Recherche d'une métaphore pour les ensembles.

[alphamethyste]

bon sinon moi pour la pataphysique ton approche sur les sons ou l'approche de JWTDD sur les couleurs ça me parle (je l'ai placé en favoris)

c'est d'ailleurs pour ça que j'ai ressorti ton sujet qui date de quelques années

ça serait dommage d'abandonner ton idée (juste qu'il serait utile de bien definir le son et les couleurs et voir si les ensembles selon la théorie de Zermelo en serait une mathématisation possible autre que la traditionnelle mathematisation de ces concepts physiques )

merci

[un_homme]

Les ensembles finis (+l'algorithmie) sont suffisamment expressif pour exprimer l’arithmétique de Peano, et donc il n'existe pas de théorie axiomatique complète, permettant d'exprimer la théorie des ensembles finis (+algorithmie).
D'après le théorème d'incomplétudes de Goedel. (wiki)

[alphamethyste]

le problème est que pour faire une métaphore encore faut -il trouver de quoi avoir métaphoriser l'objet en question

et cet objet il faut bien le definir (que cette definition ne soit pas complete ne change rien à ce probleme)

et cet objet (ensemble fini) à priori est définit par les cinq premiers axiomes de Zermelo

tout ce qui suit est écrit sans Latex car tu n'aime pas le Latex (tu me l'a dit hier ) : à mon avis tu as tord mais l'amour ne se commande pas

bon alors :

Zermelo ne part pas d'une définition du concept d'ensemble mais part d'un moyen de construction qui permet de donner des propriétés qui caractérisent ce concept

On parle d'un objet appelé "ensemble" dont on sait qu'il peut posséder des éléments (ici le concept d'appartenance : des éléments qui appartiennent à un ensemble) et ces éléments sont eux mêmes des ensembles

cela il le décrète!

au passage sans même définir le vocabulaire qu'il emploie :
ensemble : on sait pas ce que c'est
concept d'appartenance : on sait pas ce que c'est
la seule chose qu'on sait : puisque c'est lui qui le décrète :
un élément d'un ensemble est lui-même un ensemble


Soit un ensemble noté A si on dit que:
a "appartiens à" A et on note a "in" A de l'anglais

autre symbole on notera
x "notin" E pour dire que l'élément x n'appartiens pas à E

Pour tout ensemble A , la quantité de ses éléments est noté Card (A)

Lorsqu'un ensemble A ne possède qu'un seul et unique élément on dit que l'ensemble a est un singleton et dans ce cas on obtiens Card (A)=1

pour l'écriture descriptive des éléments d'un ensemble A si on note A={a1,a2,...,an } cela signifie que les "ai" (avec i de 1 à n) appartiennent à l'ensemble A

de plus en écrivant A={a1,a2,...,an } on vérifie l'équivalence logique : ( ai=aj ) ( i=j )
ce qui signifie que obligatoirement si i et j sont différent alors ai et aj sont deux éléments distincts de l'ensemble A

Ainsi Zermelo définit six axiomes (mais on s'en fiche du dernier car tu parle d'ensembles finis)

(cela va nécessiter des explications mais je les écrits déjà)

premier axiome:axiome d'extentionnalité
qui stipule que deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments (on rappelle que l'élément d'un ensemble est toujours lui même un ensemble)

deuxième axiome:Shéma d'axiomes de compréhension non restreint
qui stipule (bon cela va nécessiter quelques explications ) que si P est un prédicat de rang quelconque mais libre en x et si A est un ensemble alors l'ensemble des éléments de A pour lesquels P est vrai est aussi un ensemble
on le note {x|x "in" A|P(x)}
(rappel) la notation x "in" A signifiant que l'élément x appartiens à l'ensemble A

troisième axiome:axiome de la paire
qui stipule que si A et B sont des ensembles alors il existe un nouvel ensemble qui contiens comme uniques éléments A et B
on note {A,B} ce nouvel ensemble

quatrième axiome:axiome de l'union
qui stipule que si A et B sont des ensembles alors l'ensemble A "UNION" B = {x|x "in" A + |x "in" B }
rappel -de l'apparté écrit en vert : + qui signifie le symbole du "or" en logique
P + Q = R est aussi une proposition qui est toujours vraie sauf si uniquement P et Q sont faux

cinquième axiome:axiome de puissance
qui stipule que pour tout ensemble A alors il existe un ensemble noté P(A)
-attention à ne pas confondre avec la notation précédente concernant les prédicats voir deuxième axiome-
dont noté P(A) et qui possède pour éléments tous les sous ensembles de A (cela va nécessiter des explications)

