Question

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
JaCQZz
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Re: question

par JaCQZz » 14 Fév 2016, 16:07

Ben314 a écrit: la notion de bijection sur les ensembles infinis puisse, comme dans le cas fini, servir à "plus ou moins" compter les éléments....


Prends donc toutes les propriétés vraies et déclare-les comme des axiomes: tu n'as pas de soucis dus aux choix.
UN énoncé particulier noté G tel que « S(G) = non-G ». Alors ton G est démontrable si et seulement si G est faux.

:D



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Ben314
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Re: question

par Ben314 » 14 Fév 2016, 16:09

JaCQZz a écrit:La curiosité est le propre de l'éveil. Pas en terminale ? Il est possible de partitionner l'ensemble des réels en :
- les infinitésimaux ou infiniment petits, inférieurs en valeur absolue à tout réel standard strictement positif. À part 0, ils sont non standard. x – y infinitésimal est noté x ≈ y. On dit que x et y sont ici des infiniment proches.
- les illimités, supérieur en valeur absolue à tout réel standard. Non standard, leurs inverses sont infinitésimaux.
- les appréciables. Les appréciables et les infinitésimaux constituent ce qu'on appelle les réels limités . Cf. l'ANS.

L'ensemble R des nombres réels standards s'avère complété de la sorte par les nombres dénommés hyperréels : infiniment petits (dits infinitésimaux) ou infiniment grands. Tout nombre distinct de ceux-ci sont dits standards.
Alors, je reprend tout sans rien tronquer et tu me dit quelle est la partie que j'ai "tronquée" qui, selon toi, est sensée rendre la partie en rouge correcte.

Pour moi, il n'y a pas le début de la moitié d'une ambiguïté : tu affirme que les hyperréels qui ne sont ni infiniment petits, ni infiniment grands sont "standard" et c'est évidement faux.

Et, pour ta gouverne, il n'y a pas le moindre début de rapport (même très lointains) entre le fait que les infinitésimaux (par exemple) ne soient pas une partie interne de *R et les différents théorème de Gödel.
Modifié en dernier par Ben314 le 14 Fév 2016, 16:15, modifié 2 fois.
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Re: question

par Ben314 » 14 Fév 2016, 16:11

JaCQZz a écrit:
Ben314 a écrit: la notion de bijection sur les ensembles infinis puisse, comme dans le cas fini, servir à "plus ou moins" compter les éléments....

Prends donc toutes les propriétés vraies et déclare-les comme des axiomes: tu n'as pas de soucis dus aux choix.
UN énoncé particulier noté G tel que « S(G) = non-G ». Alors ton G est démontrable si et seulement si G est faux.
a) Je comprend toujours pas le rapport avec la choucroute (ni avec l'axiome du choix ni avec le thème du fil qui est les infiniment petits/infiniment grands)
b) C'est quoi que tu appelle une "propriété vraie" ? (i.e. dans quel modèle tu te place ?)
c) On est sensé déduire quoi de ta prose ?
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Re: question

par Robot » 14 Fév 2016, 16:38

Bah, JaCQZz est victime de l'abus de fumage de moquette. Je l'avais pourtant mis en garde ! :mrgreen:

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Re: question

par JaCQZz » 14 Fév 2016, 16:43

Ben314 a écrit:Pour moi, il n'y a pas le début de la moitié d'une ambiguïté : tu affirme que les hyperréels qui ne sont ni infiniment petits, ni infiniment grands sont "standard" et c'est évidement faux.
Relis alors: j'ai mentionné les nombres appréciables avant d'effectuer l'amalgame résumé pour détailler le bord.
Quand on sait entrevoir les nuances du raisonnement, on sait vérifier quand la frontière est devenue zoomée !

Ben314 a écrit:Et, pour ta gouverne, il n'y a pas le moindre début de rapport (même très lointains) entre le fait que les infinitésimaux (par exemple) ne soient pas une partie interne de *R et les différents théorème de Gödel.

J'ai mon gouvernail et n'ai pas besoin de cet éclairage biaisé. Gödel n'est évoqué que pour la notion d'ensemble.
Comme la plupart des enseignants du primaire, du secondaire et du supérieur, tu es "câblé" en mode séquentiel.
Il est logique de se référer à la théorie corrélée lorsqu'une modélisation se trouve être faite pour un référentiel.

Naturellement, tu lis de travers les associations que, comme quiconque, tu ne captes pas, telle : la sysnesthésie !
Recommandons la mise en place de la cartographie mentale par heuristiques (encore appellée : Mind Mapping)!

Ben314 a écrit:quelle est la partie que j'ai "tronquée" qui, selon toi, est sensée rendre la partie en rouge correcte. ?

