Question

[beagle]

Prenons l'exemple de la droite,
un petit segment AA',
ben le plus petit des petits segments sera pour moi AA de dimension zéro
et les très petits segments AA' lorsqu'on va vers l'infiniment petit,
ben en maths à la différence de la physique, c'est vraiment du relatif,
les segments infiniment petit je peux tous les zoomer , ils apparaissent en très grand sur ma feuille A4 une fois zoomés,
et je peux les redécouper, and so on,
donc je ne sais vraiment pas où sera l'infiniment petit pour un segment,
????

Plus petit que toute mesure possible c'est de la physique, pas des maths ...pour le langage commun?

[beagle]

L'infiniment petit existe: la définition se trouve dans le Larousse. Un élève de maternelle qui sait lire, la trouve.
J'ai donné l'exemple d'un élève; qui a neuf ans à l'entrée en 6ème et connaissant l'infini, dès sa classe primaire.
Il sait se qu'est l'infiniment petit, car il a réclamé des cours de sciences physiques pour animer les expériences.
Pour les gamins, chaque chose et chacun peut déjà engendrer un infini : la vérité sort de la bouche des enfants.

Je sais lire et j'ai pas trouvé la définition du Larousse.
Un élève de maternelle qui sait lire c'st déjà un élève précoce, donc c'est pas le commun des enfants mortels.
Et tu parles de l'infiniment petit de la physique.

[Pseuda]

L'infiniment petit existe: la définition se trouve dans le Larousse. Un élève de maternelle qui sait lire, la trouve.
J'ai donné l'exemple d'un élève; qui a neuf ans à l'entrée en 6ème et connaissant l'infini, dès sa classe primaire.
Il sait se qu'est l'infiniment petit, car il a réclamé des cours de sciences physiques pour animer les expériences.
Pour les gamins, chaque chose et chacun peut déjà engendrer un infini : la vérité sort de la bouche des enfants.

Je sais lire et j'ai pas trouvé la définition du Larousse.
Un élève de maternelle qui sait lire c'st déjà un élève précoce, donc c'est pas le commun des enfants mortels.
Et tu parles de l'infiniment petit de la physique.

Voilà :

http://www.larousse.fr/dictionnaires/fr ... tit#180055 :
L'infiniment petit, l'infiniment grand, ce qui peut toujours être plus petit ou plus grand qu'une quantité donnée.

http://www.cnrtl.fr/definition/infiniment:
Définition du CNRS (CNRTL, Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales) :
2. MATH., PHYS., BIOL. [En parlant d'éléments, de concepts mesurables]
− Infiniment petit. Plus petit que toute quantité donnée, et dont la limite est zéro, concept auquel on parvient ,,en imaginant une quantité fonction d'une variable et qui décroît infiniment sans jamais s'annuler, mais en devenant plus petite que tout nombre arbitraire fixé, à mesure que la variable tend vers une certaine valeur`` (Uv.-Chapman 1956). Un courant électrique infiniment petit; un angle infiniment petit. Maintenant supposons que ce volume devienne infiniment petit dans ses trois dimensions (Poisson,Mécan. t. 1,1811,p. 168)Infiniment grand. ,,Plus grand que toute quantité donnée. − Ne se dit que des grandeurs considérées comme variables, et même plus spécialement d'un nombre qui s'accroît indéfiniment. − On ne dit pas usuellement de l'espace qu'il est « infiniment grand », mais qu'il est infini`` (Lal. 1968). On dit qu'une quantité infiniment grande tend vers l'infini (→ ∞)

Pourquoi se voiler la face ? Cette notion d'infiniment petit et grand est dans toutes les têtes (ou presque ), dans les dictionnaires, reconnus par les scientifiques... Que faut-il de plus ?

C'est avec des affirmations comme "l'infiniment petit n'existe pas en mathématiques" que l'on commet de grands dégâts. C'est comme d'avoir voulu imposer l'esperanto, c'était voué à l'échec dès le début, il n'y a pu y avoir que des esprits illuminés, ou idiots, pour penser que cela pouvait s'imposer. Ou alors, il faut la contrainte, avec tous les dégâts qu'on peut imaginer....

[beagle]

Bon alors je vais essayer de repréciser ce que j'ai en tète.
L'infiniment petit ou grand comme valeur, je ne sais pas ce que c 'est.
Donc si on reprend l'exemple donné par Ben314 : f(x) = + infini c'est cela qui est un raccourci génant
f(x) prend ses valeurs dans IR, le + infini n'est pas un élément de IR.
L'infiniment petit ou grand comme notion, comme définition, comme action on va vers ...alors oui d'acc.