______________________________________________________________________

premier axiome:axiome d'extentionnalité
qui stipule que deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments (on rappelle que l'élément d'un ensemble est toujours lui même un ensemble)

pour cet axiome là on a pas grand chose à dire sauf qu'on ne peut pas savoir si A=B lorsque A et B sont des ensembles car en fait on ne sait pas ce qui fera que l'on dira que deux ensembles ont les mêmes éléments
ça nous avance pas beaucoup en tout cas pour l'instant
on doit juste se rappeler cette phrase et la tenir pour vraie(comme pour tous les axiomes ceux-ci sont tenus pour vrais)
deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments
on prend cet axiome tel qu'il est, à défaut d'en savoir plus , au moins on sait ça (cette phrase)


______________________________________________________________________

deuxième axiome:Shéma d'axiomes de compréhension non restreint
qui stipule que si P est un prédicat de rang quelconque mais libre en x et si A est un ensemble alors l'ensemble des éléments de A pour lesquels P est vrai est aussi un ensemble
on le note {x|x "in" A|P(x)}
(rappel) la notation x "in" A signifiant que l'élément x appartiens à l'ensemble A

là par contre on passe à autre chose : ça demande des explications

en premier lieu : une proposition possède une valeur logique et quand Zermelo a présenté ses axiomes il parlait de la valeur logique d'une proposition qui est en fait l'élément d'un ensemble definit par une algebre de Boole
si l'ensemble sur lequel est construit cet algebre est {0,1} alors dans ce cas les propositions sont soit de valeur 0 (fausses) soit de valeur 1 (vraies)

ATTENTION: ici parler des deux éléments 0 et 1 n'a strictement aucun rapport avec des entiers naturel
ici il s'agit d'une tout autre symbolique: la symbolique donnant une valeur à une proposition (en dehors de ce qu'elle peut dire)
mais en apparté comme on le verra plus loin : dans une algèbre de Boole rien interdit que l'ensemble possède plus de deux éléments mais bon on en reparlera
ici on parle de logique d'ordre zéro qui en fait est le calcul des propositions et de plus binaire : c'est à dire que l'ensemble sur lequel est construit cet algebre, possède que deux éléments

ensuite toujours en ce qui concerne ce deuxième axiome

pour toute proposition P on notera v(P) sa valeur

et de plus quelque soit l'algebre de Boole qui definie la logique d'ordre zéro (binaire ou pas)

lorsque v(P)=0 on dira que P est fausse

lorsque v(P)=1 on dira que P est vraie

en aparté (dans la liste en vert placée plus loin) on a vu les connecteurs logiques et d'autres symboles logiques

en ce qui concerne les prédicats

un prédicat P (majuscule ) est une proposition p (minuscule) dans laquelle on stipule par des quantificateurs...

le quantificateur "exists" signifie : "il existe"

et le symbole "nexist" pour signifier "il n'existe pas"

le quantificateur "forall" signifie : "tout" ou plus explicitement "quelque soit"

...donc par des quantificateurs qui s'exercent sur une ou plusieurs variables dites variables liées à ces quantificateurs

que la ou les variables libres , parmis une quantitée de variables fixées par les quantificateurs , vérifient la proposition p

on va prendre un exemple mais avant il faut bien faire attention à distinguer variable liée et variable libre

une variable liée ne possede pas d'identité propre : elle peut être remplacée par n'importe qu'elle autre variable qui n'apparait pas dans une formule

ainsi par exemple

"exists" x,(x(x "in" E),"forall" x,A(x)
signifie qu'il existe deux ensembles E et F tels que tous les éléments de F appartiennent aussi à l'ensemble E

on notera : F 'inc" E et qui signifie que F est inclus dans E

par le schéma d'axiome de compréhension non restreint (le deuxième axiome) on construit l'ensemble F

que l'on note F={x|A(x):=x "in" F => x "in" E| P:="forall" x,A(x)}

ici P est un prédicat de rang 1 et A(x) la proposition qui doit se vérifier
l'ensemble des éléments de E pour lequel P est vrai est l'ensemble F
on vérifie l'équivalence logique (E=F)(E "inc" F . F "inc" E)

c'est donc à partir du deuxième axiome et avec le concept de l'inclusion qui en découle que le premier axiome prend tout son sens

le premier axiome (axiome d'extentionnalité) disait que A=B si et seulement si A et B ont les mêmes éléments mais on ne savait pas comment cela était vérifiable