Il est possible de partitionner l'ensemble des réels en :
- les infinitésimaux ou infiniment petits, inférieurs en valeur absolue à tout réel standard strictement positif. [..]
- les illimités, supérieur en valeur absolue à tout réel standard. Non standard, leurs inverses sont infinitésimaux.
- les appréciables. Les appréciables et les infinitésimaux constituent ce qu'on appelle les réels limités . Cf. l'ANS.
Modifié en dernier par JaCQZz le 14 Fév 2016, 17:17, modifié 1 fois.

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Re: question

par Ben314 » 14 Fév 2016, 16:57

quelle est la partie que j'ai "tronquée" qui, selon toi, est sensée rendre la partie en rouge correcte. ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: question

par JaCQZz » 14 Fév 2016, 17:37

Le rappel :
PSEUDA a écrit:Il faut supposer que ce que tu appelles les nombres réels standards, ce sont les nombres réels. Sinon, ça se mord la queue.

A l'ordre :
JaCQZz a écrit:Pour tout x appréciable, il existe un réel unique, la partie standard (ou l'ombre) de x, noté x* ( unique, par le théorème des segments emboîtés), tel que x-x* soit infinitésimal ; l'écriture en x*+ε de tout nombre hyperréel non infiniment grand proviendra d'une simple dichotomie (dans ℝ) autorisée par l'ordre qui est total sur *ℝ.

Qui mord la queue de qui ? Il faut savoir que les mots disparaissent des boîtes quand on les digère en passant.
L'ordre permet juste de s'affranchir des infinis en les reléguant dans les parties extrèmes donc non standard.

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Re: question

par JaCQZz » 14 Fév 2016, 17:55

biss a écrit:Salut je me demande
Le projectile qui n'atteint jamais sa cible est une loi dans l'univers des maths ou juste une erreur de raisonnement ?


Le paradoxe est apparent car le problème est mal posé. La trajectoire de l'objet normal ne se modélise pas ainsi.
Si on n'évoque que la distance entre la flèche et la cible, la distance indéfiniment divisée par deux ne vaut pas 0.
C'est une loi . La flèche ne divise pas la distance indéfiniment par deux, mais elle progresse, à vitesse constante.

::d

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Re: question

par Pseuda » 14 Fév 2016, 22:03

Ben314 a écrit:
PSEUDA a écrit:
Ben314 a écrit:Les éléments de ces ensembles peuvent être appariés un pour un. Inconcevable... :frime:
C'est (forcément) un problème de génération (et donc de façon dont les trucs ont été enseignés), mais avec la vision de "patatoïdes" de mon époque, je me rappelle très bien un prof (au collège) nous dire que, si tu mesure un truc qui en mètre a une mesure théorique (i.e. mathématique)dans [0,1], alors il est bien clair qu'en centimètres il a une mesure dans [0,100] et que tu en déduit on ne peut plus "intuitivement" qu'il y a "autant" de réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et 100.
Idem (toujours au collège) où on se gênait pas pour dire qu'une bête homothétie du plan c'était une bijection, qui, très clairement, pouvait envoyer des trucs sur d'autre "plus petit" ou "plus gros" et je crois pas que qui que ce soit y voyait un truc "inconcevable" comme tu dit.
Perso., dans ma scolarité, ce qui m'a fortement surpris, c'est plutôt "le contraire", c'est à dire de voir (en licence ou en maitrise, je sais plus), que, contrairement a ce dont j'étais persuadé depuis longtemps, la notion de bijection sur les ensembles infinis puisse, comme dans le cas fini, servir à "plus ou moins" compter les éléments.
C'était évidement le jour où on m'a présenté formellement la notion d'ordinal (comme quotient de la classe des ensembles bien ordonnés) puis celle de cardinal (comme une partie de la classe des ordinaux).
Mais je dirait pas trop que c'était "naïf" comme truc : il faut quand même déjà avoir un peu compris le B-A-BA de la théorie des ensembles pour voir qu'on joue un peu avec le feu (vu que les truc en question ne sont pas des ensembles), et avoir un peu compris le statut "bizarre" de l'axiome du choix indispensable pour montrer que deux ensembles quelconques sont toujours "comparables" : je sais pas si "monsieur tout le monde" est à même d'appréhender ces deux problèmes...


Ce qui me paraît aberrant, ce n'est pas la bijection en elle-même, c'est que deux ensembles dont l'un est contenu dans l'autre soient en correspondance bi-univoque.
Pour le coup, cela m'étonne que ça, ça ne fasse pas des contradictions.

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Re: question

par Robot » 14 Fév 2016, 23:58

PSEUDA, tu es sérieux(se) ou tu blagues, là ?

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Re: question

par Sylviel » 15 Fév 2016, 16:25

JacQQzz est de tout évidence le nouvel avatar d'une personne bannie à de multiple reprise de ce forum. Elle l'a été de nouveau.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

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Re: question

par nuage » 16 Fév 2016, 02:54

Robot a écrit:PSEUDA, tu es sérieux(se) ou tu blagues, là ?

