Raisonnement par récurrence erroné

[titine]

Bonjour.
Je sais que cet exemple est très classique mais je ne voit plus la faille dans le raisonnement :

Soit P(n) la propriété définie pour n>0 : "Si une urne contient n boules dont une rouge, alors toutes les boules sont rouges".

P(1) est vraie.

Supposons P(n) et soit une urne contenant n+1 boules, dont une est rouge, on la note Bn+1.
Soient B1,B2,....,Bn les autres boules
Enlevons B1.
Nous avons une urne contenant n boules, dont une est rouge, et donc avec l'hypothèse de récurrence, tout les boules B2,....,Bn,Bn+1 sont rouges.

Remettons B1 et enlevons B2, alors toujours par l'hypothèse de récurrence, les boules B1,B3,...,Bn+1 sont toutes rouges,
Ainsi B1 est rouge.

On a donc montré P(n+1) ...!!!

[Quidam]

Enlevons B1.
Nous avons une urne contenant n boules, dont une est rouge,...

Tu es sûre ?

[titine]

Pourquoi ?
Si il reste B2, B3,...,Bn+1, il s'agit bien de n boules dont 1 rouge : Bn+1 ...

[Quidam]

Pourquoi ?
Si il reste B2, B3,...,Bn+1, il s'agit bien de n boules dont 1 rouge : Bn+1 ...

Sauf si c'était B1 la boule rouge !

[titine]

"soit une urne contenant n+1 boules, dont une est rouge, on la note Bn+1."

[Quidam]

"soit une urne contenant n+1 boules, dont une est rouge, on la note Bn+1."

Oui, je n'avais pas bien lu ! J'aurais dû contester bien avant ce moment là !

Quand tu enlèves B1, tu peux bien supposer qu'elle n'est pas la boule B(n+1), d'accord ! Donc les boules B2 à Bn+1 sont toutes rouges.

Mais quand après avoir remis B1, tu prends cette fois B2, quand n=1, c'est bien Bn+1 que tu prends, et tu ne peux pas conclure que B1 est rouge ! Il reste bien n boules mais tu ne peux pas dire "dont une est rouge" !

Ca ira comme ça ?

[titine]

OK !
Merci.