Racines Négatives..?

[Lostounet]

=
Peut-on se permettre de poser ?
Je ne pense pas, car ça va à l'encontre de la définition de la notation.. :doh:

[vingtdieux]

N'importe quoi sur le calcul de la racine et de l'elevation au cube. Il faut se mettre dans le cas du corps C.
Quand on élève au cube le module est bien à la puissance 3 mais l'argument est multiplié par 3. Pour sqrt (-1) le module vaut 1 et l'argument Pi/2. Donc au cube le module fait toujours 1 et la phase 3Pi/2. Un tel complexe correspond bien à -i.
Vous aurez beau chercher dans tous les coins, a partir du moment ou l'on prend par definition (equivalent comme on prend pour racine d'un nombre reel un positif) sqrt(-1)= i, c'est terminé. Alors on peut n'être pas d'accord sur ce choix, il suffit de s'entendre. C'est comme dans un systeme de mesures d'unites en physique. Ce n'est pas parcequ'on n'est pas dans le même que l'on étudie mal un phenomène...

[vingtdieux]

Si on pose sqrt(4) = -2. Les maths marchent quand même mais pas comme on en a l'habitude. Ainsi y=sqrt(x) serait toujours une fonction négative et alors si je veux retrouver celle d'avant je mets un signe moins. Alors c'est vrai que là aucune communauté mathématique suivrait. Mais franchement pour les complexes poser comme definition sqrt (-1) = i n'est pas plus bizarre que de dire i^2=-1......

[vingtdieux]

Ouf c'est mon dernier post. Mais lequel!
Tiré du cours de Augustin Cauchy disponible en pdf sur Gallica (bibliothèque nationale de France):

Question subsidiaire combien vaut ici "i" ?

[Nightmare]

Je crois que tu n'as pas compris le fond du problème.

Si tu fais le choix d'écrire , personne ne peut t'en vouloir, à partir du moment ou tu justifies cette notation. En particulier ici, tu décides d'employer le symbole , a priori uniquement défini sur R. Donc si tu veux l'employer ici, il faut un moyen de justifier l'extension à C. C'est ici que ça coince et c'est ce qu'on essaye d'expliquer.
La première chose qui coince, c'est qu'un complexe a deux racines carrées et qu'on a pas vraiment de moyen canonique de les distinguer. La deuxième, c'est que quand bien même on aurait réussi à définir la "fonction" racine carrée sur C, celle-ci n'aurait aucune des "bonnes" propriété que la fonction racine carrée a sur R. En particulier, on perd la propriété importante de morphisme multiplicatif, et pire, on perd à coup sûr la continuité.

[nuage]

Salut Ben314,

Il est tout à fait vrai qu'historiquement parlant, les nombres complexes soit apparus sous forme de racines négatives (et absolument pas plus particulièrement chez les "étrangers" que chez les français) : l'un des "moteurs" du développement de ces racines négatives fut les formules de Cardan qui, dans le cas d'un polynôme du troisième degré ayant trois racines réelles, expriment les racines (qui sont réelles) à l'aide de racines carrées de réels négatifs (puis de racines cubiques contenant ces dernières). Dans ce contexte, le fait que les racines carrés de nombres négatifs soient multivoques (c'est à dire puissent prendre plusieurs valeurs différentes) n'est pas génant du tout, vu que, quel que soit la valeur choisie, on obtient bien une racine du polynôme.

C'est pas si évident.
Un extrait des > d'Euler dans une traduction datant de l'an 3 de l'ère républicaine :

On peut essayer d'appliquer cette formule à l'équation :

dont les racines évidentes sont -1 ; -2 et 3
on trouve :


Il faut vraiment faire attention pour retrouver les trois racines réelles.

[Ben314]

@Vingtdieu : Je te signale tout d'abord que ces écrits d'Augustin Cauchy (qui dates trés nettement d'avant la théorie des ensembles) ne font que confirmer ce que je disait dans mon précédent post. De plus, il me semble bien que lorsque il demande de trouver "Les différentes valeurs de..." cela montre trés clairement que pour lui, il ne s'agit pas d'une application au sens moderne du terme, mais bien d'une fonction multivoque.

L'autre truc, que j'aimerais bien comprendre aussi, c'est quand tu écrit (en gras) je prend comme définition racine(-1)=i, c'est la définition de quoi ? de i ou de racine de -1 ?
- Si c'est celle de i, j'espère que tu comprend que cela ne définit rien du tout : que penserait tu d'un texte qui commence par "je prend par définition x=1/0" ?
- Si c'est celle de racine(-1), je ne vois absolument pas en quoi le fait de définir racine(-1) peut donner la valeur de racine(-2) à moins de présupposer (sans preuves) que la fonction racines carrée complexe (qui n'a toujours pas été définie) posséde certaines propriétés, par exemple que racine(ab)=racine(a).racine(b) (ce qui en plus est faux)

@nuage : je suis parfaitement d'accord avec toi est c'est d'aileurs pour cela que j'ai bien précisé dans mon post que dans les formules de Cardan, "les racines carrés de nombres négatifs sont multivoques", mais par contre, une seule des deux racines cubique est multivoque, l'autre est entièrement déterminé par le choix de la première (le produit des deux racines cubiques doit faire f/3 et pas autre chose)

[nuage]

(le produit des deux racines cubiques doit faire f^3/27 et pas autre chose)

Certes.
Mais, et c'est une pierre dans le jardin de vingtdieux, comment le savoir.
Tu sais, je sais, et Euler savait trouver les solutions d'une équation du troisième degré.
La question est finalement :



quelle est la valeur de ?