à présent on sait que A=B SI ET SEULEMENT SI
A est inclus B et aussi B est inclus dans A

formalisé ici par la notation

(A=B) ((A "inc" B) . (B "inc" A))

et de plus on dispose à présent du premier concept de la théorie des ensembles : celui de l'inclusion

autre symbole
x "neq" y qui signifie x non égal à y



concept de la complémentarité

soient E et F deux ensembles, alors si

E\F est un ensemble que uniquement si F "inc" E , dans le cas contraire E\F n'a aucune signification
attention dire d'un objet maths qu'il n'a aucune signification cela reviens à dire que cet objet là n'a aucun sens
bref il ne possède aucune legitimité d'existence

donc si F "inc" E dans ce cas alors E\F est un ensemble que l'on nomme le complémentaire de F dans E

cet ensemble se construit selon

E\F={x | F "inc" E | x "in" E |x "notin" F | A(x):=(x "in" F)=>(x "in" E) }

cet ensemble existe que uniquement si F est inclus dans E dans le cas contraire il est absurde et ne possède aucune légitimité d'existence

en fait E\F désigne l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à F

théorême de l'ensemble vide

Soit E un ensemble, par conséquent comme on l'a vu dans le premier concept celui de l'inclusion on vérifie donc E "inc" E
et aussi comme on l'a vu dans le deuxième concept celui de la complémentarité E\E existe

or quelque soit un élément qui serait dans E\E alors il faudrait qu'il soit à la fois dans E et à la fois abscent de E

ce qui est impossible

il résulte donc que E\E est un ensemble vide

de plus si E est lui même vide on vérifie quand même E "inc" E

notation Ø pour désigner l'ensemble vide



théorême de l'unicité

Soit E un ensemble alors si x "in" E et y "in" E tels que x=y on démontre que x et y sont un seul et même élément de E

admettons que E={x,y} "neq" {x} tandis que x=y
posons F={y} on vérifie donc F "inc" E de sorte que E\F={x}
mais étant donné que x=y il en résulte donc que E\F={y} or on a dit que y "in" F ce qui est absurde



le théorême de la totalité

ce théorême démontre une chose très importante : il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles

rien interdit dans l'axiomatique de Zermelo qu'il puisse exister des ensembles (un peu bizarres certes mais c'est un jugement de valeur que la notion de bizarrerie) que des ensembles puissent s'appartenirs à eux mêmes
E est un ensemble et si E s'appartiens à lui même alors E "in" E

cependant on peut demontrer que Ø "notin" Ø
en effet car si Ø est vide il ne peut rien contenir

il résulte donc que dans l'axiomatique de Zermelo il existe deux catégories d'ensembles

les ensembles qui s'appartiennent à eux mêmes et sont de types E "in" E et les autres qui sont de types E "notin" E

on démontre qu'il n'existe pas d'ensemble E tel que pour tout ensemble F on verifie F "in" E

en effet si cet ensemble existe alors il est tel que "forall" K , un ensemble alors E "notin" K et K "in" E

or si E est de type E "in" E alors il existe K=E tel que E "in" (K=E) or il faut que E "notin " K

si E est de type E "notin" E alors il existe K=E tel que E=K "notin" E or il faut que K "in" E


troisième axiome:axiome de la paire

Si A et B sont des ensembles alors il existe un nouvel ensemble qui contiens comme unique éléments : A et B

on le note {A,B}

par le théorême de l'unicité alors si de plus A=B on obtiens comme nouvel ensemble l'ensemble {A}

mais attention ici A "neq" {A} ce ne sont pas du tout les mêmes ensembles


quatrième axiome:axiome de l'union
Si A et B sont des ensembles, alors A "UNION" B ={x | (x "in" A)+(x "in" B)} existe
cet opérateur "UNION" est associatif de sorte que
( A "UNION" B) "UNION" C = A "UNION" (B "UNION" C )
et on peut noter
( A "UNION" B) "UNION" C = A "UNION" B "UNION" C
de plus il est commutatif de sorte que
A "UNION" B=B "UNION" A

concept de l'intersection
on note A "INTER" B={ x | (x "in" A).(x "in" B)}
l'opérateur "INTER" est associatif et commutatif
concept d'entier naturel
On construit tout entier naturel en construisant un ensemble fini dont le cardinal désigne cet entier

par le deuxième axiome on a vu le concept d'ensemble vide Ø ainsi Card(Ø)=0
par le troisième axiome on peut construire l'ensemble {Ø} ainsi Card ({Ø})=1
par le troisième axiome on peut construire l'ensemble {Ø,{Ø}} ainsi Card ({Ø,{Ø}})=2

par le troisième axiome on construit les ensembles {Ø},{{Ø}},{{Ø,{Ø}}}
par le quatrième axiome on construit l'ensemble {Ø} "UNION" {{Ø}} "UNION" {{Ø,{Ø}}}={Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}
ainsi Card ({Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}})=3
on poursuit en utilisant le troisième axiome en construisant les ensembles
{Ø},{{Ø}},{{Ø,{Ø}}},{{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}} et on utilise le quatrième axiome pour obtenir l'ensemble de cardinal 4

et ainsi de suite...