Bon alors au final pour moi , oui et non.
Cela dépend de quoi on parle.
Et sur le débat pour l'enseignement entre Ben314 et Pseuda, pas d'opinion sur ce sujet je suis à l'écoute.

[Pseuda]

"Wikipedia : Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. »."

Ben moi je comprends pas ça,
je ne suis pas commun, pas courant.

Eh bien oui, l'infiniment petit et grand, ce n'est pas quelque chose de facile à comprendre, et même impossible (je l'ai dit plus haut) pour les humains. Ce n'est pas pour autant que cela n'existe pas : on essaye de trouver la définition la moins mauvaise possible. C'est quelque chose que l'on perçois, mais qu'on ne comprend pas. Mais c'est en même temps bien utile en mathématiques (par exemple, pour calculer des longueurs courbes ... ), et en physique.

[beagle]

" un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. "

moyen de mesure, je trouve que c'est une notion de physique, pas de maths,
m'enfin je me trompe peut-être,

[Ben314]

...que l'on peut prolonger autant que l'on le souhaite des 2 côtés....

Et je te répète que, a moins de toujours pas avoir compris qu'en math l'ordre des quantificateurs était extrêmement importante, le fait de "pouvoir aller toujours plus loin" n'est pas celui d'infini. Pour Leibnitz, le dx, on ne pouvait pas aller "plus loin" donc son dx, c'est exactement le contraire d'un truc qui dirait "qu'on peut faire toujours plus petit".
Idem avec la définition "en français" qui dit au fond "qu'on ne peut pas descendre plus bas" donc le contraire de "on peut descendre autant qu'on veut".

Dès lors, Ben314, ne vois-tu pas que c'est idiot de dire à des lycéens que l'infiniment petit n'existe pas en mathématiques, et que cela ne peut que les embrouiller ?

Tu fait CE QUE TU VEUT.
Moi, mes 30 ans d'expérience de l'enseignement de l'analyse à la fac (plus quelques années en Lycée) me font être totalement catégorique : ça emmène les étudiant a avoir un très très très mauvais point de vue sur ce qu'est une limite et ceux qui feront (même très peu) de maths un peu sérieuses ensuite s'en mordront les doigt.
Si tout les matheux (sans exceptions) on choisi d'adopter le point de vue de Cauchy et Weierstrass lorsque ce dernier est apparu, il y a sans doute une raison, non ?

Mais je le redit : tu fait comme tu le sent, et on en reparle dans 10 ans quand tes élèves auront (au moins pour un certain nombre d'entre eux) fait des études scientifiques : on verra ce qu'il pensent alors de ta méthode.

[beagle]

"un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. "

il ya là tout de même une grande différence de concept entre,
cet infiniment petit qui existe, tout truc non nul mais non mesurable existe

versus la notion d'infini vers le grand ou vers le petit où cet état n'existe pas puisque se prolongeant à l'infini
le fameux on peut toujours trouver plus petit ou plus grand.

PS: message ecrit avant de lire celui de Ben314, y avait du proche...

[syrac]

Beagle, si tu divises plusieurs fois en deux une "barre" de 8 atomes, la plus petite partie que tu obtiendras sera composée d'un seul atome, dont le "diamètre" n'est pas nul. La notion d' "infiniment petit qui tend vers zéro" est donc une vue de l'esprit d'un point de vue pratique, et ne peut exister qu'en mathématiques.

[beagle]

Beagle, si tu divises plusieurs fois en deux une "barre" de 8 atomes, la plus petite partie que tu obtiendras sera composée d'un seul atome, dont le "diamètre" n'est pas nul. La notion d' "infiniment petit qui tend vers zéro" est donc une vue de l'esprit d'un point de vue pratique, et ne peut exister qu'en mathématiques.

Vi, sauf que nous sommes sur un forum de maths, donc les réponses sont matheuses.
Et j'ai bien dit que je ne parlais personnellement pas du monde physique (je suis encore moins encombré de connaissances sur le sujet, donc ça craint la fission atomique si j'interviens sur ce sujet...).

[Pseuda]

...que l'on peut prolonger autant que l'on le souhaite des 2 côtés....

