Recherche solution "évidente" d'un problème de géométrie

[Benjamin]

Bonjour,

Ci-joint un petit problème de géométrie. J'ai une solution relativement simple avec le théorème de Thalès dans 3 triangles différents : on fait quelques opérations et c'est fini. Cependant, je me demande si il n'y a pas des arguments de purs géométries évidents qui évitent tout raisonnement calculatoire et je ne vois rien !
Si quelqu'un a des idées...



Soit les droites d1 et d2 formant un angle e/2 de part et d'autre de la droite d, sécante en O.
Soit (D1D2) perpendiculaire à d passant par O et soit P un point de la droite d.

Soit la droite (D1P) coupant d2 en A2 et la droite (D2P) coupant d1 en A1.
Soit P1 l'intersection de la perpendiculaire à d pensant par P avec d1 et P2 l'intersection de la perpendiculaire à d pensant par P avec d2.
Les droites (D1P1) et (D2P2) coupe d en A.

Montrer que A est sur la droite (A1A2).

[Ben314]

Salut,
Bon, je comprend pas trop... :cry:
L'énoncé pris texto, me semble assez franchement faux, sauf si on rajoute l'hypothèse que O est le milieu du segment [D1D2], mais dans ce cas c'est complètement évident pour des rasons de symétries du dessin.


P.S. Et "une droite sécante en O", je suis pas très sûr que ça se dise.
A mon sens, l'expression "sécante", ça veut dire "qui coupe" donc ça s'emploierait plutôt sous la forme "une droite sécante à une autre en O"

[Benjamin]

Oui, O est milieu de [D1D2] pardon. Mais comme je disais, je ne sais pas pourquoi, je suis aveugle. Tu parles de raisons de symétries et je n'arrive pas à voir là... C'est à moi de pleurer :cry: :cry: :cry: :cry:

[Ben314]

Effectivement, c'est moi qui ait lu de travers : je croyais qu'il fallait montrer que A était sur la droite d...

Après, sauf erreur, c'est un cas un peu particulier du théorème de Pappus et je suis pas sûr qu'on puisse trouver une preuve "totalement triviale" même dans ce cas particulier là.

[chan79]

.

Salut
Si on nomme A le point d'intersection de (D1P1) et de d:
les symétriques de D1, P1 et A par rapport à d sont D2, P2 et A.
D2, P2 et A sont donc alignés.
Autrement dit, (D1P1) et (D2P2) se coupent en A qui appartient à d.
Ensuite, d'après Thalès:
A1P1/A1O=P1P/OD2
AP1/AD1=P1P/OD1
on en déduit
A1P1/A1O=AP1/AD1
et donc (AA1)//(D1D2)
de même (AA2)//((D1D2)
A est donc un point de [A1A2]
Comme A1 et A2 sont symétriques par rapport à d, A est le milieu de [A1A2].

[Benjamin]

Bonjour,

@Ben : Je ne connaissais pas ce théorème de Pappus ! C'est pas mal, merci.

@Chan : oui avec Thales on y arrive. Ce que je déduis de tout ça, c'est qu'il n'y a pas de solutions sans faire de calculs du tout, comme j'avais pu le présentir !

Merci d'avoir regardé ça en tout cas :)