cinquième axiome:axiome de puissance

pour tout ensemble A il existe un ensemble noté P(A), qui possède pour éléments tous les sous ensembles de A
autrement dit P(A)={X | X "inc" A }
pour un ensemble A de cardinal n donc pour Card(A)=n alors par recurrence on démontre que Card (P(A))=2^n
par exemple
pour A=Ø donc Card (A)=0 alors P(A)={Ø} et donc Card (P(A))=1
pour A={a_1} alors P(A)={Ø,{a_1}} et donc Card (P(A))=2
pour A={a_1,a_2} alors P(A)={Ø,{a_1},{a_2},{a_1,a_2}} et donc Card (P(A))=4
pour A={a_1,a_2,a_3} alors P(A)={Ø,{a_1},{a_2},{a_3},{a_1,a_2},{a_1,a_3},{a_2,a_3},A} et donc Card (P(A))=8
et ainsi de suite par récurrence

à présent on dispose de tous les objets necessaires

j'avais pas de place pour la liste en vert car le post est limité à 15000 caractères et puis c'est inutile , on a tout decrit

[Ben314]

Il y a un probléme avec cette analogie c'est qu'une boîte ne peut être contenu que dans une seule boîte.
Je m'explique si je prends 2 boîtes distinctes b1 et b2. Et je considére la boite A contenant b1 et b2. Et la boîte B contenant b1 tout seul.
la boite b1 ne peut pas à la fois être dans A et B....

Perso, je considère que de voir les ensemble comme des "récipients" est une très bonne analogie.
Le seul truc à bien comprendre dans ce cas, c'est que l'égalité mathématique : "pour que deux ensembles soit égaux, il faut et il suffit qu'ils aient les mêmes éléments" n'est pas la même chose que "être pareil" dans la vie de tout les jours (deux boites vides ne sont pas "pareilles").
Par exemple, si tu veut chercher une quelconque "analogie", il faut que tu commence par te focaliser sur LE truc pas clair à traduire en "concret", à savoir qu'il existe un unique ensemble vide.
Si tu cherche à voir "ensemble" comme un truc "concret", il y a de forte chance que, dans tes trucs concrets, il y ait plusieurs ensembles vides différents.

[alphamethyste]

Perso, je considère que de voir les ensemble comme des "récipients" est une très bonne analogie.

oui avec l'axiome de fondation qui rend impossible que

mais il voulait que l'on puisse dire qu'une boite soit dans sa boite elle même
(en fait en parlant des sons : j'ai pas bien compris ce qu'il entend par son associé mais bon il se comprend lui même et si il désire me l'expliquer je dit pas non)

et donc là il suffit des cinq premiers axiomes de Zermelo et par conséquent cette histoire de boite ne tiens plus

bon après si il a changé d'avis alors ... qu'une boite métaphorise bien les ensembles ... pourquoi pas ?

mais c'est pas son idée de départ

[alphamethyste]

...et ensuite désirant que par consequent il métaphorise pour tout ensemble de ce type et donc de fait élimine l'ensemble vide car

si c'était le cas il serait pas vide puisqu'il aurait l'ensemble vide pour élément

[alphamethyste]

ses ensembles (au camarade) de types ne permettent pas non plus qu'il en ai un comme celui là non plus


car

si c'était pas le cas cela signifierai que (selon le premier axiome de Zermelo -voir le post qui les définis plus haut) ce qui est absurde

puisque en disant que on dit que

est un élément de l'ensemble (singleton )

et cet élément là est justement

mais bon puisque il veut ces ensembles là on a pas le droit de lui refuser

et moi (pour la pataphysique ) ce qu'il veut : je le veux

[un_homme]

le problème est que pour faire une métaphore encore faut -il trouver de quoi avoir métaphoriser l'objet en question

et cet objet il faut bien le definir (que cette definition ne soit pas complete ne change rien à ce probleme)

et cet objet (ensemble fini) à priori est définit par les cinq premiers axiomes de Zermelo

tout ce qui suit est écrit sans Latex car tu n'aime pas le Latex (tu me l'a dit hier ) : à mon avis tu as tord mais l'amour ne se commande pas
....