PSEUDA enseigne les mathématiques, il est donc évident que c'est une blague.

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Re: question

par Pseuda » 17 Fév 2016, 12:43

Non, non, je suis tout à faite sérieux(se) (eh, eh, Robot ne saura pas). Cela ne m'étonnerait qu'à moitié que quelqu'un arrive à fabriquer une fonction tordue qui montre une contradiction. Mais ce faisant, les maths seraient mises à mal, mal, mal... Donc ce n'est pas possible, en mettant bout à bout des bijections, on obtient forcément une bijection, il y aurait une erreur quelque part dans les maths, mais en même temps, cela ne me paraît pas impossible. En y réfléchissant bien, ... D'où le paradoxe...

Ce paradoxe me fait penser à celui du fromage, que tout le monde connaît : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_ ... 3%A0_trous. Mais celui-là est résoluble, tandis que celui de l'autre (celui de l'infini) ne l'est pas.

En disant des énormités comme celles-là, j'essaie de me faire viré (ée, er, ..., je ne sais plus) comme JaCQZz, mais pas moyen. :hehe:

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Re: question

par beagle » 17 Fév 2016, 14:35

Ta question sur les infinis comment se dépatouiller de la notion de bijection versus celle d'inclusion,
est en voie de résolution sur maths forum ici:
philosophie-litterature/dites-que-vous-pensez-mes-docs-philosophico-mathematiq-t166322.html
il ya quelques réglages encore à voir :D
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Re: question

par nuage » 17 Fév 2016, 22:38

Pour PSEUDA.
Une définition souvent utilisé :
« un ensemble est infini si et seulement si il est en bijection avec une de ses parties propres ».

Une partie propre d'un ensemble A étant une partie de A différente de A.

[edit]
En disant des absurdités mathématiques, tu ne risques guère de te faire virer.
Mais de te ridiculiser, si.

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Re: question

par Pseuda » 18 Fév 2016, 00:29

Supprimé
Modifié en dernier par Pseuda le 18 Fév 2016, 01:26, modifié 1 fois.

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Re: question

par Pseuda » 18 Fév 2016, 00:30

beagle a écrit:Ta question sur les infinis comment se dépatouiller de la notion de bijection versus celle d'inclusion,
est en voie de résolution sur maths forum ici:
philosophie-litterature/dites-que-vous-pensez-mes-docs-philosophico-mathematiq-t166322.html
il ya quelques réglages encore à voir :D

Merci Beagle pour ce lien ! L'idée me paraît bonne : tenter d'apporter une réponse au paradoxe des ensembles infinis, par exemple le paradoxe de dire qu'il y a autant d'entiers pairs que d'entiers naturels. Mais je n'ai pas d'avis sur la manière de faire (pas le niveau, le courage, le temps ... de lire le document du Matheux Philosophe).

Une chose me paraît sûre, c'est que l'on ne résoudra pas ce paradoxe avec les bijections. C'est même le contraire, c'est la bijection qui crée le paradoxe. Parce qu'une bijection, au fond, ce n'est rien d'autre qu'une transformation (un pour un, d'accord, mais une transformation quand même).

On peut étirer un segment jusqu'à le rendre infini, on peut doubler un entier ou le diviser par deux, ... et alors ? On ne peut pas en déduire qu'il y en a "autant" (qu'il y a autant d'entiers pairs que d'entiers, qu'il y a autant de points dans un segment que dans une droite), on peut juste en déduire qu'un ensemble est le transformé de l'autre (c'est ce qu'on a fait). Le "autant" n'a pas de signification dans les ensembles infinis (à part par ce biais arbitraire justement).

D'autant que la bijection me paraît arbitraire à un autre titre : deux ensembles peuvent mis en bijection par tout un tas de bijections différentes (par exemple R et ]3,4[).

J'ai l'impression que, encore une fois, c'est nous-même qui créons les conditions de notre propre paradoxe.

Donc, finalement le procédé de Cantor (au risque de me ridiculiser, je crois que c'est lui qui a eu l'idée de mettre en bijection les ensembles pour classifier les ensembles infinis) me paraît assez arbitraire (sa solution, bien que géniale, est une parmi d'autres), et l'idée du Matheux Philosophe pas mauvaise du tout. Autrement dit, on peut (certainement, peut-être, ... je ne sais pas) exploiter d'autres procédés pour classer les ensembles infinis ...

Robot

Re: question

par Robot » 18 Fév 2016, 00:55

Encore de l'humour ?
Pas très drôle, alors ...

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Re: question

par Pseuda » 18 Fév 2016, 00:57

Supprimé
Modifié en dernier par Pseuda le 18 Fév 2016, 01:26, modifié 1 fois.

Robot

Re: question

par Robot » 18 Fév 2016, 01:10

Alors c'est affligeant.

 

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