Question

[Pseuda]

Alors c'est affligeant.

Un Robot, il suffit de tirer sur le fil, ça se débranche......

[Pseuda]

Pour PSEUDA.
Une définition souvent utilisé :
« un ensemble est infini si et seulement si il est en bijection avec une de ses parties propres ».

Une partie propre d'un ensemble A étant une partie de A différente de A.

[edit]
En disant des absurdités mathématiques, tu ne risques guère de te faire virer.
Mais de te ridiculiser, si.

Que voilà une jolie définition ! Décidément ce fil devient de plus en plus "passionnant", pour reprendre tes termes.
Quelqu'un s'est levé un matin et s'est dit : "Ah, définition : un ensemble est infini si et seulement si il est en bijection avec une de ses parties propres", l'a écrit dans un livre ou sur un tableau, et toi, comme un âne, tu t'es dit : "comme c'est joli, ça", et tu la répètes.
Si ce n'est pas une absurdité mathématique ça, je voudrais bien savoir ce que c'est.

Et la définition de ce qui est fini, c'est bien entendu : "un ensemble est fini si et seulement si il n'est pas en bijection avec une de ses parties propres".

Cette fois-ci, ne perdons pas notre temps, n'y passons 10 pages de fil, et prenons directement la définition du CNRS :
http://www.cnrtl.fr/lexicographie/infini
INFINI :Qui est sans bornes, illimité (dans l'espace et dans le temps).
MATH. Qui est plus grand, dont le nombre d'éléments est plus grand que tout nombre choisi.

Perso, je n'ai pas peur du ridicule (pas en maths), mais toi encore moins que moi visiblement.

Descends de ton nuage, ça plane trop haut là-haut. Ou au contraire, essaie de prendre un peu plus de recul. L'un ou l'autre.

[Ben314]

PSEUDA, Il faudrait quand même que tu te dise de temps en temps que, ce qu'on fait, c'est des mathématiques, et pas de la philosophie : il y a des définition extrêmement carrée de ce que l'on appelle une "preuve" et, avec cette définition, il faut 2 lignes pour montrer que, si un ensemble A ne peut pas être mis en bijection avec aucun ensemble fini, alors il peut être mis en bijection avec une de ces parties propres. C'est comme ça et c'est tout.
Et normalement, quand on a un minimum de jugeote, tout ce qu'on en déduit naïvement parlant, c'est que les ensembles infinis ne se comportent pas comme les ensembles finis et je vois pas trop ce qu'il y a de "paradoxal" derrière ça.
Trouve tu "paradoxal" que les diagonales d'un parallélogrammes n'aient pas la même longueurs alors que celle d'un carré ont la même longueur ?
A mon sens, c'est exactement pareil, on a une "classe" (les ensembles finis ou les carrés du plan) ayant certaines propriétés et une "surclasse" plus grosse (les ensembles quelconques ou les parallélogrammes) dans laquelle on a évidement perdu un certain nombre de propriétés de la classe de base. A mon sens, ça serait plutôt le contraire qui serait on ne peut plus surprenant, c'est à dire que si on n'avait rien perdu en étendant la classe, j'aurais trouvé ça "bluffant".

Et je reste persuadé (je l'ai déjà dit plusieurs fois) que pour trouver ce type de résultat "paradoxal", il faut avoir une idée extrêmement mauvaise de ce qu'est l'infini, à savoir de penser que c'est un truc "basique" ou "naturel" qui devrait se comporter de la même façon que les ensembles finis.
Ce type de constatation mathématiquement élémentaires (qu'un ensemble infini est en bijection avec une de ces parties propres) devrait plutôt te conduire à te dire que ce qui est "mauvais", c'est la vision que tu as de l'infini comme étant un truc "naturel" sensé en particulier vérifier les propriétés évidentes des ensembles finis.

Enfin, bref, je ne vois pas le début de la moitié d'un paradoxe concernant le fait que :
L'infini n'est pas fini => Il ne va sans doute pas vérifier tout les trucs usuels des ensembles fini.

[beagle]

"« un ensemble est infini si et seulement si il est en bijection avec une de ses parties propres »."

c'est pourtant une belle définition.
Est-ce que l'on peut avoir cela avec un ensemble fini?Réponse non.
Tiens donc il yaurait alors des ensembles autres que les finis , si vérifié...

