,b) ; notre expression est invariante par ;),;),;), donc elle appartient au sous-corps K' de K formé des invariants par ;),;),;).
Si on cherche des générateurs de K',on finit par trouver que K' = Q(a' = a²+b²+c², b' = a²b²+b²c²+a²c², c' = a²b²c²), et il est isomorphe au corps de fractions rationelles en 3 variables Q(a',b',c').

En plus, les relations données entre a,b,c et x,y,z donnent facilement des relations entre (a²+b²+c², ...) et (x²+y²+z², ...), donc on peut entièrement retraduire le problème dans le contexte où on parle seulement d'éléments de Q(a',b',c') et Q(x',y',z') : u = -a'²+4b', v = -x'²+4y', x' = 3/4 a', y' = 9/16 b', (on a aussi une rrelation entre z' et c' mais on en a pas besoin). Et là le problème devient simple.

[Lostounet]

Heu... Je reviendrai lire ce post dans quelques années, peut-être que je pourrais le comprendre !

Merci :)