Rang d'infini des hyper réels

[lulu math discovering]

Merci !!! Meme si je ne pense pas avoir le niveau nécessaire, cela m'aide beaucoup et je pense avoir compris le principe !!!

[Robot]

Ce que fait Carol Wood dans la video, c'est une introduction "avec les mains", sans aucune définition formelle, à l'analyse non standard d'Abraham Robinson.

L'histoire de (le corps des fractions rationnelles à coefficients réels, à ne pas confondre avec le corps des rationnels : un fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes) est une histoire différente : on peut effectivement mettre sur le corps un ordre (ayant les compatibilités attendues avec les opérations) pour lequel est infiniment grand positif, c.-à-d. plus grand que toutes les constantes réelles. Mais ce n'est pas un modèle de l'analyse non standard.

[lulu math discovering]

ce n'est pas un modèle de l'analyse non standard

Comment ça ?

[Doraki]

Ben comme on l'a déjà fait remarquer, l'inclusion de R dans R(X) n'est pas une extension élémentaire (encore qu'il faudrait préciser le langage qu'on utilise mais j'ai la flemme d'aller chercher)

En particulier, dans R on a par exemple "pour tout x il existe y tel que x = y*y ou x+y*y = 0", ce qui est clairement faux pour R(X)

[L.A.]

Je reprends la question : en pratique, qu'est-ce qu'on peut faire de plus dans les corps construits par des ultrafiltres qu'on ne peut pas faire dans R(X) ? Pourquoi a-t-on absolument besoin de cette construction, pourquoi ne se contente-t-on pas de R(X) ? Pour prendre des racines carrées, d'accord, mais pour en faire quoi ensuite ?

[Robot]

On peut prendre la clôture réelle du corps des fractions rationnelles ordonné avec infiniment grand positif. Ca fait alors une extension élémentaire de , pour le langage contenant les constantes réelles, l'addition, la multiplication, l'ordre (le langage des corps ordonnés avec paramètres dans ). Mais ce n'est toujours pas un modèle de l'analyse non-standard, par exemple pas de fonction exponentielle sur cette clôture réelle de .

La construction par ultrapuissance permet de tout étendre : n'importe quelle fonction de dans s'étend en une fonction de dans . On peut mettre dans le langage toutes les fonctions qu'on veut, ça fera toujours une extension élémentaire.

[Doraki]

Robinson il prend quoi comme langage ?

[nodjim]

"Cherche "argument diagonal de Cantor" "
Celui là, je l'ai définitivement jeté à la poubelle. Mais Dieudonné a en son temps établi une autre preuve.

[Robot]

Robinson il prend quoi comme langage ?

Peu importe. La contruction de l'ultrapuissance donne une extension élémentaire pour n'importe quel langage. Comme je l'ai déjà dit, on peut mettre toutes les fonctions qu'on veut. N'importe quelle fonction s'étend en .

[L.A.]

Et est-ce qu'on peut remplacer par dans tout ceci ? Même si il n'est plus question d'ordre, j'imagine que les ultrafiltres donnent encore lieu à un idéal maximal, et qu'on se retrouve avec des infinitésimaux complexes qui ont une phase et tout... et qui sait pouvoir traiter des questions d'holomorphie.

Retour sur l'article wikipédia : ils évoquent l'intégration d'une fonction de a à b et écrivent b = a + ndx avec n hypernaturel et dx infinitésimal. En fait cela revient à définir n comme la suite (1,2,3,...) et dx comme ((b-a)/1, (b-a)/2, (b-a)/3, ...) de sorte que le produit ndx est la suite constante (b-a), n'est-ce pas ? du coup tout ce qui s'écrit en termes de suites (limites, etc...) se traduit en termes d'hyperréels, ça ressemble donc plutôt à un simple jeu d'écriture de ce point de vue, quoique l'identifications de deux suites via l'ultrafiltre est un peu bizarre... en même temps, on peut faire les mêmes remarques pour la constructions des réels à partir des rationnels, et d'ailleurs le lien est bien signalé dans l'article.

Bref, mon verdict : notion très intéressante, mais encore certains points à digérer longuement.

Dernière chose : est-ce que le passage d'une fonction de R à une fonction de *R peut être rapproché du passage d'une fonction uniformément continue de Q à une fonction de R (mais sans aucune hypothèse) ?

[Robot]

Et est-ce qu'on peut remplacer par dans tout ceci ? Même si il n'est plus question d'ordre, j'imagine que les ultrafiltres donnent encore lieu à un idéal maximal, et qu'on se retrouve avec des infinitésimaux complexes qui ont une phase et tout... et qui sait pouvoir traiter des questions d'holomorphie.

Retour sur l'article wikipédia : ils évoquent l'intégration d'une fonction de a à b et écrivent b = a + ndx avec n hypernaturel et dx infinitésimal. En fait cela revient à définir n comme la suite (1,2,3,...) et dx comme ((b-a)/1, (b-a)/2, (b-a)/3, ...) de sorte que le produit ndx est la suite constante (b-a), n'est-ce pas ? du coup tout ce qui s'écrit en termes de suites (limites, etc...) se traduit en termes d'hyperréels, ça ressemble donc plutôt à un simple jeu d'écriture de ce point de vue, quoique l'identifications de deux suites via l'ultrafiltre est un peu bizarre... en même temps, on peut faire les mêmes remarques pour la constructions des réels à partir des rationnels, et d'ailleurs le lien est bien signalé dans l'article.

Bref, mon verdict : notion très intéressante, mais encore certains points à digérer longuement.

Dernière chose : est-ce que le passage d'une fonction de R à une fonction de *R peut être rapproché du passage d'une fonction uniformément continue de Q à une fonction de R (mais sans aucune hypothèse) ?

Bien sûr, la construction d'ultrapuissance (une fois choisi un ultrafiltre non principal sur ) s'applique aussi à . On obtient un corps algébriquement clos toute fonction holomorphe sur un ouvert de s'étend en une fonction holomorphe sur , etc.

A quelle page wikipedia fais-tu référence ? Je ne vois pas écrit ce que tu cites. Un "hypernaturel" n'a pas à être l'image de la suite dans l'ultrapuissance. Il y en a un paquet d'autres ! Par exemple l'image de qui est le carré du précédent ...

[lulu math discovering]

En effet ça parait logique.

[L.A.]

A quelle page wikipedia fais-tu référence ? Je ne vois pas écrit ce que tu cites. Un "hypernaturel" n'a pas à être l'image de la suite dans l'ultrapuissance. Il y en a un paquet d'autres ! Par exemple l'image de qui est le carré du précédent ...

C'était la page en anglais citée par Skullkid un peu plus haut (la page en français est moins fournie, comme d'hab...). Pour le reste j'avais bien compris :zen: