Racines Négatives..?

[Lostounet]

Merci !! :D

[vingtdieux]

Cette histoire de racine est bien un debat francais. On ecrit bien (-4)^1/2 qui evaut (4(cos Pi + i sin Pi))1/2 = 2 (cos Pi/2 + isin Pi/2) = 2i
Donc le symbole racine est remplace par ( )^1/2, question de graphisme...
Quand on dit racine de 4 vaut + 2 on n'a qu'a dire racine de 4i^2 egale +2i.
en considerant l'autre racine on ecrit + ou - 2i.
Franchement ca marche et les matheux etrangers ne se posent pas ce genre de probleme.

[Ben314]

Ce que j'aimerais savoir, chez les "matheux étrangers", c'est comment ils font par exemple pour savoir si racine(-4) [ou bien (-4)^(1/2), ça change rien au problème] c'est 2i ou bien -2i ?
Qu'est ce qui te permet de privilégier une des deux racines carrées par rapport à l'autre ?

P.S. je met le "te" du fait que j'ai beaucoup de collégues étrangers et que, eux non plus ne prenne pas la racine d'un nombre complexe (ni, bien sûr sa puissance 1/2)...

P.S.2 Dans ton exemple, tu a choisi Pi comme argument de -4, ce que t'a conduit à racine(-4)=2i, mais que se serait-il passé si tu avais pris -Pi comme argument de -4 ?

[Sve@r]

Ce que j'aimerais savoir, chez les "matheux étrangers", c'est comment ils font par exemple pour savoir si racine(-4) [ou bien (-4)^(1/2), ça change rien au problème] c'est 2i ou bien -2i ?
Qu'est ce qui te permet de privilégier une des deux racines carrées par rapport à l'autre ?

Ben comme je l'ai dit, avoir deux résultats au lieu d'un est plus une gêne qu'autre chose. Surtout que si la racine carrée peut donner dans l'absolu deux résultats, la racine cubique, elle, n'en donne qu'un seul. On perd ainsi une certaine homogénéité dans les opérations...
Donc, par convention, on décide tout à fait arbitrairement que l'opération "racine carrée" ne donnera qu'un seul résultat. Et tant qu'à faire, autant prendre le résultat positif pour gagner par ricochet une complication de plus en moins...

P.S.2 Dans ton exemple, tu a choisi Pi comme argument de -4, ce que t'a conduit à racine(-4)=2i, mais que se serait-il passé si tu avais pris -Pi comme argument de -4 ?

Ben comme Pi et -Pi sont confondus sur le cercle trigonométrique, ça n'aurait rien changé du tout !!! :id:

[Lostounet]

Donc, par convention, on décide tout à fait arbitrairement que l'opération "racine carrée" ne donnera qu'un seul résultat.

D'accord pour R+, mais les complexes alors?
Déjà, en mettant -4 on ne respecte pas la définition de la notation ..! Donc pourquoi respecter 'ce qu'elle fait' exactement ? :hein:

[Sve@r]

D'accord pour R+, mais les complexes alors?
Déjà, en mettant -4 on ne respecte pas la définition de la notation ..! Donc pourquoi respecter 'ce qu'elle fait' exactement ? :hein:

D'une façon générale, les conventions mathématique (et en particulier la convention ";)y est toujours positif") sont plus faites pour nous rendre service que pour nous casser les noix. Donc autant la respecter aussi dans le monde des complexes.
Par ailleurs, étant donné qu'on a introduit l'existence du nombre "i"et sa propriété particulière de la multiplication, alors la définition de y (nombre x tel que x*x=y) est respectée. En effet, comme 2i * 2i = -4 alors (-4)=2i...

A propos de i, ce nombre n'est pas le seul a avoir une propriété particulière de la multiplication. Le nombre zéro lui-aussi a une propriété particulière. Pourtant, ce nombre zéro et son action particulière dans une multiplication ne choque personne. Alors si un nombre a une certaine propriété que d'autres n'ont pas, pourquoi un autre nombre n'aurait pas, lui-aussi, le droit d'avoir des propriétés que d'autres n'ont pas ??? Et ne venons surtout pas dire que le zéro se perçoit mieux que i. Au début de la numération, les nombres servaient à énumérer l'existence des choses. Il a fallu des milliers d'années pour qu'on prenne conscience qu'on avait besoin d'énumérer aussi la "non existence" d'un objet... et encore un paquet de temps avant de se dire qu'on aurait ptet besoin aussi de compter le nombre d'objets manquants. Puis il a encore fallu se creuser le citron pour se dire qu'on pourrait ptet essayer de compter les parties d'un objet. Et quand Pythagore a constaté que 2 n'était pas une "partie", il a pris peur et interdit à ses disciples de parler de ce "nombre maudit"... Alors pas de ségrégation. i a sa place au sein de la multitude...