Connais-t-on des exemples de cette bijection, ben oui justement tous ces fameux "paradoxes" liés à notre compréhension de l'inclusion,
les entiers pairs et les entiers
le segment et la droite
...
Ben moi loin de trouver que c'est un truc balancé un jour pour voir, je trouve ça bien éclairant, au contraire.

[beagle]

maintenant sur le fil de matheux philosophe, j'avais envie de le suivre sur une cardinalité différente si inclusion , sauf que à la question,
j'ai une cardinalité pour les entiers pairs plus faible que les entiers totaux, ok.Maintenant je bosse sur un autre ensemble, ce ne sont pas des nombres mais des lettres, ou des symboles comme des lettres., mais infinis.La question que je me pose est la suivante,
je sais mettre en correspondance terme à terme tous mes symboles avec les entiers totaux, oui mais je peux faire la même chose avec tous les entiers pairs, donc ce nouvel ensemble sur lequel je bosse, je fais quoi pour dire qu'il a la cardinalité de l'un ou de l'autre, je vais faire comment pour comparer des inclusions????
C'est bien la bijection qui décide et qui ici dit que je ne peux pas jouer à cela...Enfin ce n'est que mon petit avis...

PS: l'intérèt de la définition donnée par nuage, c'est justement de montrer que l'inclusion n' a plus les mèmes propriétés dans les ensembles infinis versus finis.Donc exit dès le départ cet obstacle à la compréhension de l'infini avec notre sens commun habituel ...

[Robot]

L'exemple premier de bijection d'un ensemble avec une partie propre est l'application successeur : qui est une bijection de l'ensemble des entiers naturels sur l'ensemble des entiers strictement positifs.
Cette application "successeur" est l'outil indispensable de la récurrence.
Soit par exemple un ensemble et une bijection de sur une partie propre de : il existe un élément de qui n'appartient pas à . On construit alors par récurrence une injection de dans , en posant et .

Quant au fil de "matheux philosophe", il ne s'agit pas de mathématiques.

[Sylviel]

Que voilà une jolie définition ! Décidément ce fil devient de plus en plus "passionnant", pour reprendre tes termes.
Quelqu'un s'est levé un matin et s'est dit : "Ah, définition : un ensemble est infini si et seulement si il est en bijection avec une de ses parties propres", l'a écrit dans un livre ou sur un tableau, et toi, comme un âne, tu t'es dit : "comme c'est joli, ça", et tu la répètes.
Si ce n'est pas une absurdité mathématique ça, je voudrais bien savoir ce que c'est.

J'ai tendance à croire que tu cherches à troller Pseuda... Ou a montrer que tu ne devrais retourner étudier les mathématiques plutôt que de les enseigner.

[nodgim]

En effet, un enseignant en math ne peut pas ignorer cette définition, et encore moins ne pas la comprendre.

[Pseuda]

PSEUDA, Il faudrait quand même que tu te dise de temps en temps que, ce qu'on fait, c'est des mathématiques, et pas de la philosophie : il y a des définition extrêmement carrée de ce que l'on appelle une "preuve" et, avec cette définition, il faut 2 lignes pour montrer que, si un ensemble A ne peut pas être mis en bijection avec aucun ensemble fini, alors il peut être mis en bijection avec une de ces parties propres. C'est comme ça et c'est tout.

Bonjour,

Encore faut-il avoir défini préalablement ce qu'est un ensemble fini. Et justement, on ne l'a pas encore fait, parce qu'on n'a pas encore défini ce qu'est un ensemble infini.

Bon je précise. En effet, je trouve cette définition idiote (énoncée comme cela à brûle-pourpoint) parce que :

1) Intuitivement, l'infini et les ensembles infinis pré-existent à la bijection (le sens commun...).

2) Mathématiquement, il faut construire une (ou des) transformation(s) avec une partie propre (laquelle ?) pour décider si un ensemble est fini ou infini.
Bon, il suffit de trouver une bijection. Mais rien ne dit que l'on puisse effectivement la trouver. Si on ne la trouve pas, l'ensemble est-il fini ou infini ? N'existe-t-il pas des ensembles infinis dont on ne puisse construire aucune bijection de ce type ? Et si on la trouve, cela ne se mord-il pas la queue ?
Et il faut faire intervenir un autre ensemble (la partie propre), qu'il faut déjà avoir défini / construit. Ce qui me gêne, c'est que cette partie propre dont on parle, elle est forcément infinie, mais on n'a pas encore défini ce qu'est une partie infinie.
Et il faut faire intervenir une transformation, soit un biais.
Rien ne dit non plus que cela caractérise les ensembles infinis. N'existe-t-il pas une espèce de no man's land d'ensembles qui vérifient cette propriété et qui ne sont pas pour autant infinis (au sens où on l'entend intuitivement) ?
Ce qui gêne aussi, c'est qu'on crée un paradoxe (avec la transformation, d'ailleurs autre que l'identité, parce que sinon ça ne marche pas) pour définir les ensembles infinis. Mais peut-être que l'infini est en lui-même paradoxal pour nous, et c'est pourquoi on ne peut pas le comprendre.

