Question

[beagle]

Je suis cette discussion, et depuis le départ je ne comprenais pas ce qu'était cet infiniment grand.
Pourtant peu encombré de connaissances maths, Pseuda, je devrais le comprendre comme le sens commun dont tu parles.En fait , non, je ne voyais pas du tout.
Maintenant que vous l'exprimez avec une notion ensembliste, un élément x ou y qui appartient à IN ou à IR,
j'arrive à voir de quoi vous débattez.
Alors si cet infiniment grand n'est plus un élément d'un ensemble,
mais une, cette construction:" pour tout x il existe y, tel que ..."
si cette phrase mathématique décrit pour vous deux (tous ) l'infiniment grand, alors j'arrive à piger de quoi vous parlez (enfin c'est ce que je m'imagine) ...

[Pseuda]

Je suis cette discussion, et depuis le départ je ne comprenais pas ce qu'était cet infiniment grand.
Pourtant peu encombré de connaissances maths, Pseuda, je devrais le comprendre comme le sens commun dont tu parles.En fait , non, je ne voyais pas du tout.
Maintenant que vous l'exprimez avec une notion ensembliste, un élément x ou y qui appartient à IN ou à IR,
j'arrive à voir de quoi vous débattez.
Alors si cet infiniment grand n'est plus un élément d'un ensemble,
mais une, cette construction:" pour tout x il existe y, tel que ..."
si cette phrase mathématique décrit pour vous deux (tous ) l'infiniment grand, alors j'arrive à piger de quoi vous parlez (enfin c'est ce que je m'imagine) ...

Donc, toute cette discussion n'est, depuis le début, qu'un problème sémantique. Pour moi (et cela me paraissait une évidence pour tout le monde, du moins pour tous ceux que j'ai interrogés), "infiniment grand" en mathématiques veut dire : quelque soit un nombre y dans R, on peut lui trouver un nombre x dans R qui lui soit plus grand (on peut toujours à un nombre n lui rajouter 1, pour faire n+1 ; on apprend cela, si mes souvenirs sont bons, à la maternelle, et personne n'y trouve rien à redire).

Et on a créé (parce qu'on n'a pas pu le démontrer) cette notion d'"infiniment grand" en mathématiques, parce que cela fait partie de notre sens commun.

Mais pour toi Beagle, cela avait l'autre sens ? Merci de ton intervention.

[Ben314]

Je te propose de laisser tomber cette appellation, et de revenir à la définition de ce qu'est : + ?

Fastoche : , c'est un morceau de la notation qui, bien évidement, n'a pas de sens si on enlève le reste de la notation, pas plus qu'il ne faille chercher de sens à la suite de lettres HAM obtenue en partant du mot CHAMEAU et en enlevant la moitié des lettres.
Est ce que ça t'est déjà venu à l'esprit de te demander, dans la fonction notée cos, ce que représente le "o" pris tout seul ? Moi, non : je sais ce que signifie les 3 lettres lorsqu'elles sont accolées et c'est tout.
C'est exactement la même chose concernant (au niveau élémentaire) le statut du symbole ou des deux lettres : ce sont des des morceaux d'une notation, rien de plus.
Je rajouterais que, pédagogiquement parlant, je trouverais préférable qu'on utilise une notation du style qui ne contient pas le symbole = et qui incite un peu moins celui qui la lit à penser (a tort) que désigne un quelconque objet mathématique.

D'où vient qu'on s'autorise à dire que des suites ou des fonctions tendent vers + quand (par exemple) la variable tend vers + ?

Simplement du fait qu'on a une définition qui donne un sens à cette suite complète de mots (mais si on enlève la moitié des mots, ça ne correspond plus à rien : y compris en Français, le sens d'une phrase, c'est un tout et si tu enlève la moitié des mots, régulièrement, soit ça ne veut plus rien dire, soit ça veut dire tout autre chose)

Donc pour moi, l'"infiniment grand" existe en mathématiques

Les mots "il existe" ont non seulement un sens précis en math, mais il y a même un symbole spécifique dédié.
Donc (bis et répétita vu que tu n'a toujours pas répondu) ton il existe blablabla, si on l'écrit

Peut tu finir par m'expliquer quel est l'ensemble ? et ce que tu met dans les points de suspension.

Tant que tu ne répond pas à cette question, je ne vois vraiment pas comment on pourrait discuter un tant soit peut sérieusement du problème.
Tu n'est pas d'accord avec ça ? (i.e. pas de définition = pas de discutions possible)

[Ben314]

Alors si cet infiniment grand n'est plus un élément d'un ensemble,
mais une, cette construction:" pour tout x il existe y, tel que ..."

Moi je veut bien qu'on parte de la phrase pour dire que "il existe un infiniment grand", sauf que le seul de la phrase, il est placé derrière un : on a donc une existence relative (i.e. dépendant de x).
Alors, après, si effectivement vous tenez absolument à définir (avec un x en indice) comme étant (par exemple) égal à (i.e. un y>x), pourquoi pas, mais j'émet une certaine réserve quand à l'intérêt de la chose...

[beagle]

Alors si cet infiniment grand n'est plus un élément d'un ensemble,
mais une, cette construction:" pour tout x il existe y, tel que ..."

Moi je veut bien qu'on parte de la phrase pour dire "qu'il existe un infiniment grand", sauf que le seul de la phrase, il est placé derrière un : on a donc une existence relative (i.e. dépendant de x).
Alors, après, si effectivement vous tenez absolument à définir (avec un x en indice) comme étant (par exemple) égal à (i.e. un y>x), pourquoi pas, mais j'émet une certaine réserve quand à l'intérêt de la chose...

Perso je ne tiens à rien du tout dans cette affaire.
J'essaye de comprendre de quoi vous parlez.
Je ne comprends pas ce qu'est l'infiment grand si c'est un élément de IR,
donc le il existe de départ comme tu le dis, ça va pas
ensuite j'ai trouvé que comme tu le dis également, "l'ensemble de l'expression, pour tout x il existe y ..."
en tant que phrase complète, je trouve cela compréhensible, et vous sembliez d'acc sur cette phrase tous les deux.
Comme j'aime bien le tend vers infini plutôt que le = l'infini, vu que d'hab f(x) = un truc de IR, de mettre = +infini c'est vrai que cela comme si +infini était un élément de IR.

Ensuite sur ce que vous dites de préférable pour les élèves je n'ai pas d'opinion sur tout ce que vous avez dit sur l'ensemble du fil.

Je suis intervenu car en donnant une définition maths vous sembliez plus d'accord qu'en parlant français ...

[Ben314]

Sinon, j'avais pas vu ça :

Et on a créé (parce qu'on n'a pas pu le démontrer) cette notion d'"infiniment grand" en mathématiques, parce que cela fait partie de notre sens commun.

Avec lequel je suis zéro, zéro, zéro d'accord.
L'infini, a la limite tu peut en dire ce que tu veut, mais c'est très clairement tout sauf du "sens commun" : il n'y a absolument rien de concret qui soit infini.

[syrac]

Voici quelques extraits de cette page.

Le problème de la constitution de l’espace en points

Kant plaide en faveur de l’impossibilité d’un espace composé de points en raison de l’absurdité qu’implique la division à l’infini. En fait, Kant suppose que pour obtenir un point, il faudrait arriver au bout d’une opération de découpages successifs, à chaque fois en deux, de l’espace qui par définition est sans fin. Or, pour éviter ce problème, Russell conçoit à l’instar de Frege et de Cantor que « tout comme une classe infinie peut intégralement être donnée par le concept qui la définit, […] de même un groupe infini de points peut être donné intégralement comme formant une ligne, une aire ou un volume, quoiqu’ils ne puissent jamais être atteints par des divisions successives ».

Le rejet des infinitésimaux

Comme le suggère Leibniz, un infinitésimal serait une quantité d’espace ou de temps si petite qu’il n’en existerait pas une inférieure de sorte qu’il serait impossible de la diviser en deux quantités finies. Or, Russell rejette la possibilité en mathématique de manipuler des quantités infinitésimales, à savoir des quantités telles que « toute distance finie quelconque lui soit supérieure ». Selon Russell, l’erreur d’imagination menant à la croyance des infinitésimaux consiste à penser que, à la fin de l’opération de découpage en deux de l’espace et du temps, les distances et les périodes ne soient plus divisibles en quantités finies. De là, il existerait des quantités infiniment petites manipulables en mathématique. Or, Russell rappelle que la divisibilité infinie ne permet pas de conclure à l’existence d’un dernier terme dans une opération qui par définition est sans fin.

Russell explicite en ce sens l’erreur logique consistant à interpréter l’énoncé vrai « pour toute distance finie, il y a une distance inférieure » par l’énoncé faux « il existe une distance telle que, quelque distance finie que nous puissions choisir, elle lui est inférieure ». Du point de vue de la logique formelle, il s’agit là d’une inversion des quantificateurs universel et existentiel opérant dans la proposition. En effet, la proposition fausse veut faire dire « il existe une distance plus petite que toute distance finie », l’infinitésimal, alors que la proposition vraie veut dire « pour toutes distances, il existe une distance finie plus petite », ce qui implique l’impossibilité de l’infinitésimal. Par la méthode analytico-logique, Russell parvient donc à mettre de l’ordre dans la compréhension des infinitésimaux en vue de rejeter leur nécessité pour opérationnaliser le calcul infinitésimal.

En physique

Au début du XXe siècle, la physique se trouvait dans l'impossibilité d'expliquer divers phénomènes, dont le fait qu'un corps noir à l'équilibre thermodynamique est censé rayonner un flux infini. Ce problème fut résolu par l'introduction des quanta par Planck, ce qui forme la base de la physique quantique.

Je reprends la main : il me semble que le dernier paragraphe est caractéristique de l'impossibilité dans laquelle nous sommes de concevoir l'infini. Pour y remédier nous sommes contraints de le découper en petites quantités manipulables, auxquelles on est supposés pouvoir toujours en ajouter d'autres, ou encore pouvoir les diviser un peu plus. Il s'agit donc bien d'une limitation de l'esprit humain, contre laquelle il n'existe aucun remède.

