Racines Négatives..?

[Lostounet]

Bonsoir!

En essayant de poser:

, et de trouver 'ce que ça donne', j'ai procédé par deux méthodes différentes, que voici:

La première:


= 2i 3i
= 6i² = -6

La deuxième:

=
=
= 6

L'élasticité du radical se limite-t-elle aux valeurs positives?

Merci d'avance!

[Nightmare]

Salut,

Et pourquoi et pas -2i ? :lol3: La racine carrée, sur R+, dénote le nombre positif ayant pour carré le nombre de départ. Quelle définition prendre si on étend le symbole à C ?

Sans ça, autre problème, qu'est-ce qui garantit que si on étend ce symbole à C, alors ses propriétés s'y étendront aussi? A priori rien, et à juste titre, puisque les propriétés ne s'étendent pas à C (et tu viens de le prouver)

[Ben314]

Ben, le problème, c'est surtout que , ça veut rien dire !!!!
Dans R, étant donné un réel positif x fixé, il y a deux réels dont le carré vaut x, mais un seul des deux est positif. C'est lui que l'on appelle "racine de x".
Dans C, étant donné un complexe z quelconque, il y a toujours deux complexes dont le carré vaut z, mais comme il n'y a pas de relation d'ordre, il n'y a aucune raison de privilégier l'un par rapport à l'autre.
On peut à la rigueur écrire :
Le complexe -4 admet comme racines carrées 2i et -2i.

Mais si tu t'autorise à écrire , laquelle des deux racines carrées et-ce que ce symbole désigne ?

Pour reprendre ton exemple, ce qui serait juste, ça serait d'écrire :
Les racines carrées de -4 sont 2i et -2i.
Les racines carrées de -9 sont 3i et -3i.
Les racines carrées de -4*-9=+36 sont 2i*3i=(-2i)*(-3i)=-6
et (-2i)*3i=2i*(-3i)=+6.

[Lostounet]

Salut,

Et pourquoi et pas -2i ?

Parce que j'ai utilisé la même propriété qui ne marche pas :ptdr:

= = = = 2i

Mais sinon, c'est bien plus compliqué que ce je croyais !!!

[Lostounet]

Ben, le problème, c'est surtout que , ça veut rien dire !!!!
Dans R, étant donné un réel positif x fixé, il y a deux réels dont le carré vaut x, mais un seul des deux est positif. C'est lui que l'on appelle "racine de x".
Dans C, étant donné un complexe z quelconque, il y a toujours deux complexes dont le carré vaut z, mais comme il n'y a pas de relation d'ordre, il n'y a aucune raison de privilégier l'un par rapport à l'autre.
On peut à la rigueur écrire :
Le complexe -4 admet comme racines carrées 2i et -2i.

Mais si tu t'autorise à écrire , laquelle des deux racines carrées et-ce que ce symbole désigne ?

Pour reprendre ton exemple, ce qui serait juste, ça serait d'écrire :
Les racines carrées de -4 sont 2i et -2i.
Les racines carrées de -9 sont 3i et -3i.
Les racines carrées de -4*-9=+36 sont 2i*3i=(-2i)*(-3i)=-6
et (-2i)*3i=2i*(-3i)=+6.

Je vois.
Donc en fait, pour rendre le choses encore plus claires, peut-on dire que la deuxième méthode est complètement fausse?

[Nightmare]

En gros, tu n'as pas le droit d'utiliser le symbole racine carrée pour des nombres négatifs.

C'est plutôt logique après tout, qu'est-ce qui te donne le droit d'étendre le symbole? Ce n'est a priori pas légitime, surtout lorsqu'il est question d'ordre dans la définition.

[Lostounet]

Je m'excuse de la gêne occasionnée, mais mon autre topic ne semble plus fonctionner; je n'y ais plus accès (pourtant j'ai tout essayé)!
J'ai même essayé d'y accéder par un autre poste, rien n'y fais.

Je remercie Ben et Nightmare notamment pour leur participation, mais pourais-tu (Nightmare) reposter ta dernière réponse sur ce fil, j'en serais reconnaissant..!

(S'agit-il d'un bug..? Si un modérateur pouvait m'aider, ce serait sympa :hein: )

Merci d'avance!

Je rappelle le sujet de la discussion afin que ce fil soit aussi pertinent que son précédent:

On pose abusivement:


Par deux méthodes différentes:
Méthode 1:


= 6

Méthode 2:


=
= 6i² = -6


J'ai appris que:

Il faut chercher 2 "racines carrées" pour un négatif (en travaillant dans les complexes), et qu'on pouvait noter à la rigueur


= 2i ou -2i (Merci Ben)

En supposant la transition de la notation vers cet ensemble,ses propriétés ne sont pas forcément maintenues (Merci Nightmare)

[Benjamin]

Bonsoir,

Malheureusement, c'est un bug pour lequel je ne peux rien faire. Seul l'admin éventuellement. Ce n'est pas la première fois que cela arrive. C'est un problème avec du Latex mais après...

Désolé pour la gène occasionnée.

A bientôt,
Benjamin

[Lostounet]

Merci quand même pour les explications, Benjamin ;)

[Olympus]

L'explication est simple, un boulay a mis une racine carrée vide :ptdr:

( Vous pouvez reproduire le bug sur http://www.texify.com qui utilise le même programme pour le rendu des formules )

[Sve@r]

Je m'excuse de la gêne occasionnée, mais mon autre topic ne semble plus fonctionner; je n'y ais plus accès (pourtant j'ai tout essayé)!
J'ai même essayé d'y accéder par un autre poste, rien n'y fais.

