Raisonnement par récurrence math

[imaneaawiou]

besoin d'aide !!!!!
on utilise le raisonnement par récurrence montrer que :
pour tout n de N*, 3 divise le nombre 4n^3-n

[imaneaawiou]

[quote="imaneaawiou"]besoin d'aide !!!!!
on utilise le raisonnement par récurrence montrer que :
pour tout n de N*, 3 divise le nombre 4n^3-n

[GaBuZoMeu]

BONJOUR !

Qu'as-tu essayé ? On te dit de raisonner par récurrence, c'est une grosse indication. Qu'as-tu essayé pour suivre cette indication ?

[imaneaawiou]

oui j'ai essayée (j'ai fait toutes les étapes: verification ,supposition..)mais je ne suis pas sûre du résultat

[beagle]

démontrer par récurrence ce n'est pas trouver une solution

[mathelot]

Bonjour,
On utilise l'identité (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

[beagle]

premiere chose à faire, verifier l'initiation
verifier que c'est bon pour n=1

deuxieme chose à faire,l'hérédité,
tu considère que si 4n^3-n est multiple de 3
alors on aura 4(n+1)^3 - (n+1) qui sera aussi multiple de 3

donc principe de base tu pars de 4n^3-n
et tu essayes d'arriver au cas n+1
par exemple ici on a que cela se termine par n
tu voudrais toi avoir du -(n+1)

ben tu rajoute du -1,
en ajoutant 3 =4 -1

alors 4n^3+ 4 -(n+1) est divisible par 3
4(n^3+1) - (n+1) divisible par 3
...on y est presque

[imaneaawiou]

Bonjour,
On utilise l'identité (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

mercii
j ai trouvée 3(k+4n^2+4n+3) et c est logique

[beagle]

on aimerait etre persuadé que la logique du raisonnement par récurrence soit là aussi.
tu peux nous rassurer?
et donc l'écrire un peu...

[imaneaawiou]

premiere chose à faire, verifier l'initiation
verifier que c'est bon pour n=1

deuxieme chose à faire,l'hérédité,
tu considère que si 4n^3-n est multiple de 3
alors on aura 4(n+1)^3 - (n+1) qui sera aussi multiple de 3

donc principe de base tu pars de 4n^3-n
et tu essayes d'arriver au cas n+1
par exemple ici on a que cela se termine par n
tu voudrais toi avoir du -(n+1)

ben tu rajoute du -1,
en ajoutant 3 =4 -1

alors 4n^3+ 4 -(n+1) est divisible par 3
4(n^3+1) - (n+1) divisible par 3
...on y est presque

j ai fait toutes ces étapes
et j ai trouvée 3(k+4n^2+4n+3)
et c est logique
merci à vous.

[beagle]

je me permets de rajouter que trouver un truc dans le raisonnement par récurrence,
c'est pour moi incompréhensible,
si n alors n+1, je comprends ...

[beagle]

et le jour où l'initiation ne marchera pas,
ben tu auras démontré un truc complètement faux

[imaneaawiou]

on aimerait etre persuadé que la logique du raisonnement par récurrence soit là aussi.
tu peux nous rassurer?
et donc l'écrire un peu...

pour n=1 on a : 4×1^3-1=3
donc la proposition est vraie pour n=1
on suppose que soit n appartient à N*: 4n^3-n=3k k appartient à N
et on montre que : 4(n+1)^3 - (n+1)=3k'
4(n+1)^3 - (n+1)=4(n^3+3n^2+3n+1)-(n+1)
=4n^3+12n^2+12n+3
=3k+12n^2+12n+3
=3(k+4n^2+4n+3)
=3k'

donc pour tout n de N* 3 divise le nombre 4n^3 - n

[GaBuZoMeu]

Il y a une faute à la deuxième ligne de calcul. Je te laisse vérifier.

[imaneaawiou]

on aimerait etre persuadé que la logique du raisonnement par récurrence soit là aussi.
tu peux nous rassurer?
et donc l'écrire un peu...

pour n=1 on a : 4×1^3-1=3
donc la proposition est vraie pour n=1
on suppose que soit n appartient à N*: 4n^3-n=3k k appartient à N
et on montre que : 4(n+1)^3 - (n+1)=3k'
4(n+1)^3 - (n+1)=4(n^3+3n^2×1+3n×1^2+1^3)-(n+1)
=4(n^3+3n^2+3n+1)-(n+1)
=4n^3+12n^2+12n+3
=3k+12n^2+12n+3
=3(k+4n^2+4n+3)
=3k'

donc pour tout n de N* 3 divise le nombre 4n^3 - n

[imaneaawiou]

Il y a une faute à la deuxième ligne de calcul. Je te laisse vérifier.

j ai modifiée la 2eme linge
c ça la faute?

[GaBuZoMeu]

Il y a toujours une faute, maintenant à la troisième ligne. Surveille le coefficient de n.

[mathelot]

soit pour on définit par

Pour n >0





donc si est divisible par 3, itou.