Redressement de perspective

[Idriss]

ce truc est un peu le dada de Pierre qui ne peut communiquer sur ce forum.

Pourquoi (si cela n'est pas indiscret) ?

[L.A.]

Bonsoir
L.A. , vous dites bien que vous travaillez dans l'espace 3D pour transformer cette figure du plan ? j'ai peut-être mal compris.

Qui dit perspective dit projection d'un espace 3D sur un espace 2D. La construction se fait entièrement dans l'espace 2D final, mais peut prendre appui sur un espace 3D initial qui donnerait lieu à cette projection. Ici, dans mon espace 3D, les trois quadrilatères rouges, vert et bleu sont trois rectangles de mêmes dimensions, le premier horizontal et les autres verticaux, qui se touchent par une arête, comme un patron :



Bien sûr, il n'y a pas injectivité de la projection 3D -> 2D, donc plusieurs configurations 3D peuvent donner lieu à la même configuration 2D. Cependant, sachant de plus que ce sont trois rectangles, il y en a essentiellement une et on lève l'ambiguité. Avec un peu de travail, je pourrais même vous donner la valeur de l'angle entre les rectangles bleu et vert dans l'espace 3D reconstitué.

[GaBuZoMeu]

Je ne vois aucune image. Un peu difficile donc pour discuter.

Pour poster une image.

[L.A.]

Pour l'image :


Une autre solution, plus simple, basée sur une réflexion selon une diagonale (FK) :


Dans l'espace 3D, essentiellement unique, qui donne lieu à cette image 2D, on n'a clairement pas FD = FH mais on a bien proportionnalité : MI/FD = OQ/FH.
Idem dans le sens de la largeur.
Donc le point I du rectangle DCEF vu en perspective correspond au point Q du rectangle HLGF vu de face, modulo des éventuels redimensionnements ou retournements de ce rectangle.

[leon1789]

Qui dit perspective dit projection d'un espace 3D sur un espace 2D. La construction se fait entièrement dans l'espace 2D final, mais peut prendre appui sur un espace 3D initial qui donnerait lieu à cette projection. Ici, dans mon espace 3D, les trois quadrilatères rouges, vert et bleu sont trois rectangles de mêmes dimensions, le premier horizontal et les autres verticaux, qui se touchent par une arête, comme un patron.

Merci pour votre réponse sur cette question.
Ok, donc vous travaillez clairement dans le plan projectif qui est le quotient de R^3 modulo la colinéarité (traduisant mathématiquement l'effet de vision physique à partir d'un point de l'espace)

Mais vous n'avez pas répondu par rapport aux calculs : avec "les mains dans le moteur" (regardons la réalité des calculs), quand on calcule les coordonnées des nouveaux points, ces calculs se font-ils avec des expressions polynomiales de degré 1, 2, 3,... ? avec quelques divisions ou sans aucune division ?

[L.A.]

Mais vous n'avez pas répondu par rapport aux calculs : avec "les mains dans le moteur" (regardons la réalité des calculs), quand on calcule les coordonnées des nouveaux points, ces calculs se font-ils avec des expressions polynomiales de degré 1, 2, 3,... ? avec quelques divisions ou sans aucune division ?

Chez moi il n'y a ni calculs ni coordonnées, seulement des tracés basés sur les points de fuite. Il s'agit de reproduire des constructions que l'on pourrait faire dans un espace 3D, mais en ayant à sa disposition uniquement la projection 2D de cet espace. On doit principalement gérer la non-injectivité de la projection, autrement dit la perte de la notion de profondeur, ce qui se fait très bien avec certaines méthodes que j'ai (re)trouvées

[leon1789]

ok, mais le logiciel qui vous a servi à construire vos présentations ci-dessus fait des calculs, car il n'a ni main, ni règle, ni compas

Comme il s'agit de calculs d'intersections de droites et de plans dans R^3, les coordonnées dans R^3 sont des expressions polynomiales de degré 1. Si bien qu'après la projection sur R^2, on se retrouve avec des coordonnée données par des homographies, qui représentent les transformations géométriques projectives.
Je les ai souvent pratiqués pour introduire la géométrie projective aux étudiants débutants.

[L.A.]

OK, alors disons que je n'utilise que trois axiomes : tracer une droite passant par deux points, trouver l'intersection de deux droites, et tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point.
En termes de coordonnées il n'y a ma foi que du degré 1...

[leon1789]

oui, du degré 1, exactement.