Je remercie Ben et Nightmare notamment pour leur participation, mais pourais-tu (Nightmare) reposter ta dernière réponse sur ce fil, j'en serais reconnaissant..!

(S'agit-il d'un bug..? Si un modérateur pouvait m'aider, ce serait sympa :hein: )

Merci d'avance!

Je rappelle le sujet de la discussion afin que ce fil soit aussi pertinent que son précédent:

On pose abusivement:


Par deux méthodes différentes:
Méthode 1:


= 6

Méthode 2:


=
= 6i² = -6


J'ai appris que:

Il faut chercher 2 "racines carrées" pour un négatif (en travaillant dans les complexes), et qu'on pouvait noter à la rigueur


= 2i ou -2i (Merci Ben)

En supposant la transition de la notation vers cet ensemble,ses propriétés ne sont pas forcément maintenues (Merci Nightmare)

Euh... je lis et je relis ce post (au fait, l'autre est totalement HS => seul un admin peut régler ça) mais je reste pantois. Quelle est donc la question ???

Toutefois, on va rectifier un point: s'il se trouve que (-6)² = 6² = 36, mais pas -6. En effet, rajouter -6 en tant que résultat d'une racine
1) ça ne sert à rien (car 6 fait très bien l'affaire)
2) ferait que la fonction ne pourrait plus être considérée comme fonction (une fonction ne peut renvoyer qu'un seul résultat)
Bref gênerait tout le monde. C'est pour ça que, conventionnellement, la racine carrée d'un nombre ne donne qu'un seul résultat...

[Olympus]

printthread.php a l'avantage de ne pas charger de plugins ( je crois ), donc pas de mimeTex ( ou alors si, mais elle ne bloque pas aux erreurs ), et ainsi pas de bug .

Donc pour le sujet initial : http://maths-forum.com/printthread.php?t=105636 ( un modérateur pourrait alors éditer le message de Nightmare pour enlever la racine vide ^^ ) .

[Olympus]

Pour éditer le message de Nightmare sans passer par la page qui bloque : http://maths-forum.com/editpost.php?do=editpost&p=684770 .

[Lostounet]

Euh... je lis et je relis ce post (au fait, l'autre est totalement HS => seul un admin peut régler ça) mais je reste pantois. Quelle est donc la question ???

Toutefois, on va rectifier un point: s'il se trouve que (-6)² = 6² = 36, mais pas -6. En effet, rajouter -6 en tant que résultat d'une racine
1) ça ne sert à rien (car 6 fait très bien l'affaire)
2) ferait que la fonction ne pourrait plus être considérée comme fonction (une fonction ne peut renvoyer qu'un seul résultat)
Bref gênerait tout le monde. C'est pour ça que, conventionnellement, la racine carrée d'un nombre ne donne qu'un seul résultat...

Merci pour la réponse. En fait, la question est sous-entendue:
Laquelle des deux méthodes est incorrecte (logiquement). Nightmare me disait que se permettre d'écrire -4 * -9 n'implique pas forcément que les propriétés du radical soient applicables dans C.

Pourtant, on obtient bien un 6 en travaillant avec le radical, donc ce n'est pas si éloigné que ça..!

Oui, je conçois ce que tu dis. J'aimerais bien voir une fonction f(x) = x :id:

[Lostounet]

Merci pour tes remarques intéressantes, Olympus :)

[Ben314]

Pourtant, on obtient bien un 6 en travaillant avec le radical, donc ce n'est pas si éloigné que ça..!

Oui, cela vient du fait (trés simple à démontrer) que, dans C, si tu fait le produit dune des racines carrées d'un complexe Z1 avec une des racines carrées d'un complexe Z2, tu obtient une des racines carrées de Z1xZ2.
Le problème c'est, comme le souligne Sve@r, qu'il n'y a plus de fonction racine carré, mais on parle quand même de racines carrées et même de racines n-ièmes.
Comme par hasard, tout complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes : 2 racines carrées, 3 racines cubiques, 4 racines quatrièmes...

[uztop]

Pour éditer le message de Nightmare sans passer par la page qui bloque : http://maths-forum.com/editpost.php?do=editpost&p=684770 .

merci Olympus, j'ai édidé et on peut ouvrir le topic maintenant
Mais il vaut mieux continuer la discussion ici pour ne pas avoir deux topics.

[Benjamin]

Merci effectivement Olympus. Je saurais quoi faire la prochaine fois que ça se reproduit maintenant ;)

J'ai fusionné les 2 discussions, on peut continuer ici normalement.

[Nightmare]

J'ajouterai le théorème énonçant qu'il n'existe sur C aucune détermination continue de la fonction racine carrée!

[Sve@r]

Oui, je conçois ce que tu dis. J'aimerais bien voir une fonction f(x) = x :id:

http://www.mathe-fa.de/fr




La courbe verte est celle de la fonction racine. Tu remarqueras qu'elle est symétrique par rapport à la droite y=x de sa fonction inverse x² (ce qui est vrai pour toutes les fonctions).
Et justement, si la fonction racine admettait 2 résultats, alors la courbe verte serait dupliquée dans les négatifs ce qui donnerait alors cette courbe verte symétrique exacte de la bleue...