Résultat simple mais démo non proportionnée

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azf
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Résultat simple mais démo non proportionnée

par azf » 30 Nov 2021, 09:13

Bonjour

Ce que je cherche à montrer m'a l'air évident donc je suis certain qu'on peut faire la démo en moins de lignes

Ceci dit je ne peux pas me faire confiance au pif comme ça, surtout que je ne suis pas mathématicien ou alors juste du dimanche ce qui n'est vraiment pas une référence et donc du coup j'ai bien été obligé de la faire car j'ai besoin de ce résultat pour faire un bidule en géométrie

Si vous avez une démo plus simple j'aimerai bien la lire (en espérant la comprendre)

Énoncé :

Soit un repère barycentrique d'un espace affine d'origine et de direction un -espace vectoriel de dimension et un corps commutatif de caractéristique différente de

alors en considérant l'ensemble de vecteurs de

toute famille de vecteurs distincts deux à deux de cet ensemble là constituera une base de

Démonstration:

Avant toutes choses (i.e. avant même d'entrer dans le sujet proprement dit)

On montre que pour l'application alors

On va considérer et l'énoncé dit que de sorte que

Notons resp. la partie entière inférieure resp. la partie fractionnaire du rapport

par conséquent et

on a donc et donc

par ailleurs et donc

À présent entrons dans le sujet

Notons une quelconque permutation de

alors il est trivial que si est un repère barycentrique de (ce que pose l'énoncé) il en sera de même pour

À ce repère barycentrique on va associer la famille de vecteurs de

et on va associer l'ensemble de vecteurs de

de plus en se donnant et tels que on va associer la famille

de vecteurs de

Alors il devient trivial que si est une base de alors il en sera de même pour



et par conséquent il en sera de même pour toute famille de vecteurs distincts deux à deux de l'ensemble



Par ailleurs l'énoncé pose que est un repère barycentrique de

alors dans ce cas il devient trivial que la famille

soit une base de

Avec ce qui a été dit précédemment alors il ne reste plus qu'à montrer que

est une base de

On termine donc en montrant cela:

pour tout et tout alors en effet



Par conséquent il suffira de démontrer que:

est une base de

sachant que est une base de

Montrons donc cela:

Comme est une base de

et comme est de caractéristique différente de alors on sait qu'il existe une base orthonormale pour une forme bilinéaire symétrique telle que

la matrice identité d'ordre

Notons

alors on peut poser la matrice de passage et par ailleurs posons

la matrice dont la -ième colonne est celle des coordonnées du -ième vecteur de la famille



par rapport à la base

alors où ici est une matrice carrée d'ordre

dont la première colonne est nulle

et pour la -ième colonne tous ses coefficients sont nuls excepté le coefficient situé à la ligne qui vaut

(de sorte mais on s'en fiche ici soit dit en passant que la -ième ligne de cette matrice est nulle)

On cherche donc à montrer que M est inversible sachant que

Comme est inversible (c'est une matrice de passage)

il suffit donc de montrer que est inversible

Ce qui est évident puisque cette matrice là est triangulaire supérieure de diagonale

(sa deuxième diagonale supérieure n'est pas nulle et toutes les autres sont nulles mais bon on s'en fiche aussi)

#
Elle n'a pas été engagée par Pink Floyd mais moi je trouve qu'elle fait le job
(et en plus elle a une très belle voix)
https://www.youtube.com/watch?v=mqhbwrrfND8



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Re: Résultat simple mais démo non proportionnée

par azf » 30 Nov 2021, 13:13

je recopierai la démo ce soir (là j'écoute la broyeuse et avec cette "machine" tout y passe moi compris)

je peux enlever des lignes mais ça ne raccourcira pas de beaucoup la démo et d'ailleurs il ne vaut mieux pas (je me connais, j'ai aucune confiance en moi et encore moins en maths donc si j'ai un doute il vaut mieux que je l'ai bien détaillée

ceci étant si vous avez plus court je la lirai et je la rajouterai en plus de celle-là (quitte à la comprendre des années plus tard )
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Re: Résultat simple mais démo non proportionnée

par azf » 09 Déc 2021, 12:47

azf a écrit:
et comme est de caractéristique différente de alors on sait qu'il existe une base orthonormale pour une forme bilinéaire symétrique telle que

la matrice identité d'ordre



Non orthogonale

Il faut que je refasse la démo mais c'est pas gênant car en fait on s'en fout si on a juste une base orthogonale ça le fait aussi mais il faut modifier un peu la démo (mais vraiment trois fois rien )
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Re: Résultat simple mais démo non proportionnée

par azf » 16 Déc 2021, 00:25

totalement inutile de parler d'une base orthogonale (ou orthonormale )
on en a même pas besoin pour faire la démonstration

On se fout complètement de ce qu'est la base
on peut poser n'importe quelle matrice de passage on aura toujours cette matrice L qui sera comme elle est décrite dans la démo
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Re: Résultat simple mais démo non proportionnée

par azf » 18 Déc 2021, 01:55

....et bien évidemment je n'avais pas vu que le négatif de la matrice est un bloc de Jordan



Je pense avoir fini par voir tout ce qu'il y avait à voir dans cette démo complètement illisible lol :mrgreen:
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