Par ailleurs, de manière très informelle, mais tout à fait effective,
quand on "projette" un point P(x,y,z) sur le plan "projectif" x+y+z=1 en mettant son "oeil" en (0,0,0), l'image de P est le point Q( x/r , y/r, z/r ) avec r=x+y+z (d'où homographie). Et pour le cas particulier r=x+y+z=0 , on dit que le point P est sur la droite à l'infini du plan projectif, dans une certaine direction.
Autre exemple : on "projette" un point P(x,y,z) sur le plan "projectif" z=1 en mettant son "oeil" en (0,0,0), l'image de P est le point Q( x/z , y/z, 1 ) , etc.
Tracer deux droites parallèles dans le plan euclidien, c'est considérer leur point d'intersection à l'infini d'un plan projectif, et cela s’interprète linéairement en dimension trois comme vous le faites.

[leon1789]

ce truc est un peu le dada de Pierre qui ne peut communiquer sur ce forum.

Pourquoi (si cela n'est pas indiscret) ?

Parce que, malgré sa non qualification en la matière, il insistait pour raconter des énormités mathématiques (surtout concernant les probabilités et la statistique) , physiques, informatiques, à tour de bras, et finissait (ici ou sur tous les forums dont il s'est fait exclure) aussi par insulter les forumeurs qui lui faisaient remarquer son incompétence... Bref, << le genre de type à vendre de l'intelligence alors qu'il n'en a pas un brin sur lui >>, comme disait notre regretté Coluche. Et donc pas assez *** pour venir ici s'exprimer normalement.

[beagle]

Ce qui peut ètre génant ce sont les gens qui insultent d'autres forumeurs en usant de leurs arguments d'autorité. Donc des gens calés en maths sévissent qui disent:
-ma solution est LA solution
déjà faut le faire pour un ancien prof
-ce que tu fais est faux, et là il trouve une expression mal formulée au lieu de parler du fond.

Pour ne prendre que l'exemple de ce fil de discussion,
la méthode de LA, comme le logiciel de Pierre répondent-ils correctement à un problème, oui, non?
est indépendant de on peut le faire autrement , mieux formulé , plus généralisable etc...

Ps: je ne parle pas de leon1789.
et LA solution ne parle pas de la solution de LA , mais bien du dictatorial LA UNIQUE SEULE ...

[GaBuZoMeu]

@L.A.
Très jolie construction dans l'esprit des classiques constructions en perspective pour se ramener à un rectangle de front.

Pourquoi penses-tu que c'est plus de la "géométrie pure" que la construction ici :
Sujet: Redressement de perspective
Là aussi, on trace des droites joignant deux points, on entersecte deux droites et on trace des perpendiculaires.

Ensuite, quand il s'agit de réellement transformer l'image, il faut bien des calculs sur les coordonnées (on ne va pas refaire la construction pour chaque pixel), et là on ne coupe pas au fait qu'il s'agit bel et bien d'une homographie du plan avec transformation des coordonnées donnée par la formule qui figure dans ce message
Sujet: Redressement de perspective
N'es-tu pas d'accord ?

[leon1789]

LA solution ne parle pas de la solution de LA , mais bien du dictatorial LA UNIQUE SEULE ...

Il n'y a pas 40 000 solutions à la résolution de genre de problème : il n'y en a qu'une. Mais il est vrai qu'il existe plusieurs chemins pour y arriver et chacun peut cheminer différemment. On peut résoudre l'équation 3 x + 2 = 0 de différentes manières, mais la solution est unique, et on sera forcé de parler de fractions tôt ou tard. Dire qu'il n'y a pas besoin de (petites) fractions pour trouver la solution à cette équation est aussi illusoire que de dire qu'on peut calculer en général un redressement d'une perspective sans (un petit) calcul d'homographie.

Pour ne prendre que l'exemple de ce fil de discussion,
la méthode de LA, comme le logiciel de Pierre répondent-ils correctement à un problème, oui, non?
est indépendant de on peut le faire autrement , mieux formulé , plus généralisable etc...

Pour moi, le souci n'est pas le problème de présentation (chacun peut avoir sa manière de présenter la solution, et c'est même une richesse d'avoir plusieurs présentations... quand elles sont correctes !).
Le souci est de mettre en opposition des choses qui ne le sont pas, surtout quand elles sont identiques en réalité !