Bref, je rangerais cette définition plutôt au rang des propriétés. J'ai le sentiment qu'on définit quelque chose à partir d'une de ses propriétés, parce qu'on n'a pas trouvé mieux. Au moins, pour les entiers naturels, on ne se voile pas la face, on les pose en axiome. Et ce faisant, on définit bien l'infini ?

D'autres définitions me paraissent plus intuitives, comme la plus évidente de toutes : "ensemble infini = ensemble non fini". Et un ensemble fini tout le monde sait ce que c'est : dont on peut énumérer les éléments un par un et ça s'arrête (pour les ensembles infinis cela ne s'arrête pas : on peut toujours en trouver de nouveaux), on reste dans le même ensemble, et il n'y a pas de transformations.

Dès lors, il me semble que d'introduire la bijection pour définir les ensembles infinis, c'est une théorie, mais une théorie parmi d'autres... Il y en a peut-être d'autres ?

PS : Bon, ce sera là ma dernière intervention sur ce fil. On peut parler sans arrêt (indéfiniment, infiniment longtemps) de l'infini, sans arriver à se mettre d'accord, parce que justement ...........

[Ben314]

Encore faut-il avoir défini préalablement ce qu'est un ensemble fini.

Un ensemble fini est, par définition, un ensemble qui peut être mis en bijection avec un ensemble de la forme où (si ).
Et, bien évidement, il n'est pas utile d'avoir de définition de ce qu'est un ensemble infini pour définir ce qu'est une ensemble fini !

1) Intuitivement, l'infini et les ensembles infinis pré-existent à la bijection (le sens commun...).

bis et répéta : tant que tu t'obstineras à construire des phrases contenant simultanément les mots "intuitif" et "infini", tu sera extrêmement mal barré : LE truc à comprendre une bonne fois pour toute, c'est que les propriétés des ensembles infinis ne sont pas intuitives, et c'est tout.

Mais rien ne dit que l'on puisse effectivement la trouver. Si on ne la trouve pas, l'ensemble est-il fini ou infini ?

Visiblement, tu n'as rien compris aux bases même des maths : pour toi, le fait qu'on puisse démontrer que, en général (i.e. pour absolument n'importe quel ensemble) soit on peut le mettre en bijection avec un {1..n}, soit on peut le mettre en bijection avec une de ces parties propres, ça n'est pas une réponse définitive et sans ambiguïté a la question en question.
Il faudrait démontrer quoi de "mieux" pour que ça te convainque ?

N'existe-t-il pas des ensembles infinis dont on ne puisse construire aucune bijection de ce type ?

Bien sûr que non : on a la preuve qu'un tel ensemble n'existent pas (mais ça donne de plus en plus l'impression que, pour toi, une "preuve mathématique" ne... prouve rien...)

Ce qui me gêne, c'est que cette partie propre dont on parle, elle est forcément infinie, mais on n'a pas encore défini ce qu'est une partie infinie.

Et alors, qu'est ce que ça peut foutre : dans la définition en question "Un ensemble est infini lorsqu'il peut être mis en bijection avec une de ces partie propre", il n'y a évidement pas écrit "une partie propre infinie". Tu constate uniquement après coup qu'en fait elle doit forcément être infini.
C'est aussi stupide comme raisonnement que si tu afirmait que la définition "la racine de x>0 est l'unique réel y positif tel que y²=x" se "mord la queue" du fait que y²=x signifie en fait que y=sqrt(x). Certes, c'est bien ça que ça signifie, mais ce n'est (heureusement !!!!) pas écrit sous cette forme dans la définition.

Rien ne dit non plus que cela caractérise les ensembles infinis.

Ben, si, c'est un théorème (facile à montrer) qui dit exactement ça.

Mais peut-être que l'infini est en lui-même paradoxal pour nous, et c'est pourquoi on ne peut pas le comprendre.

