Raisonnement par "hypothèse auxiliaire"

[mastergreg]

Bonjour,

Dans un livre (Algèbre et Analyse [Balac, Sturm]), les auteurs évoquent le "raisonnement par hypothèse auxiliaire" comme étant un raisonnement s'appuyant sur le modus ponens : (P et (P Q)) Q ; autrement dit, pour démontrer Q, je démontre que P est vraie d'une part et que (P Q) est vraie d'autre part. Ils précisent qu'il s'agit de "la méthode de démonstration la plus courante".

Dans un autre livre (Mathématiques tout en un pour la licence, L1 [Collectif]), on trouve une définition qui selon moi n'est pas la même (mais c'est peut-être là où je me trompe) : "Cette méthode s'applique lorsqu'on veut démontrer P Q : on suppose temporairement que P est vraie (c'est l'hypothèse auxiliaire) et l'on procède à des déductions jusqu'à prouver que Q est vraie".

Pour moi, cette définition correspond plutôt à ce que j'appelle une "preuve directe" ; et dans cette deuxième définition on ne parle pas de démontrer P Q.

D'où mes questions : ces définitions correspondent-elles au même raisonnement ? Et quand on démontre par exemple par un raisonnement "classique" (on prend un élément de A et on montre qu'il appartient à B) où trouve-t-on l'implication P Q de la définition 1 à démontrer ??

Pour finir, un lien vers un catalogue de "méthodes de preuve" assez marrant :we:

Merci de vos réponses !

[Nightmare]

Salut,

bah, tu dis toi même que ce n'est pas la même chose, puisque la première parle de montrer que Q est vraie, la seconde de montré que P=>Q est vraie, ce qui évidemment n'engendre en rien la véracité de P ou celle de Q.

[mastergreg]

Euh... Certes... mais ma question vient du fait que dans les deux livres ça s'appelle "raisonnement par hypothèse auxiliaire". Donc je voulais savoir ce qu'on appelle vraiment "raisonnement par hypothèse auxiliaire".

[Finrod]

Et quand on démontre par exemple par un raisonnement "classique" (on prend un élément de A et on montre qu'il appartient à B) où trouve-t-on l'implication P Q de la définition 1 à démontrer ??

C'est justement ce que tu montres. Ce que tu ne montres pas c'est que P est vraie.

[Nightmare]

Euh... Certes... mais ma question vient du fait que dans les deux livres ça s'appelle "raisonnement par hypothèse auxiliaire". Donc je voulais savoir ce qu'on appelle vraiment "raisonnement par hypothèse auxiliaire".

Personnelement, j'ai jamais rencontré ce nom, et de toute façon, on sait tous que les dénotations différent souvent selon les auteurs, la preuve encore ici, l'essentiel, quand on nomme quelque chose, c'est de le définir derrière, à moins que le nom soit vraiment conventionnel.