Rationnels

[Bobo-Sillage]

Bonjour,
j'aurais juste une petite question, et comme j'ai pas trouvé sur la toile je la pose ici

Je voudrais juste prouver que pour tout rationnel a/b avec b différent de zéro, la représentation en n'importe quelle base donne une répétition, à partir d'un certain moment.

Et que donc les nombres n'ayant pas de répétition ne peuvent s'écrire a/b.

Et je reconnais que j'y arrive pas des masse, que ce soit avec l'algo d'Euclide ou l'absurde.

Merci d'avance pour vos indications ou liens

(Je précise que c'est juste pour moi, c'est pas en lien avec mes études.)

[Ben314]

Salut,
On peut montrer assez facilement l'équivalence, pour un réel donné, entre le fait d'être rationnel et le fait d'avoir une écriture périodique à partir d'un certain rang dans une base quelconque :

Dans le sens écriture périodique => rationnel, le mieux est de regarder sur un exemple :
Si s'écrit (avec répétition du ) en base 7 alors s'écrit et s'écrit (toujours en base 7) donc est entier (il vaut où les deux nombres sont en base 7) et cela montre que est rationnel.
La même méthode s'applique dans la cas d n'importe quelle période et dans n'importe quelle base.

Idem dans l'autre sens où le mieux est de regarder sur un exemple :
On veut écrire en base 6. (où le 5 et le 8 sont à comprendre en base 10 évidement)
Comme , il s'écrit en base 6 et s'écrit .
Or donc et .
Donc donc et .
Et là, c'est fini. Vu que , on va avoir ; ; ; etc... et l'écriture est bien périodique.
Là, ce qui fait que ça marche forcément, c'est qu'on obtient systématiquement des fractions de la forme avec et, comme il n'y a qu'un nombre fini de telles fraction, on finira forcément à un moment donné par retomber sur une fraction qu'on a déjà trouvée précédement. Et, à partir de ce moment là, la séquence de chiffre "se répète".
Le même raisonnement marche bien sûr quelque soit la base et quelque soit la fraction de départ.