Rassures moi, c'est un copier-coller.

[alphamethyste]

pourquoi ça devrait rassurer?

moi ce qui m'inquiète c'est Zermelo

j'ai plus de nouvelles de lui ....

c'est écrit ça dans un forum communiste Stalinien (rassure toi)

je suis Stal : c'est rassurant ?

[alphamethyste]

je cite toujours mes sources : donc bah c'est moi qui l'ai écrit
et ce forum là n'était pas Stal à l'origine mais depuis que je m'en suis fait virer j'ai l'impression que oui (en rêve) :ptdr:

mais bon en fait c'est l'idée de Zermelo (pas la mienne)

[alphamethyste]

bon sinon pour revenir sur ce sujet passionnant (pour moi en tout cas)

pour l'instant tu est d'accord là ?

où tu as changé d'avis depuis ?

tes ensembles de types ne permettent pas non plus qu'il en ai un comme celui là non plus


car

si c'était pas le cas cela signifierai que (selon le premier axiome de Zermelo -voir le post qui les définis plus haut) ce qui est absurde

puisque en disant que on dit que

est un élément de l'ensemble (singleton )

et cet élément là est justement

mais bon puisque tu veux ces ensembles là on a pas le droit de te les refuser

et moi (pour la pataphysique ) ce que tu veux : je le veux

[alphamethyste]

personnellement j'ai pas de doute ...

le concret ne m'interesse pas (et entre nous il s'en fiche de nous)

concrétiser un truc de ce genre là ,même si le concret ne connait pas ce genre de trucs , Zermelo ne l'interdit pas et le plan concret d'une chose : je m'en tape

pour moi Zermelo ne nous a pas interdit ça, donc pour moi c'est valide!

un peu de musique toutefois pour avaler cette pillule tout à fait comestible
Sad and Damned Nymphs https://www.youtube.com/watch?v=7Id03QYOD48
sitting in my rooms waitting for the sun .. i hopes it he comes (ceci dit elle peut attendre longtemps) c'est pas un problème

ça peut durer longtemps comme ça ... que ça se concrétise pas : on s'en fiche!

[un_homme]

T'es propos me semble incohérent, t'es sûr que t'es pas schizophrène plus tôt qu'autiste ?
Sinon, tu es atteint du syndrome d'Asperger n'est-ce pas ?

[un_homme]

et ce forum là n'était pas Stal à l'origine mais depuis que je m'en suis fait virer j'ai l'impression que oui (en rêve) :ptdr:

Comment peux tu être autiste et rire à une blague, là je ne comprends plus...

[alphamethyste]

Asperger à 75% (évaluation hopital Saint Maurice et confirmé )

pour le reste mais non c'est pas incohérent

c'est pas parce qu'on ne trouve pas de trucs concret du style que cette chose là n'est pas possible

pour le reste mes propos ... sont ce que j'en ai dit

cohérents ou pas ils sont ce que j'en ai dit (et Zermelo ne m'infirmera pas là dessus)

bon il semble que question son tu ais du chemin à faire camarade

loll "Imitating Angels" Video The Nymphshttps://www.youtube.com/watch?v=F5GcHoeQb8U

[un_homme]

Comment peux tu être autiste et rire à une blague, là je ne comprends plus...

Pourrais-tu répondre à cette question, merci.

[alphamethyste]

à mon avis tu ne fréquente pas beaucoup les autistes

on sait rire aussi nous autres...

évalué à 75% je pense déjà être capable de rire à 25 %

ceci dit au fond est-ce si risible ce que j'ai dit?

bon allé une pub "marcher au soleil(en fait sous le soleil)" (comme les maths : marcher sous les maths)
https://www.youtube.com/watch?v=orMxYOnqN5Q

[un_homme]

Je ne nie pas ta capacité à rire, mais à rire d'une blague, cela me semble étrange.

Bonne nuit, M. Le Camarde.

[alphamethyste]

Je ne nie pas ta capacité à rire, mais à rire d'une blague, cela me semble étrange.

Bonne nuit, M. Le Camarde.

ceci dit ..elle me fait pas rire non plus elle (ce qui serait étrange ce serait le contraire)
le soleil dont elle parle en fait c'est bien les maths non ?
ou alors j'ai rien compris à ce qu'elle dit ...(entre nous ça m'étonnerai)

TAL - Marcher au Soleil https://www.youtube.com/watch?v=orMxYOnqN5Q

bonne nuit camarade