Raccourci f(phi,n) pour Fibonacci

[ortollj]

Bonjour
j'ai suivi le cours de Jim Fowler sur Coursera Sequences and Series

un cours formidable qui m'a appris plein de choses .
je suis vraiment reconnaissant a Jim Fowler de l'université Ohio .

Jim Fowler Video about Fibonacci
j'ai fais une petite applet Geogebra que vous pouvez telecharger sur
Geogebra Forum Fibonacci
attention cliquer sur telecharger car le lien HTTP ne fonctionne pas. :hum:

Code: Tout sélectionner

F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) F(8)    F(9)     .... F(n)
 0      1    1    2     3    5    8    13   21    34         .... xyzt

f(x)    = x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + ... + F(n-1) x^(n-1)   + F(n) x^(n) 
x f(x)  =     x^2 + x^3   + 2 x^4 + 3 x^5 + ... + F(n-2) x^(n-1)   + F(n-1) x^(n)  + F(n) x^(n+1)     
x^2 f(x)=           x^3   +  x^4  + 2 x^5 + ... + F(n-3) x^(n-1)   + F(n-2) x^(n)  + F(n-1) x^(n+1)   + F(n) x^(n+2)


Et comme F(n)=F(n-1) + F(n-2) and F(n-1)=F(n-2) + F(n-3) and ..... F(n-p)=F(n-p-1) + F(n-p-2) ....
quand on soustrait x f(x) and x^2 f(x) de f(x) ,il y a un reste,
aussi je ne comprends pas qu'on puisse le negliger, et pourtant ca colle parfaitement, on retrouve bien la suite de fibonacci.
dans les coefficients de la serie( faire bouger le curseur X autour de 1).
la fonction f(\phi, x,n)=F(n) dans Geogebra s'appelle FibonacciApproxi, celle qui est calculé avec l'algo classique s'appelle Fibonacci,
et la liste de points pour la representer graphiquement s'appelle FibonacciPoints.
il y a quelque chose qui doit m'echapper , c'est fou !.je ne comprends pas.

f(x) -x f(x)- x^2 f(x)= x -( F(n) x^(n+1) + F(n-1) x^(n+1) + F(n) x^(n+2) )

[Doraki]

c'est quoi f(x) ?

je suis pas sûr de comprendre de quoi tu parles
j'ai bougé x et y'a des points qui ont bougé et d'autres pas ? qu'est-ce qui colle parfaitement ?

[ortollj]

tu as raison Doraki j'ai fais une erreur dans ma notation, ce qui n'arrange pas la comprehension du probleme !

dont les a_n sont les nombres de la suite de Fibonacci
f(x)= FiboPower(x)- x*FiboPower(x)- x^2*FiboPower(x)

il aurait fallu que j'ecrive :marteau:

Code: Tout sélectionner

F(0)  F(1)  F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) F(8)    F(9)     .... F(n)
 0     1     1     2      3    5      8     13    21    34         .... xyzt

FiboPower(x)    = x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + ... + F(n-1) x^(n-1)   + F(n) x^(n) 
x FiboPower(x)  =     x^2 + x^3   + 2 x^4 + 3 x^5 + ... + F(n-2) x^(n-1)   + F(n-1) x^(n)  + F(n) x^(n+1)     
x^2 FiboPower(x)=           x^3   +  x^4  + 2 x^5 + ... + F(n-3) x^(n-1)   + F(n-2) x^(n)  + F(n-1) x^(n+1)   


[Doraki]

Donc fibopower(x) et f(x) dépendent de n ?

[ortollj]

Donc fibopower(x) et f(x) dépendent de n ?

oui j'aurais encore peut etre du ecrire:
f(x,n)= FiboPower(x,n)- x*FiboPower(x,n)- x^2*FiboPower(x,n)
(j'avoue que je suis completement a la ramasse, dans ce probleme, il y a des choses qui m'echappent et je suis un peu perdu) :mur:

[Skullkid]

J'ai pas tout compris et je peux pas télécharger ton applet au boulot, mais si tu essayes d'évaluer pour x proche de 1, tu risques d'avoir des problèmes vu que tu es en dehors du rayon de convergence de la série.

[zygomatique]

salut

multiplier par x c'est faire un décalage d'indice de 1
multiplier par x^2 c'est faire un décalage d'indice de 2

ensuite on peut travailler avec des séries formelles sans considération de convergence ou divergence éventuelle ....

il y aura toujours un reste lorsqu'on somme jusqu'à n ...

[ortollj]

ok, on suppose d'abord que la serie a un domaine de convergence( mais située dans 0<|x|<1) d'ailleurs apres coup, on peut verifier qu'il existe
car |(1-\phi)| < 1
et donc si on sait que la serie converge , comme ca on peut negliger le reste.
et donc l'ecriture est correcte.
si on remplace par f(x) on obtient bien
et comme on montre que cette fonction f(x) est aussi egale a


on a bien l'egalité

ca y est il n'y a plus de mystere !! :zen:

[Skullkid]

Ça marche, mais il ne faut pas passer à côté du fait que "l'esprit" de la démo est comme zygomatique l'a rappelé d'utiliser des séries formelles. La démo serait en fait valide même si la série entière associée avait un rayon de convergence nul (bon dans la vidéo il le dit pas clairement, il se contente d'un "faisons comme si ça convergeait" pour évacuer la question).

[ortollj]

Ça marche, mais il ne faut pas passer à côté du fait que "l'esprit" de la démo est comme zygomatique l'a rappelé d'utiliser des séries formelles. La démo serait en fait valide même si la série entière associée avait un rayon de convergence nul (bon dans la vidéo il le dit pas clairement, il se contente d'un "faisons comme si ça convergeait" pour évacuer la question).

tu es sur Skulkid ? si la serie diverge on a pas le droit d'ecrire:

, mais on doit ecrire



car le reste ne devient plus negligeable . :doh:
c'est pourquoi je pense que au debut on peut faire l'hypothese que la serie converge, mais pour que la demonstration soit valide il faut verifier que la serie trouvée ne diverge pas. je me trompe ?

[Skullkid]

Pour ta démonstration où tu considères une série entière, oui, tu es obligé de t'assurer que la série a un rayon de convergence non nul. Mais tout l'intérêt ici est de s'affranchir des questions de convergence en raisonnant en termes de séries formelles.

Si tu n'as pas déjà étudié un peu les polynômes et/ou les fractions rationnelles, c'est sans doute pas évident à concevoir, mais tu peux considérer l'objet et faire des manipulations algébriques dessus sans jamais te soucier de la convergence de la série où est un réel. En gros tu peux travailler juste sur l'expression et non pas sur le nombre qu'elle pourrait éventuellement représenter si on remplaçait par un nombre.

[zygomatique]

tout à fait x représente simplement une lettre ... sans considération du fait que ça soit un nombre ou autre chose .... et que tu veuilles le calculer ou pas en remplaçant x par une valeur numérique ....

après on peut effectivement chercher quel est le domaine de convergence de cette série formelle ...