Pour la 10em fois : ce n'est pas l'infini qui est paradoxal, c'est la vision naïve que tu en as qui est a jeter à la poubelle.

[Ben314]

Pour ta gouverne :

Théorème :Pour absolument n'importe quel ensemble A, une et une seule des deux propriétés suivantes est vérifiée :
1) Il existe tel que A soit en bijection avec {1..n}
2) Il existe une partie stricte B de A (i.e. ) telle que A soit en bijection avec B.

Remarque : le théorème en question ne contient aucune occurrence du mot "fini", ni du mot "infini".

Preuve : On suppose que A ne vérifie pas la propriété 1) et on va montrer qu'il vérifie la propriété 2).
- A est non vide car sinon, il vérifierais 1) avec n=0 donc il existe un certain .
- car sinon, il vérifierais 1) avec n=1 donc il existe un certain .
- car sinon, il vérifierais 1) avec n=2 donc il existe un certain .
- etc...
On construit ainsi par récurrence une suite d'éléments distincts de A et il est clair que l'application est une bijection de A sur la partie propre .

Le fait que l'on ne puisse pas avoir les deux proposition 1) et 2) simultanément résulte du résultat (un peu chiant à démontrer, ça se fait par récurrence) que, s'il existe une bijection de {1..n} sur {1..m} alors n=m.

[Sylviel]

1) Intuitivement, l'infini et les ensembles infinis pré-existent à la bijection (le sens commun...)

Ah bon ? Tu penses qu'il est plus naturel d'imaginer une quantité infinie, donc à qui on peut retirer ce que l'on veut sans changer sa valeur par exemple, que de comprendre qu'un code barre est associé à un et un seul produit du magasin ?

Pourtant on fait jouer des bébés de moins de deux ans avec la bijection (des cubes de forme carré, ronde, triangulaire à mettre dans les trous qui vont bien, ou des animaux à mettre dans les maisons adéquates, etc...)
Il faut attendre un bon moment pour expliquer que quand on s'approche d'un point infini la distance entre lui et nous n'a pas diminuée... Ou qu'il y a autant de nombre pair que de nombres entier. Même plus basiquement : les enfants de maternel / cp apprennent à compter "jusqu'à 20" "jusqu'à 70",... à quel moment comprennent-ils qu'il y a autant de nombre qu'on veut ?

Alors on se tourne vers la religion ou on trouve quelqu'un qui "peux tout faire". Mais alors : peut-il faire quelque chose qu'il ne peut défaire ?

[Ben314]

Et la compréhension qu'une bijection, c'est ça qui permet de "compter", il semblerais bien que ça date d'il y a environ 35 000 ans : https://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A2ton_de_comptage

Après, on peut effectivement, et à juste titre, se poser la question de savoir si l'Homo Sapiens-Sapiens du XXI siècle est "plus dégourdi" ou pas que celui d'il y a 35 000 ans, c'est à dire de savoir si un truc aussi con qu'un "bâton de comptage" fait ou pas parti "du sens commun" (comme tu dit) en 2016 (je ne m'étendrais pas sur la question...)

[Pseuda]

En fait, je me mets à la place du néophyte (déformation professionnelle je pense), et je me pose les questions qu’il pourrait se poser à l’énoncé de cette définition. La question est : pourquoi a-t-on été chercher cette définition tarabiscotée, emberlificotée (bijection, partie propre, une de ses, …) alors que la définition du CNRS est beaucoup plus intuitivement évidente ? Dans quel but ? Il doit bien y en avoir en, et Ben va me le dire.

Je suis bien évidemment d’accord qu’au final, les 2 définitions sont équivalentes, là n’est pas la question.
Mais quand même, et là, je ne suis pas d’accord avec toi, Sylviel, la notion d’ensemble infini vient bien avant la notion de bijection. Pour faire une bijection, il faut d’abord des ensembles, finis ou infinis, entre lesquels on établit une relation.

Ce que je trouve bête dans cette définition, c’est qu’on s’est dit « un ensemble fini ne peut pas être en bijection avec une partie stricte de lui-même ». Donc un ensemble infini, eh bien c’est le contraire…, et cela donne une définition bien compliquée, et réductrice dans son apparence.

Remarque 1 : ta définition et ta démonstration, Ben, ne comporte pas le mot « fini », mais c’est tout comme. Qu’est-ce un ensemble {1,…n} sinon ?

Remarque 2 : bijection et compter sont 2 choses bien différentes : dans « compter », il y a la notion sous-entendue que ce que l’on compte c’est fini, pas dans « bijection ».