Autre remarque à propos de ce "i" qui semble hors de notre réalité (hors de notre perception ?): ben même hors de notre réalité, il se trouve que donne au final un nombre réel (je l'ai lu dans un science et vie consacré aux maths malheureusement j'ai pas retenu le nombre que ça donne... je sais plus si c'est 1 ou pi ou ...). Comme quoi, même hors du réel, i sait y revenir tout seul...

[Lostounet]

Etant donné qu'on a introduit l'existence du nombre "i"et sa propriété particulière de la multiplication, alors la définition de y (nombre x tel que x*x=y) est respectée. En effet, comme 2i * 2i = -4 alors (-4)=2i...

Mais le radical ne s'applique-t-il qu'à des valeurs positives? Comme l'a dit Ben, il ne faut plus privilégier "la racine positive" à ce stade, puisque rien qu'en mettant on parle du nombre positif qui, multiplié par lui même, donne le nombre sous le radical.
Or en venir à le mettre à un négatif (;)-machin) bouleverse le sens, l'emploi de cette notation, donc on ne peut plus vraiment la considérer dans son contexte (la valeur positive qui multipliée par elle-même donne ce nombre..). :hein:
C'est pour cela que je pense que i n'a été définie que comme suit:
i² = -1, et non pas -1 = i ; sinon même pour la deuxième, il est à savoir que -1 = i = (-i)²
-5 = 5 * -1 = 5 * (-i)²
Et comme (-i)² n'est ni positif ni négatif (enfin je pense), alors je crois qu'il est possible d'annuler le radical et la puissance.
= -i;)5

A propos de i, ce nombre n'est pas le seul a avoir une propriété particulière de la multiplication. Le nombre zéro lui-aussi a une propriété particulière. Pourtant, ce nombre zéro et son action particulière dans une multiplication ne choque personne. Alors si un nombre a une certaine propriété que d'autres n'ont pas, pourquoi un autre nombre n'aurait pas, lui-aussi, le droit d'avoir des propriétés que d'autres n'ont pas ???

Je n'ai rien contre i, j'aime i..! :ptdr:

Dernière remarque à propos de ce "i" qui semble hors de notre réalité (hors de notre perception ?): ben même hors de notre réalité, il se trouve que donne au final un nombre réel (je l'ai lu dans un science et vie consacré aux maths malheureusement j'ai pas retenu le nombre que ça donne... je sais plus si c'est 1 ou pi ou ...). Comme quoi, même hors du réel, i sait y revenir tout seul...

:doh: :doh: J'y ai jamais pensé. Et maintenant que tu le dis, je n'arrive même pas à y penser..! Est-ce normal? :triste: :ptdr:

[Sve@r]

Mais le radical ne s'applique-t-il qu'à des valeurs positives? Comme l'a dit Ben, il ne faut plus privilégier "la racine positive" à ce stade, puisque rien qu'en mettant on parle du nombre positif qui, multiplié par lui même, donne le nombre sous le radical.
Or en venir à le mettre à un négatif (;)-machin) bouleverse le sens, l'emploi de cette notation, donc on ne peut plus vraiment la considérer dans son contexte (la valeur positive qui multipliée par elle-même donne ce nombre..). :hein:
C'est pour cela que je pense que i n'a été définie que comme suit:
i² = -1, et non pas -1 = i ; sinon même pour la deuxième, il est à savoir que -1 = i = (-i)²
-5 = 5 * -1 = 5 * (-i)²
Et comme (-i)² n'est ni positif ni négatif (enfin je pense), alors je crois qu'il est possible d'annuler le radical et la puissance.
= -i;)5

T'as le droit de développer cette thèse. Mais elle ne va t'apporter que des complications et peu d'avantages. Ou alors tu privilégies la simplicité...