En l’occurrence, bien qu'il critique la géométrie projective (de manière assez brutale), Pierre n'a pas compris qu'il fait en réalité de la (petite) géométrie projective dans ses calculs... C'est pas faute de lui avoir expliqué, mais quand on ne veut pas comprendre... D'ailleurs, il continue à proclamer qu'une transformation du plan projectif a besoin de 3 points pour être définie... C'est pas faute de lui avoir répété que c'est 4 points (ou une hypothèse équivalente(*) )... Et pour un géomètre, c'est quand même grave. Il ne comprend pas ce qu'il fait réellement quand il opère ces calculs qu'ils récite... Dans son programme, il ne veut pas voir les homographies qui sont pourtant juste sous ses yeux... Il est tellement convaincu de connaitre LA vérité...
https://perso.ensta-paris.fr/~filliat/C ... sion3D.pdf

(*) imposer le parallélisme des droites, c'est considérer des points d'intersection sur la droite à l'infini (dans le projectif !) , etc.
Placer dans le plan une "droite de points de fuite" (ligne d'horizon, etc), c'est faire opérer une homographie d'un plan projectif qui transfère la "droite à l'infini" dans le fini (une homographie qui transforme toutes les paires de rails parallèles d'un réseau ferré, en des paires de droites qui se touchent sur la ligne d'horizon), etc. Bien évidemment, on peut aussi faire dans l'autre sens...

Bref, on peut avoir une démarche personnelle, dans le plan, ou dans R^3 (comme L.A. et d'autres personnes aussi), mais au final, la solution de 3x+2=0 est -2/3 pour tout le monde. Heureusement !

[beagle2]

Bonjour léon1789,
c'est un très joli fil de discussion donc je ne vais pas le pourrir, je fais court.

avant l'intervention de LA, un lecteur peu aux faits de la discussion pouvait croire que la solution apportée par Pierre était fausse, puisqu'on pouvait lire:
"
Bon, j'attends toujours l'algorithme de redressement que notre personnage imaginaire a employé quand il a, paraît-il, développé son logiciel. Ça ne fait jamais que sept ans que je lui demande des précisions là-dessus. Les seules précisons que j'ai eues jusqu'à présent aboutissent à une catastrophe : on redresse une droite en une courbe.
Bizarre, non ?"

Ce n'est pas le meme discours que celui que tu tiens leon1789 en disant qu'avec une autre présentation on fait la meme chose, un meme resultat final.

[leon1789]

Bonjour Beagle2
Pour ma part, j'ai vu des images obtenues par le logiciel que Pierre utilise (je lui fais confiance sur ce point). Et les images sont correctes, l'algorithme de ce programme est correct (j'en suis convaincu). Le hic, c'est que Pierre n'est pas capable de donner une explication cohérente de son programme, ou de ses calculs. Là, je pense qu'il veut rester évasif soit parce qu'il ne comprend plus ce qu'il a fait, soit par simple mauvaise foi et ne pas voir ces fameuses homographies qui sont sous ses yeux...
Donc moi aussi, j'attends toujours l'algorithme de redressement de Pierre. A défaut, il préfère jeter brutalement la "pierre" sur tous les intervenants lui montrant que la (petite) géométrie projective est sous-jacente.

Mettre en opposition le théorème de Thalès et le b.a.ba de la géométrie projective, c'est une hérésie, sachant que l'objet de base est l'homothétie dans les deux cas (dans R^2 pour Thalès, dans R^3 pour le plan projectif). Les images 2D ne sont que des projections d'une situation 3D, donc le cadre le plus adéquat est naturellement un raisonnement se plaçant dans R^3, avec lequel on "simule" la projection sur un plan par un passage au quotient modulo la colinéarité (homothétie, vous dites ?) , d'où le plan projectif... Changer de plan de projection (redressement, ou le contraire), c'est faire opérer une homographie du plan projectif, les calculs en coordonnées en 2D montrent forcément cette homographie... car -2/3 est l'unique solution de 3x+2=0.

[beagle2]

merci leon1789 pour les explications sur ce que fait Pierre , comment l'appeler et dans quel cadre cela s'intègre .
Tu as fait le meme boulot en proba, que fait Pierre dans ses analyses, où cela se positionne avec la "théorie officielle".
j'en reste là pour laisser la beauté des maths qui s'exprime dans ce fil.
sans doute car j'aime les dessins, les maths qui se voient!

[leon1789]

Beagle2, je t'ai envoyé un MP , avec un lien qui ne sera valable que 24 h.

[beagle]

Bonjour leon1789, pas vu hier le message beagle2 pseudo de la maison
ce matin impossible ici de basculer sur beagle 2 à partir de ordi boulot.
et je n'arrive meme pas à envoyer un mail directement, j'arrive juste à répondre

[L.A.]

@GaBuZoMeu
je viens de voir ton post, effectivement je n'ai que survolé les premiers messages, et ayant vu essentiellement des matrices et des birapports, j'ai voulu proposer une approche différente. Ton appellation "perspective classique" est sans doute mieux appropriée... et je suis d'accord qu'elle n'est absolument pas applicable à un programme de traitement d'image

[GaBuZoMeu]

On est bien d'accord, et ce que tu fais est un joli exercice de perspective