Et je te répète que, a moins de toujours pas avoir compris qu'en math l'ordre des quantificateurs était extrêmement importante, le fait de "pouvoir aller toujours plus loin" n'est pas celui d'infini. Pour Leibnitz, le dx, on ne pouvait pas aller "plus loin" donc son dx, c'est exactement le contraire d'un truc qui dirait "qu'on peut faire toujours plus petit".
Idem avec la définition "en français" qui dit au fond "qu'on ne peut pas descendre plus bas" donc le contraire de "on peut descendre autant qu'on veut".

??????? Tu ne te relis pas, ou bien tu le fais exprès ? Je ne sais pas si je vais finir par ou par .

Si tout les matheux (sans exceptions) on choisi d'adopter le point de vue de Cauchy et Weierstrass lorsque ce dernier est apparu, il y a sans doute une raison, non ?

??????? Bien sûr, mais ce n'est pas le sujet ! Tu ne comprends pas ça ? J'hésite entre , , , ou .

[Ben314]

Tu fait ce que tu veut.
J'aurais ma conscience pour moi, dans le sens que j'aurais essayé (en vain) de te dissuader de parler d'infiniment petit et d'infiniment grand à des Lycéens. C'est juste "un peu dommage" pour les élèves qui vont passer entre tes mains, mais ça, c'est ton problème.

Et ça sera ma dernière intervention sur ce fil.

[Pseuda]

"un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible.

il ya là tout de même une grande différence de concept entre,
cet infiniment petit qui existe, tout truc non nul mais non mesurable existe

versus la notion d'infini vers le grand ou vers le petit où cet état n'existe pas puisque se prolongeant à l'infini
le fameux on peut toujours trouver plus petit ou plus grand. "

Je suis d'accord avec toi. Cette définition de Wikipedia n'est pas bonne (aussi bien pour la définition de la limite, que pour l'idée qu'on se fait de l'infiniment petit), même donnée dans "le langage courant". Celle du CNRS (plus haut) est bien meilleure.

[Robot]

Tu fait ce que tu veut.

Bon, d'accord, il y a la réforme de l'orthographe, mais là tout de même ça pique les yeux.

[beagle]

Tu fait ce que tu veut.
J'aurais ma conscience pour moi, dans le sens que j'aurais essayé (en vain) de te dissuader de parler d'infiniment petit et d'infiniment grand à des Lycéens. C'est juste "un peu dommage" pour les élèves qui vont passer entre tes mains, mais ça, c'est ton problème.

Et ça sera ma dernière intervention sur ce fil.

avant-dernière?
Quelle confusion, quelle gène as-tu rencontré avec les élèves du supérieur ensuite avec une "telle notion en tète"?

[Ben314]

avant-dernière?

O.K., mais celle là, c'est la dernière.

Quelle confusion, quelle gène as-tu rencontré avec les élèves du supérieur ensuite avec une "telle notion en tète"?

Je l'ai (aussi...) déjà écrit : de penser que la limite de Un lorsque n tend vers l'infini, c'est, (même vaguement) un U_N où N est (vaguement) un illimité, ça incite plus que fortement à écrire que
pourquoi le N "infiniment grand" ne pourrait il pas, lui aussi, être soit pair, soit impair ?

Exactement la même chose au voisinage de 0 : si tu laisse (même un tant soit peu) penser que est (très approximativement) égal à un où est un infinitésimal, tu est certain de voir fleurir (encore plus que d'habitude) sur toutes les copies des avec zéro seconde passées par l'élève/étudiant pour se demander si une telle formule est valable ou pas (il est bien clair qu'on a besoin d'absolument aucune condition pour que ).
Et des énormités du même style, je pense pouvoir t'en donner... à la pelle...

De façon générale, tu peut être à peu prés certain que l'élève "de base", tout ce qu'il va en déduire, c'est que les limites, c'est des valeurs de la suite (ou de la fonction) en des "points bizarres"(i.e. des infiniment grand ou des infiniment petits) et donc que les règles de calculs sur les limites, c'est pas compliqué, c'est exactement les même que celles sur les réels "usuels".
Là, c'est le "Jackpot" (i.e. pour "redresser la barre" ensuite, ben va y avoir du boulot...)

[Robot]

... si tu laisse ... tu est certain ... tu peut être à peu prés certain ..

Ben, tu le fais exprès ?

[Ben314]

Faudrait effectivement que je songe à arrêter la tutoiement qui, clairement, ne me réussi pas trop...

(celle là, elle compte évidement pas... )

[beagle]

avant-dernière?

O.K., mais celle là, c'est la dernière.

Quelle confusion, quelle gène as-tu rencontré avec les élèves du supérieur ensuite avec une "telle notion en tète"?