:doh: :doh: J'y ai jamais pensé. Et maintenant que tu le dis, je n'arrive même pas à y penser..! Est-ce normal? :triste: :ptdr:

"normal" ? C'est quoi le "normal" ? Nous sommes dans monde où l'espace est courbé selon sa masse. Où le temps est différent selon la vitesse de déplacement. Où la lumière se déplace à la même vitesse qu'elle soit émise dans le sens de déplacement d'un objet ou perpendiculairement à celui-ci. Où aucune masse ne peut aller d'un point à un autre plus rapidement que cette dernière. Où la position d'un électron est "partout à la fois" tant qu'on a pas regardé où il était exactement. Que peut vouloir dire le mot "normal" dans ce monde ? C'est le notre et il a ses lois. Et si l'exploration de ses lois nous amène à un résultat, alors ce résultat est "normal" puisqu'il est issu des lois. Faut pas se creuser la tête pour essayer de l'intégrer à ce qu'on perçoit (car on perçoit en fait pas grand chose et ça c'était déjà connu de Platon) mais simplement l'accepter. Il a été calculé donc il est correct.
Il y a plus de choses dans le ciel et sur la terre que n'en rêve votre philosophie (Shakespeare)...

[Lostounet]

"normal" ? C'est quoi le "normal" ? Nous sommes dans monde où l'espace est courbé selon sa masse. Où le temps est différent selon la vitesse de déplacement. Où la lumière se déplace à la même vitesse qu'elle soit émise dans le sens de déplacement d'un objet ou perpendiculairement à celui-ci. Où aucune masse ne peut aller d'un point à un autre plus rapidement que cette dernière. Où la position d'un électron est "partout à la fois" tant qu'on a pas regardé où il était exactement. Que peut vouloir dire le mot "normal" dans ce monde ? C'est le notre et il a ses lois. Et si l'exploration de ses lois nous amène à un résultat, alors ce résultat est "normal" puisqu'il est issu des lois...

Je me demandais juste s'il était dans les normes de ne pas pouvoir concevoir ..! (Normes humaines..!) Sinon, comment l'imaginer?

Mais en tout cas, tu lances ici un débat philosophique, métaphysique, mathématique, social, culturel, logique, physique, fort intéressant qui m'intéresse, et qui mériterait un topic à part entière.

Les mathématiques sont aussi une philosophie avant d'être des sciences exactes! :id: :id:

Il y a plus de choses dans le ciel et sur la terre que n'en rêve votre philosophie (Shakespeare)...

:++:

[Lostounet]

P.S: Mais ce qui est sûr, c'est que j'ai mon brevet dans 1,5 semaines et que sans sommeil, je ne pourrais pas avoir ma mention Excellent! :ptdr:
Mais merci de veiller avec moi, c'est sympa :id:

[Sve@r]

Je me demandais juste s'il était dans les normes de ne pas pouvoir concevoir ..! (Normes humaines..!)

Tout à fait. Et c'est pas la seule chose que t'arriveras pas à concevoir. Tu verras quand tu te mettras à regarder la mécanique quantique et sa fameuse "téléportation quantique" (les caractéristiques d'un photon peuvent être dupliquées, mais à l'inverse, sur un autre photon de façon totalement instantanée quelle que soit la distance). D'ailleurs ce phénomène a déjà une application réelle: t'as beau te trouver à l'autre bout de la galaxie, si ta femme te trompe t'es cocu "instantanément". Mieux que la relativité d'Einstein non ???

Mais en tout cas, tu lances ici un débat philosophique, métaphysique, mathématique, social, culturel, logique, physique, fort intéressant qui m'intéresse, et qui mériterait un topic à part entière.

Les mathématiques sont aussi une philosophie avant d'être des sciences exactes! :id: :id:

:++:

Héhé... :id:

[Lostounet]

Tout à fait. Et c'est pas la seule chose que t'arriveras pas à concevoir. Tu verras quand tu te mettras à regarder la mécanique quantique et sa fameuse "téléportation quantique" (les caractéristiques d'un photon peuvent être dupliquées, mais à l'inverse, sur un autre photon de façon totalement instantanée quelle que soit la distance). D'ailleurs ce phénomène a déjà une application réelle: t'as beau te trouver à l'autre bout de la galaxie, si ta femme te trompe t'es cocu "instantanément". Mieux que la relativité d'Einstein non ???

:ptdr: :ptdr: :ptdr: Oui tu as raison !
J'avais déjà "pensé" à ces choses sans vraiment y prêter attention, mais la physique s'avère bien plus intéressante que ce qu'on nous apprend maintenant que tu le dis.. (C'est bien plus fascinant que: "On fait passer un rayon lumineux à travers une lentille convergente" ou encore "On plonge une boule dans de l'eau" OU ENCORE "On place deux lampes en dérivation dans un circuit") !!!

(Ils ont réussi à me 'dégouter' de la physique..!)

[Ben314]

...Surtout que si la racine carrée peut donner dans l'absolu deux résultats, la racine cubique, elle, n'en donne qu'un seul. On perd ainsi une certaine homogénéité dans les opérations...