À vu de nez il y a 36 complexes comme réponses possibles.

En d'autres termes ce qui me gène est ceci :

Dans ce contexte, le fait que les racines carrés de nombres négatifs soient multivoques (c'est à dire puissent prendre plusieurs valeurs différentes) n'est pas génant du tout, vu que, quel que soit la valeur choisie, on obtient bien une racine du polynôme.

Je crois que c'est faux.

[friandise]

=
Peut-on se permettre de poser ?
Je ne pense pas, car ça va à l'encontre de la définition de la notation.. :doh:

C'est faux, il faut écrire . C'est les deux valeurs et non pas une seule.

La fonction n'est tout simplement pas la bijection réciproque de la fonction , car la fonction associe à deux valeurs et n'est donc, par conséquent, pas bijective.

Ce qui toutefois juste, c'est d'écrire :


Et n'est qu'un abus de langage qui n'a rigoureusement pas de sens.
La notation est la suivante : .

[Ben314]

...

quelle est la valeur de ?

À vu de nez il y a 36 complexes comme réponses possibles....

Non : si tu ne rajoute pas la condition que le produit des racines cubiques doit faire f/3, tu n'as quand même que 9 tels x car le choix de la racine carré n'a aucune inflience sur le résultat vu qu'elle apparait de façon symétrique une fois avec un + et une fois avec un -.
Si tu rajoute la condition que le produit des racines cubiques doit faire f/3 alors, comme par hasard, cela te fait 3 possibilités pour x qui sont trés précisément les trois racines de l'équation.
Si tu n'est pas convaincu, il te suffit de remplacer x par chacune des 3 valeurs dans l'équation pour vérifier...

P.S. Par contre, dans mon post d'hier soir, il y avait une erreur (que j'ai rectifiée) : j'avais écrit que le produit des racines cubiques doit faire f^3/27 alors que c'est f/3.

[vingtdieux]

Je défini sqrt(z) comme étant la racine qui a une partie réelle positive. Pour -1 dont la racine est pure imaginaire je pose sqrt(-1)= i

[Ben314]

Je défini sqrt(z) comme étant la racine qui a une partie réelle positive. Pour -1 dont la racine est pure imaginaire je pose sqrt(-1)= i

Ce qu'on se tue à essayer de t'expliquer, c'est que O.K., avec ça tu fabrique bien une application qui :

1) N'a aucun intérêt algébrique vu qu'elle ne respecte rien (contrairement à ce qui se passerait si tu acceptait de dire qu'il y a deux racines carrées qui jouent exactement le même rôle)

2) N'a aucun intérêt analytique vu qu'elle n'est pas continue (la racine(-1)=i et racine(-1-epsilon.i) c'est presque -i (avec epsilon extrèmement petit)

Donc je te le (re)dit : pédagogiquement parlant, ça me parrait être une source d'erreurs considérables et comme ça a aucun intérêt...

[vingtdieux]

Bof chacun trouve son centre d'interet comme il sent...
Ce choix permet de retrouver un resultat correct lorque on dans R+ la racine c'est bien un positif et on a la symetrique si on met le signe -
Et Arg(z) ce n'est pas non plus une fonction continue et pourtant on s'en sert.
Les fonctions discontinues ne font plus très peur depuis que l'on a la théorie des distributions pour les dériver. Alors c'est vrai que ce n'est pas facile d'application pour les fonctions holomorphes. Ouah arriver à ce degré de discussion depuis que j'ai dit que je prenais sqrt(-4) = 2i

[Ben314]

En ce qui concerne l'argument, la question (et la réponse) est exactement la même que pour la racine carrée ou les racines n-ièmes : si dans une copie je lit "l'argument de i est pi/2", je barre le "l'" et je le remplace par "un" exactement de la même façon que dans "la racine de -1 est i" j'aurais barré le "la" pour mettre "une".

[vingtdieux]

[Ben314]

Tu remplace la phrase du début :
"je vais trouver ..."
par
"je vais trouver les racines de ..."
puis, aprés et , au lieu de "prendre u positif..." pour une raison totalement saugrenue, tu termine en écrivant
"donc les racines sont et "
et ça sera plus court, plus clair et ça ne demandera pas de tirer au pif une des deux racines juste pour le plaisir de pouvoir la nommer.

[vingtdieux]

C'était juste pour l'algèbre....

[Lostounet]

C'est faux, il faut écrire . C'est les deux valeurs et non pas une seule.

Au passage,

(Sans le -2)
D'après mon cours..!

[Anonyme]

... mais surtout d’après la définition de la racine carré.

[Lostounet]

... mais surtout d’après la définition de la racine carré.

M'ouais.

Au fond, c'est pas ça le problème.