Réconcilier 3 fonctions en une

[yannzul]

Bonjour,

J'ai trois fonctions sur trois intervalles bien précis. Existe-t-il une fonction qui puisse les regrouper en une ?

Voici mes fonctions, ainsi que leurs intervalles :

Code: Tout sélectionner

[0-20]
f(x) = 500 + 30x

[21-50]
f(x) = 500 + 20*30 + 20(x - 20)

[51-99]
f(x) = 500 + 20*30 + 30*20 + 5(x - 50)

Merci :we:

[John Difool]

Tu veux définir une fonction définie sur [0,99] et qui vaut la valeur de chaque fonction donnée sur l'intervalle correspondant ? Tu peux utiliser définie comme :

[yannzul]

Ce qui signifie que je ne peux échapper à la logique booléenne ? C'est dans le cadre d'un script, donc aucun soucis. J'aurais juste aimé savoir si c'était calculable directement ^^

[Ben314]

Salut,
Ta fonction est affine par morceaux (i.e. son graphe est formé de segments de droites) et, si elle était continue, tu pourrait entièrement l'écrire à l'aide de valeurs absolues, mais
- ça n'a pas forcément un quelconque intérêt et ça rend la relecture de la formule plus compliqué qu'avec l'utilisation de booléens.
- Ta fonction n'est pas continue, et d'ailleurs, ça m'étonne un peu : tu est sûr que pour x entre 21 et 50, ça serait pas plutôt f(x)=500+20*30+20*(x-20) et, pour x entre 51 et 99, ça serait pas f(x)=500+20*30+30*20+5*(x-50) ?
ça me semblerait plus logique...

[yannzul]

Effectivement, tu as raison, et j'ai édité ma question en ce sens ^^

Du coup avec les nouvelles données, n'est-ce toujours pas faisable ? (Je vais continuer à chercher de mon côté aussi, ça me turlupine cette fonction)

Je précise que je suis pas très à l'aise avec les notations, j'ai pas fais de bac général :s Donc même si j'ai un esprit logique, j'ai du mal à lire certaines formules ^^

[Ben314]

Dans ce cas, oui, tu as une formule "globale", mais ton script risque de pas mal y perdre en lisibilité...

Donc tu part de f(x)=50+30x dans tout les cas.
Puis, si x dépasse 20, il faut retrancher 10*(x-20) à cette quantité et, si x dépasse 50 il faut en plus retrancher 15*(x-50).
Sauf que |x-20| (valeur absolue) vaut -x+20 pour x<20 et x-20 pour x>20 donc x-20+|x-20| vaut 0 pour x<20 et 2(x-20) pour x>20 ce qui signifie que "retrancher 10*(x-20) lorsque x>20" revient à retrancher 5(x-20+|x-20|)
De même, "retrancher 15*(x-50) lorsque x>50" revient à retrancher 7.5(x-50+|x-50|)

Conclusion :
f(x)=500+30x-5(x-20+|x-20|)-7.5(x-50+|x-50|)
et après simplifications, ça donne
f(x)=975+17.5x-5|x-20|-7.5|x-50|

(si je me suis pas gourré...)

[yannzul]

Merci pour ta réponse.

Je n'ai pas le temps de la regarder maintenant, mais je l'analyserai plus tard dans la journée. Merci beaucoup en tout cas ^^

EDIT:

J'ai compris ^^ Très astucieux en tout cas ! Merci :)

[Robic]

Pour écrire une fonction affine par morceau en une seule formule, on peut utiliser la notion d'échelon unité et de rampe unité. Je n'ai pas trouvé de lien vers un cours clair à ce sujet, mais je sais que c'est utilisé dans le cadre des transformées en Z ou des transformées de Laplace. Il faudrait fouiller dans les cours d'école d'ingénieur.

C'est intéressant si on compte ensuite effectuer une transformée de cette fonction. Si c'est juste pour calculer des valeurs de f(x), autant garder la formule simple de départ avec la condition à déterminer.

[yannzul]

Merci Robic pour ces précisions, ça m'a aidé à généraliser.

Pour la postérité, voici deux fonctions (en Python, mais c'est très compréhensible ^^):

Code: Tout sélectionner

def sign(x):
    # return 0 if x = b
    '''
    return sign(x-a) * sign(b-x+1) * (x-a) + sign(x-b) * (b-a)

Il ne reste ensuite plus qu'à l'utiliser comme ceci:

Code: Tout sélectionner

y = 500 + value(x, 0, 20) * 30 + value(x, 20, 50) * 20 + value(x, 50 ,99) * 5

Bien sûr la fonction mathématique complète est, comme vous me l'avez précisé, bien plus complexe à écrire, et, comme ce n'est pas la seule que j'ai à construire, je ne vais pas utiliser l'approche purement mathématique, mais c'était quand même instructif ^^

[fatal_error]

hello,

avec un peu plus de généralité:

Code: Tout sélectionner

var rangeFunctions=[
  {
    min:0,
    max:20,
    calc:function(x){return 500+3*x}
  },
  {
    min:21,
    max:50,
    calc:function(x){return 500+20*30+20*(x-20)}
  }
]
var f=(function(funcs){
  return function(x){
    var res=undefined;
    funcs.some(function(f){
      if(f.min<=x && x<=f.max){
        res = f.calc(x);
        return true;
      }
    });
    return res;
  }
})(rangeFunctions);
console.log(f(1));//503
console.log(f(21));//1140
console.log(f(20.5));//undefined

[yannzul]

Intéressant. Voici à quoi je suis arrivé en généralisant la formule par soustraction de Ben314:

Code: Tout sélectionner

function f(x, ranges, coeffs) {
    var res = 0,
        a = coeffs[0];
    for (var i = 0; i < ranges.length; i++) {
        var r = ranges[i],
            c1 = coeffs[i],
            c2 = coeffs[i+1];
        res += (c1-c2) / 2 * (r - Math.abs(x-r));
        a -= (c1-c2) / 2;
    };
    return res + a*x;
}

Usage:

Code: Tout sélectionner

var ranges = [20, 50];
var coeffs = [30, 20, 5];
var y = 500 + f(x, ranges, coeffs);
500 + f(0, ranges, coeffs)
// 500
500 + f(20, ranges, coeffs)
// 1100

Il ne faut pas se gourer en définissant les écarts et coeffs cependant ^^