Ce que je cherche à montrer m'a l'air évident donc je suis certain qu'on peut faire la démo en moins de lignes
Ceci dit je ne peux pas me faire confiance au pif comme ça, surtout que je ne suis pas mathématicien ou alors juste du dimanche ce qui n'est vraiment pas une référence et donc du coup j'ai bien été obligé de la faire car j'ai besoin de ce résultat pour faire un bidule en géométrie
Si vous avez une démo plus simple j'aimerai bien la lire (en espérant la comprendre)
Énoncé :
Soit
alors en considérant l'ensemble de
toute famille de
Démonstration:
Avant toutes choses (i.e. avant même d'entrer dans le sujet proprement dit)
On montre que pour l'application
On va considérer
Notons
par conséquent
on a donc
par ailleurs
À présent entrons dans le sujet
Notons
alors il est trivial que si
À ce repère barycentrique
et on va associer l'ensemble
de plus en se donnant
Alors il devient trivial que si
et par conséquent il en sera de même pour toute famille de
Par ailleurs l'énoncé pose que
alors dans ce cas il devient trivial que la famille
soit une base de
Avec ce qui a été dit précédemment alors il ne reste plus qu'à montrer que
On termine donc en montrant cela:
pour tout
Par conséquent il suffira de démontrer que:
sachant que
Montrons donc cela:
Comme
et comme
Notons
alors on peut poser la matrice de passage
par rapport à la base
alors
dont la première colonne est nulle
et pour la
(de sorte mais on s'en fiche ici soit dit en passant que la
On cherche donc à montrer que M est inversible sachant que
Comme
il suffit donc de montrer que
Ce qui est évident puisque cette matrice là est triangulaire supérieure de diagonale
(sa deuxième diagonale supérieure n'est pas nulle et toutes les autres sont nulles mais bon on s'en fiche aussi)
#