Je l'ai (aussi...) déjà écrit : de penser que la limite de Un lorsque n tend vers l'infini, c'est, (même vaguement) un U_N où N est (vaguement) un illimité, ça incite plus que fortement à écrire que
pourquoi le N "infiniment grand" ne pourrait il pas, lui aussi, être soit pair, soit impair ?

Exactement la même chose au voisinage de 0 : si tu laisse (même un tant soit peu) penser que est (très approximativement) égal à un où est un infinitésimal, tu est certain de voir fleurir (encore plus que d'habitude) sur toutes les copies des avec zéro seconde passées par l'élève/étudiant pour se demander si une telle formule est valable ou pas (il est bien clair qu'on a besoin d'absolument aucune condition pour que ).
Et des énormités du même style, je pense pouvoir t'en donner... à la pelle...

De façon générale, tu peut être à peu prés certain que l'élève "de base", tout ce qu'il va en déduire, c'est que les limites, c'est des valeurs de la suite (ou de la fonction) en des "points bizarres"(i.e. des infiniment grand ou des infiniment petits) et donc que les règles de calculs sur les limites, c'est pas compliqué, c'est exactement les même que celles sur les réels "usuels".
Là, c'est le "Jackpot" (i.e. pour "redresser la barre" ensuite, ben va y avoir du boulot...)[/quote]

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OK, merci Ben 314, c'est très intéressant.
Et même cela éclaire le fil ces erreurs.
Tiens voilà un bon sujet de problème: un énoncé avec sa question ,
mais la question posée, demandée, serait, quelles erreurs auriez-vous pu faire dans la résolution; de quelles erreurs vos camarades seraient-ils capables.

[Pseuda]

Quelle confusion, quelle gène as-tu rencontré avec les élèves du supérieur ensuite avec une "telle notion en tète"?

Je l'ai (aussi...) déjà écrit : de penser que la limite de Un lorsque n tend vers l'infini, c'est, (même vaguement) un U_N où N est (vaguement) un illimité, ça incite plus que fortement à écrire que
pourquoi le N "infiniment grand" ne pourrait il pas, lui aussi, être soit pair, soit impair ?

Exactement la même chose au voisinage de 0 : si tu laisse (même un tant soit peu) penser que est (très approximativement) égal à un où est un infinitésimal, tu est certain de voir fleurir (encore plus que d'habitude) sur toutes les copies des avec zéro seconde passées par l'élève/étudiant pour se demander si une telle formule est valable ou pas (il est bien clair qu'on a besoin d'absolument aucune condition pour que ).
Et des énormités du même style, je pense pouvoir t'en donner... à la pelle...

De façon générale, tu peut être à peu prés certain que l'élève "de base", tout ce qu'il va en déduire, c'est que les limites, c'est des valeurs de la suite (ou de la fonction) en des "points bizarres"(i.e. des infiniment grand ou des infiniment petits) et donc que les règles de calculs sur les limites, c'est pas compliqué, c'est exactement les même que celles sur les réels "usuels".
Là, c'est le "Jackpot" (i.e. pour "redresser la barre" ensuite, ben va y avoir du boulot...)

Les élèves ne peuvent se tromper que s'ils ont dans la tête que la limite de la suite (un) quand n-> +oo, c'est quelque chose comme uN, avec N un nombre infiniment grand, ou que la limite de f(x) quand x->0, c'est quelque chose comme f() avec un nombre infiniment petit.

Mais personne ne leur a mis une telle absurdité dans la tête. Ils ont bien conscience qu'un nombre infiniment petit ou grand, cela n'a aucune signification, cela ne veut rien dire.
Si les élèves appliquent les règles sur les limites, ils ne peuvent pas se tromper.

Il est d'ailleurs curieux de constater que 2 locutions aussi proches l'une de l'autre (un nombre infiniment petit, et un infiniment petit soit un nombre qui tend vers 0), ont des significations totalement contraires. Mais personne ne fait la confusion, en tout cas, pas à ma connaissance.

D'autant plus que les erreurs que tu cites, es-tu sûr qu'elles soient bien liées à l'emploi de l'expression "infiniment petit" ? Je n'en suis pas du tout persuadée. C'est un raccourci que les élèves affectionnent du genre (a+b)²=a²+b², parce que c'est plus simple pour eux.

Mais des confusions, il y en a plein dans le langage mathématique. Par exemple, "x est inférieur à 3", est-ce que c'est inférieur ou égal, inférieur strictement à 3 ? Est-ce qu'on s'interdit de parler de "supérieur" ou d'"inférieur" pour autant ?