[beagle]

Salut PSEUDA , tu pousses ton argumentation de départ du fil jusqu'au bout,
ce qui t'amène à t'opposer sur des trucs qui sont inutiles.
Il y a les concepts du commun des mortels et il y a les maths, dont les maths à enseigner.

La définition donnée par nuage , il l'a dit lui-même , c'est UNE définition.
Et elle me semble très intéressante pour apprendre les maths.
Lorsque des discussions surviennent sue ce forum sur l'infini, j'ai toujours lu Ben314 demander, définissez ce dont vous parlez et je vous dirai si je suis d'acc ou pas.
De même cela fait un moment que Ben314 raconte qu'il faut changer sa vision de propriétés comme l'inclusion dans les ensembles infinis.
C'est pourquoi j'ai bien aimé la définition mise en ligne par nuage.Car d'emblée on voit que l'inclusion a changé.Mais cela ne dit en rien que c'est la définition par laquelle on va commencer, pour qui quels élèves, quand?Personne n'a dit que c'était le premier rdv avec l'infini.

La notion de bijection , si le nom n'est pas appris en maternelle, est effectivement le point de départ de l'apprentissage de la cardinalité.Il y a 3 poupées comme mes trois doigts, tous les personnages ont une fleur, il y a 7 personnages 1,2,3,4,5,6,7 personnages, ben il ya 7 fleurs.C'est dès le début des apprentissages.

Tu peux ètre en divergence sur la manière d'apprendre à tes élèves telle ou telle notion,
quelle notion, pour quels élèves de quel niveau,...tu peux apporter tes arguments et ne pas ètre d'accord avec Ben314 ou d'autres...Mais pour autant ne prend pas tous les combats parce que au départ tu as été en opposition.Tu dois bien pouvoir ètre d'accord avec certains membres du forum sur les glaces à la vanille.

Que la paix soit avec toi!

[Pseuda]

La notion de bijection , si le nom n'est pas appris en maternelle, est effectivement le point de départ de l'apprentissage de la cardinalité.Il y a 3 poupées comme mes trois doigts, tous les personnages ont une fleur, il y a 7 personnages 1,2,3,4,5,6,7 personnages, ben il ya 7 fleurs.C'est dès le début des apprentissages.

Encore une fois, on apprend à compter à la maternelle dans des ensembles finis. Et là justement on emploie cette définition dans un ensemble infini................ . C'est pourtant pas dur à comprendre ça. Donc de toute évidence, la définition de bijection d'un ensemble infini dans un autre arrive après celle d'ensemble infini (puisqu'on y fait référence).

Cette discussion ne mène à rien, et je vais m'arrêter là....................................... (c'est mon but depuis le début de toute cette discussion, et croyez-moi ou non, je n'y arrive pas, comme une mouche qui bute sur une vitre, il faut sans cesse que j'y revienne).

[Robot]

Donc de toute évidence, la définition de bijection d'un ensemble infini dans un autre arrive après celle d'ensemble infini (puisqu'on y fait référence).

Ca, c'est du grand n'importe quoi (mais tu nous y as habitué).
La définition de bijection d'un ensemble quelconque sur un ensemble quelconque ne fait appel ni au fini, ni à l'infini !
Je te la rappelle, puisqu'il semble que tu l'ignores :
Soit une application. On dit que est une bijection quand pour tout , il existe un unique tel que .

[beagle]

bah oui et non,
on apprend une correspondance terme à terme
je prends un élément de A j'arrive sur un élément de B
et qs je les ai tous en relation un et un seul à chaque fois,
cela ne dit rien de fini ou pas fini,
cela sert à dire "autant"
après que l'on arrive à faire cela des nombres pairs vers les entiers, mais pas des nombres pairs ou des entiers vers du IR, ben cela dit des trucs ...
Ensuite on peut construire ce qu'on veut tant que cela reste cohérent et que cela permet d'avancer...
Ce qui n'est pas le cas actuellement de matheuxphilosophe qui part de l'inclusion pour en tirer des conclusions, pour le moment il n'a ni cohérence, ni avancées dans un domaine.
Le jour où cela sera le cas on dira , nous nous plaçons dans le cadre établi par matheuxphilosophe, ce qui nous permet de faire ...
Et moi je dirais j'étais sur maths forum à l'époque, c'était un tel bouillonnement d'idées, tout pouvait ètre possible...
enfin on se marrait bien que je dirai, Ben314 divisait les couleurs ...