C'est pas franchement mieux avec la racine cubique : sur C elle "donne" trois résultats possibles donc ce n'est pas plus une fonction que la racine carrée...

Ben comme Pi et -Pi sont confondus sur le cercle trigonométrique, ça n'aurait rien changé du tout !!! :id:

Si, ça aurait changé le résultat de Vingtdieux s'il avait pris -Pi comme argument de -4 :

Visiblement, il croit que l'on défini peu définir les puissances quelconques (ou du moins au moins les puissances fractionnaires) d'un nombre complexe en prenant .
D'où, s'il prend comme argument de -4, il se retrouve avec comme argument de (ce qui signifierais que ) et, s'il prend comme argument de -4, il se retrouve avec comme argument de (ce qui signifierais que )

Ce qui prouve que cette définition n'a pas lieu d'être...

En ce qui concerne , si on s'autorise à écrire n'importe quoi, on peut écrire :
,
,
,
...
Comme quoi est effectivement un nombre réel, mais lequel ?

Je me demandais juste s'il était dans les normes de ne pas pouvoir concevoir ..! (Normes humaines..!) Sinon, comment l'imaginer?

Si on parle toujours de Math., le problème n'est absolument pas de "concevoir" mais, de façon bien plus pragmatique, de le définir !!!!

[vingtdieux]

C'est bien un manque de comprehension. Tout nombre complexe a deux racines carrees de signe opposés quand on definit racine (-1) = +i cela implique que -racine(-1)=-i. Cette definition laisse une place complete a une algebre d'introduction aux nombres complexes et on part de i^2=-1.
Alors il faut regarder des livres comme celui de Hardy (a course of pure mathematics, page 84). Les mathematiciens etrangers utilisent ca depuis longtemps meme Cardan (1501-1576) l'employait. Gauss appelait i=Racine(-1). Et Euler alors dans "elements d'algèbre"? Les mathematiciens etrangers seraient-ils depuis longtemps dans l'erreur? Alors le pire c'est que les etudiants retiennent ca en premier bien loin devant autre chose des nombres complexes du fait d'avoir brandi devant leur nez le panneau interdiction !
Enfin apres plusieurs annees de discussion j'ai trouve quelques matheux du superieur qui partage ces idees. Bien sur ils cotoient beaucoup la recherche et se rencontrent dans de confs. Ils m'ont tous conseiller de laisser tomber les matheux francais sur ce coup la.

[vingtdieux]

La regle de multiplication de 2 nombres complexes (a,b) et (a',b') se faut suivant la definition aa'-bb'+ia'b+iab' = (aa'-bb', a'b+ab')
Avec Racine(-4) on a(0,2) et Racine (-9)= (0,3).
La multiplication donne avec la regle precedente (-6,0) donc -6
Tout revient à poser dans le marbre Racine(-1) = i !!
Vous voyez qu'il est interdit de faire produit en voulant faire une extension de vos lois dans les reels et pas les complexes
Par contre la mienne marche si on suit le processus de multiplication des couples.

[Ben314]

Il est tout à fait vrai qu'historiquement parlant, les nombres complexes soit apparus sous forme de racines négatives (et absolument pas plus particulièrement chez les "étrangers" que chez les français) : l'un des "moteurs" du développement de ces racines négatives fut les formules de Cardan qui, dans le cas d'un polynôme du troisième degré ayant trois racines réelles, expriment les racines (qui sont réelles) à l'aide de racines carrées de réels négatifs (puis de racines cubiques contenant ces dernières).
Dans ce contexte, le fait que les racines carrés de nombres négatifs soient multivoques (c'est à dire puissent prendre plusieurs valeurs différentes) n'est pas génant du tout, vu que, quel que soit la valeur choisie, on obtient bien une racine du polynôme.
Tout les matheux de l'époque était parfaitement conscients de ce fait et cela ne les dérangait pas outre mesure : la définition "carré-carré" de ce qu'est une application (bien définie) entre deux ensembles n'ayant été développée que bien plus tard (théorie des ensembles).
Lorsque les mathématitiens on commencé à prendre l'habitude de ne manipuler que des fonction univoques (i.e. des applications), deux possibilités sont apparues :
1) Décider que, mordicus, on va fabriquer une application racine carré (ou cubique ou...) en "choisisant" une des racine (par exemple en décrétant que l'argument de départ du complexe doit être choisi dans [0,2pi[) :
- Avantage : Dans les équations du second degrés par exemple, on a le droit d'écrire directement avec réel négatif (voir complexe).
- Inconvénient : Aucune régle algébrique ne s'applique à la fonction
2) Décider que l'on garde la notion de fonction multivoque, c'est à dire que racine carrré de z (ou cubique ou...) ne désigne pas un complexe mais un ensemble de deux complexe (ou 3 ou...).
- Avantage : Les règles usuelles de calculs sur les racines s'appliquent, par exemple les racine n-ièmes de Z1xZ2 sont bien le produit des racines n-ièmes de Z1 par les racines n-ièmes de Z2.
- Inconvénient : au lieu d'écrire par exemple , on est obligé d'écrire "soit une des racine de "

