Qui saurait démontrer cette identité trigonométrique ?

[AlainJ89]

Bonjour,

J'ai vérifié (numériquement sur quelques valeurs) l'identité :



mais suis incapable de la démontrer...

J'ai tenté quelques approches, en considérant par exemple, ou encore mais sans succès.


Qui pourra le faire ?

[Ben314]

Salut,
Si tu connait les complexes, c'est assez facile : le polynôme se factorise très facilement dans C sous la forme et tu en déduit que où les sont facile à calculer.
Ensuite, pour avoir une égalité du style de celle que tu veut, il suffit de regrouper les termes conjugués 2 à 2 de façon à reconstituer des fonctions réelles et ça doit te donner la formule que tu souhaite à un poil de c.. près.
Éventuellement, si tu veut être sûr de ton coup, cherche plutôt la décomposition en élément simples de , mais c'est un peu plus chiant (mais parfaitement faisable) vu que 1 est pôle double et que, lorsque n est pair, -1 aussi.

[AlainJ89]

Merci pour cette indication !

La décomposition en éléments simples a été le chemin le plus efficace, et permet en bonus de calculer le produit des sinus des termes d'une progression arithmétique...

Une astuce pour le pôle 1 de la fraction 1/(x^n-1) : écrire 1/(x-1) sous la forme (x -cos(0))/(x^2-2x*cos(0)+1).