Bonjour,
Imaginons que nous puissions voir les décimales d'un nombre réel comme une suite de nombres dont l'ensemble des valeurs de la suite est
et ou chacune de ces décimales possède un rang (le rang
est attribué à la première décimale, le rang
est attribué à la deuxième décimale etc...)
Il s'en suit qu'à chaque réel
, je peux ainsi associer une suite de nombres rangés du rang
, au rang
.
Par exemple, la constante Oméga :
est ainsi associée à la suite de nombres
)
Imaginons à présent qu'à chacun des termes
de cette suite on fasse correspondre le terme
. Nous créons alors une seconde suite
engendrée par
et telle que chacun des termes
.
Il est alors possible de déterminer chacun des termes
de la suite
:
et on fait correspondre au nombre
le terme
et on fait correspondre au nombre
le terme
et on fait correspondre au nombre
le terme
et on fait correspondre au nombre
le terme
...
La suite engendrée par
est donc
)
Il est alors possible d'associer à la suite
un réel
Pour corser l'affaire, je fixe deux règles supplémentaires :1/ Tout terme
de la suite
ne peut servir qu'une seule et unique fois pour engendrer un terme
de la suite
. Lorsque le terme
à été utilisé, le terme
exemple :
est associé à la suite
)
Il est possible de déterminer chacun des termes
de la suite
ainsi :
appelle le terme de rang
à savoir
donc
appelle le terme de rang
mais ce terme à déjà été utilisé donc l'appel se fait sur le terme de rang
(concaténation de
et de
) à savoir
donc
mais
à été engendré par le terme
appelle le terme de rang
mais ce terme à déjà été utilisé donc l'appel se fait sur le terme de rang
mais ce terme à déjà été utilisé également donc l'appel se fait sur le terme de rang
(concaténation de
et
et
) à savoir
donc
mais
à été engendré par le terme
2/ Tout nombre décimal
servant de base pour créer la suite
ne sera jamais écrit sous la forme d'un développement décimal impropre
exemple :
mais ne s'écrira jamais sous la forme impropre :
Dans la pratique, la détermination des termes de la suite
se fait directement à partir de la lecture des décimales du réel
auquel on associe la suite
.
Exemples :1) 
En lisant de gauche à droite les décimales du réel, il vient :
appelle la 6eme décimale à savoir
appelle la 8eme décimale à savoir
appelle la 73eme décimale à savoir
appelle la 2eme décimale à savoir
appelle la 57eme décimale à savoir
appelle la 7eme décimale à savoir
appelle la 5eme décimale à savoir
appelle la 10eme décimale à savoir
appelle la 1ere décimale à savoir
appelle la 16eme décimale à savoir
...
La suite
)
à laquelle j'associe le réel
2) 
En lisant de gauche à droite les décimales du réel, il vient :
appelle la 2e décimale à savoir
appelle la 5e décimale à savoir
appelle la 15e décimale à savoir
appelle la 3e décimale à savoir
appelle la 14e décimale à savoir
appelle la 6e décimale à savoir
appelle la 7e décimale à savoir
...
La suite
)
à laquelle j'associe le réel
Il est donc possible (avec les règles données ci-dessus) de transformer un nombre réel
en un nombre réel
. Cette transformation (opération) sera notée
# et définie sur l'intervalle
Mais s'il est possible d'appeler les décimales d'un réel
dans l'ordre de ses propres décimales, il est également possible d'appeler les décimales d'un réel
dans l'ordre des décimales d'un autre réel
.
Dans tous les exemples précédents le réel
de sorte que l'opérande appelant était la même que l'opérande appelé :
#
Prenons l'exemple de deux opérandes
et
inégaux et appelons
# l'opération consistant à transformer les décimales de
dans l'ordre de
. Une telle opération sera notée
# avec
l'opérande appelant et
l'opérande appelé.
Par convention, tout opérande positionné à gauche de l'opération
# est l'opérande appelant et tout opérande positionné à droite de l'opération
# est l'opérande appelé :
(opérande appelant dont les décimales forment la suite des nombres pairs)
(opérande appelé)
#
Si le résultat d'une telle opération donne nécessairement un nombre appartenant à l'intervalle unité
alors l'opération
# constitue une loi de composition interne dans la mesure ou elle associe à deux éléments de
un élément de ce même ensemble
.
Le couple
(I,#) serait alors par définition un magma dont les propriétés restent à explorer
En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises, n'hésitez pas à me corriger ou à me solliciter sur certains points que j'ai mal rédigé.