Remarque 1 : Là où on voit que la solution 1) n'est pas géniale, c'est que toi, par exemple, qui semble avoir retenu cette option, bien que cela fasse déjà deux fois que je te le demande, tu n'a toujours pas répondu à la question "cruciale" : comment choisi tu parmi les deux solutions de l'équation (pour Z fixé) celle que tu va appeler "la" racine carré de Z. Il semble que fréquement, les personne qui au départ privilégient cette option ne sont pas bien conscient du coté trés arbitraire du choix que l'on doit faire.

Remarque 2 : En france comme ailleurs, dans un cursus standard d'enseignement des maths, on parle trés précisément de ces deux options d'écriture dans deux branches :
- La théorie de Galois où on trouve dans tout les bouquins (en france comme ailleurs) par exemple la notation où d est un entier sans facteurs carrés (y compris négatif) et, vu le contexte, l'ambiguité su la valeur de n'a aucune importance vu que
- La théorie des fonction analytiques (ou holomorphe) ou, à l'inverse, la notion de fonction , pour être bien définie, nécéssite que l'on travaille sur un ouvert simplement connexe de ET que l'on précise pour un de cet ouvert quel choix est fait sur les deux solutions de .

Tout ça pour dire que, s'il y a une différence entre la france et l'étranger, c'est uniquement dans l'enseignement des math "à petit niveau" qu'elle existe et le choix français (mais pas du tout uniquement français) d'interdire aux débutants matheux d'écrire pour z complexe est un choix pédagogique : tu peut être certain que, si tu l'autorise, tu vas avoir des tas d'élèves qui vont écrire sans vergogne que ce qui est forcément faux quelque soit le choix fait sur qui est la racine (déjà avec la racine carrée réelle, il faut à certains élèves plusieurs années pour qu'ils arrêtent d'écrire ...)

[Ben314]

La regle de multiplication de 2 nombres complexes (a,b) et (a',b') se faut suivant la definition aa'-bb'+ia'b+iab' = (aa'-bb', a'b+ab')
Avec Racine(-4) on a(0,2) et Racine (-9)= (0,3).
La multiplication donne avec la regle precedente (-6,0) donc -6
Tout revient à poser dans le marbre Racine(-1) = i !!
Vous voyez qu'il est interdit de faire produit en voulant faire une extension de vos lois dans les reels et pas les complexes
Par contre la mienne marche si on suit le processus de multiplication des couples.

J'ai rien compris :
C'est quoi que tu veut montrer dans ce post ?
Si j'ai bien compris, tu calcule et tu trouve -6, mais tu en déduit quoi ?
C'est quoi que tu appelle "ta règle" ?

Edit : JE viens de comprendre (à force) : comme tu as choisi l'option 1) de mon post précédent, tu pointe du doigt son inconvénient, c'est à dire qu' aucune régle algébrique ne s'applique à ta fonction racine carrée.

Perso, je trouve ça plus satisfaisant de garder le coté multivoque qui me permet d'écrire que :
2i est une des racines carrées de -4 ; 3i est une des racines carrées de -9 donc le produit (2i)(3i)=-6 est une des racines carrées du produit (-4)(-9)=36

Mais bon, les gouts et les couleurs...

[vingtdieux]

[Doraki]

Donc encore une fois, quand tu écris "sqrt(-1)", nous, on a aucun moyen de savoir si tu penses à +i (en disant que l'argument de -1 c'est +pi) ou à -i (en disant que l'argument de -1 c'est -pi), vu que tu nous dis seulement que i = + ou - sqrt(-1).
Et c'est quand même gênant dès qu'on veut faire autre chose que l'élever au carré.

Si je dis que i^3 = (sqrt(-1))^3 = sqrt((-1)^3) = sqrt(-1) = i,
alors i² = 1.
Je justifie la deuxième égalité en disant que selon ta définition de sqrt,
(sqrt(e^it))^3 = (e^it/2)^3 = e^(3it/2) = sqrt(e^(3it)) = sqrt((e^it)^3)

[vingtdieux]