[Ben314]

Remarque 2 : bijection et compter sont 2 choses bien différentes : dans « compter », il y a la notion sous-entendue que ce que l’on compte c’est fini, pas dans « bijection ».

Justement, ce qui a mon sens est extrêmement important dans la notion de "Bâton de comptage", c'est ce que dit Wiki dans sa première phrase :
Imaginons, un homme préhistorique... Il ne sait pas compter, mais...
Donc il ne sait absolument pas dire combien il a de mouton, ni combien il y a d'encoche sur le bâton, mais bien qu'il ne sache dire ni l'un ni l'autre, il sait qu'il y a autant des deux.
Et comment fait il pour savoir qu'il y en a "autant" alors que ce "autant" ne porte aucun nom dans sa langue ?
A mon sens, il le sait parce qu'il sait qu'à chaque mouton correspond une encoche et qu'à chaque encoche correspond un mouton. Bref, pour moi, le "bâton de comptage", c'est très très précisément la notion même de bijection qu'il y a derrière : arriver à "compter" des trucs sans savoir compter...

Et pour compléter le "très très précisément" ci dessus, je rajouterais que, pour les ensembles infinis, où on ne sait pas (à priori) comment nommer le "nombres d'éléments" qu'ils ont, cela n'empêche nullement, comme pour l'homme préhistorique, de se poser la question de savoir si deux ensembles infinis ont ou pas le "même nombre d'éléments".
La seule grosse différence, c'est qu'une fois la question posée, on se rend compte que la réponse est bien moins simple que dans le cas fini et qu'on a perdu un paquet de propriété "évidentes". Par exemple, dans le cas infini, s'il reste des encoches sur le bâton (théorique) alors que tout les moutons (théoriques) sont passées, ben ça prouve pas qu'il manque des moutons...

Enfin, bref, tout ça pour dire que, oui, "être en bijection" et "compter", c'est assez différent : le premier date du néolithique alors que le deuxième date (plus ou moins) des Babyloniens
Et la notion de bijection entre ensembles infinis, il me semble qu'elle date d'il y a un siècle (Cantor évidement...) Mais ça me parait tout de même très con de faire comme si cette notion de bijection n'avait pas pré-existé pendant des millénaire avec le même sous entendu "fini" que continue a avoir aujourd'hui le terme "compter".

[Ben314]

La question est : pourquoi a-t-on été chercher cette définition tarabiscotée, emberlificotée (bijection, partie propre, une de ses, …) alors que la définition du CNRS est beaucoup plus intuitivement évidente ? Dans quel but ? Il doit bien y en avoir en, et Ben va me le dire.

1) Déjà, pour moi, cette définition, elle est zéro "tarabiscotée", mais on ne peut plus naturelle : l'infini, c'est un truc qui, quand on lui enlève un élément, ben ça lui fait "même pas mal".
2) Ensuite, vu que les deux définition sont a peu prés de la même longueur (compte les lettres pour voir) c'est pas de ce coté là que je chercherais le "pourquoi" privilégier l'une des deux.
3) A mon sens, dans a peu prés n'importe quel bouquin sérieux où tu va trouver l'une des deux définition, tu aura juste en dessous le "théorème" (ou "la proposition" ou la "définition équivalente") correspondant a l'autre.
4) La définition "infini = non fini" a le mauvais gout d'être une définition "par la négation" très peu pratique à utiliser si on a que ça comme définition :
- Pour montrer que A est infini, il faut monter qu'on ne peut pas le mettre en bijection avec l'ensemble vide, ni avec un singleton, ni avec un doubleton, ni ... etc
- A priori, le premier truc qui vient a l'esprit pour démontrer un tel truc, c'est (évidement) une preuve par l'absurde et la plupart des matheux n'aiment pas ça (dommage que Léon ne soit plus là...)
5) La définition "infini = en bijection avec une partie stricte" a le bon gout de mettre immédiatement les choses au clair : dés la définition, on voit que l'infini, ben ça marche pas comme le fini, et a mon avis, c'est pas con de commencer directement par ça.

A titre de test, essaye de me faire une preuve parfaitement propre (*) du fait que N est infini en partant uniquement de la définition "infini=non fini".
(*) i.e. sans admettre des tas de trucs intuitifs concernant les ensembles finis, comme par exemple qu'il n'y a pas de bijection de {1..n} sur {1..m} lorsque n est différent de m ou des trucs du même style.