[Ben314]

Concernant l'article en question, ça me rassure de voir qu'il y a des "penseurs" (dont Descartes) qui voient l'infini comme "faisant partie de notre sens commun" (pour reprendre la formulation de PSEUDA).
Pourquoi ça me rassure alors que je pense le contraire ?
Parce que à peu prés tous partent du principe que l'infini, c'est dieu et que dieu "fait parti du sens commun".
Or... je suis un misérable mécréant totalement athé...

[syrac]

Parce que à peu prés tous partent du principe que l'infini, c'est dieu et que dieu "fait parti du sens commun".

Associer Dieu à l'infini est une question de logique : si Dieu est le créateur de toutes choses il est nécessairement infini, parce que dans le cas contraire ça signifierait qu'il est borné par quelque chose qu'il n'a pas créé, ce qui amènerait une contradiction.

Si le découpage en parties est nécessaire dans le cas d'un processus continu considéré sous l'angle d'un ensemble d'éléments dont les propriétés peuvent varier d'une position ou d'un instant à l'autre, Dieu représente pour sa part un continuum dont les "propriétés" ne varient pas d'un lieu à l'autre, si bien que le découper en parties n'apporterait rien. Ce n'est pas le même infini que celui, par exemple, de l'ensemble des entiers.

Finalement, ce qui pose problème avec l'infini c'est peut-être tout simplement l'idée de pouvoir toujours lui ajouter quelque chose. La contradiction vient du fait que le "sens commun" nous dit qu'on ne peut rien ajouter à l'infini. Par contre, on peut ajouter quelque chose à un sous-ensemble des éléments dont il est formé, et ceci à l'infini.

[syrac]

[suite du précédent]

Je peux me tromper mais voici comment je vois les choses : pour reprendre l'exemple cité ci-dessus, quand on pose que f(x) tend vers +oo on entend par là qu'il existe des valeurs de f(x) qu'on ne peut pas calculer (les ordinateurs ayant une capacité de gestion des nombres limitée). Ses valeurs calculables forment donc un sous-ensemble de toutes les valeurs possibles de f(x), qui elles ne sont limitées par rien ; dans ce cas on peut sans défier le sens commun dire qu'il est toujours possible d'ajouter une valeur supplémentaire à f(x), puisqu'on fait référence non pas à un ensemble infini mais à un sous-ensemble fini de celui-ci.

[beagle]

[suite du précédent]

Je peux me tromper mais voici comment je vois les choses : pour reprendre l'exemple cité ci-dessus, quand on pose que f(x) tend vers +oo on entend par là qu'il existe des valeurs de f(x) qu'on ne peut pas calculer (les ordinateurs ayant une capacité de gestion des nombres limitée). Ses valeurs calculables forment donc un sous-ensemble de toutes les valeurs possibles de f(x), qui elles ne sont limitées par rien ; dans ce cas on peut sans défier le sens commun dire qu'il est toujours possible d'ajouter une valeur supplémentaire à f(x), puisqu'on fait référence non pas à un ensemble infini mais à un sous-ensemble fini de celui-ci.

Je ne vois pas bien la différence (si ce n'est que cela parait plus compliqué) avec le pour tout x il existe y tel que y sup x ...

[syrac]

Je ne vois pas bien la différence (si ce n'est que cela parait plus compliqué) avec le pour tout x il existe y tel que y sup x ...

L'assertion "pour tout x il existe une valeur de y supérieure à x" est vraie uniquement si x et y appartiennent tous deux à un ensemble de cardinal infini. Mais dans un ensemble fini elle est fausse.

Ce que je voulais dire ci-dessus est que si x et y sont des entiers naturels et si l'ensemble fini qui les contient est un sous-ensemble de N, alors il est vrai que y > x existe et qu'on peut toujours l'ajouter au sous-ensemble, et répéter l'opération un nombre infini de fois. Par contre, l'ensemble des entiers contenant tous les entiers, il est impossible de lui en ajouter un. Morale de l'histoire : l'idée d'ajout lorsqu'on fait référence à l'infini est une erreur.

[beagle]

Je ne vois pas bien la différence (si ce n'est que cela parait plus compliqué) avec le pour tout x il existe y tel que y sup x ...

... Par contre, l'ensemble des entiers contenant tous les entiers, il est impossible de lui en ajouter un. Morale de l'histoire : l'idée d'ajout lorsqu'on fait référence à l'infini est une erreur.

Bah aux nombres pairs je peux ajouter les impairs pour avoir un nouvel ensemble,
et aux entiers suffit de changer de couleur, aux entiers rouges je peux rajouter les entiers verts,
l'erreur c'est quoi?
de ne pas dire qu'on en a toujours autant?
mais on peut bien ajouter ou enlever des éléments ...

[Sylviel]

syrac et sa vision des maths...

[syrac]

Bah aux nombres pairs je peux ajouter les impairs pour avoir un nouvel ensemble,
et aux entiers suffit de changer de couleur, aux entiers rouges je peux rajouter les entiers verts,
l'erreur c'est quoi?

Si tu collectionnes les timbres émis par la Poste entre 1950 et 1960, et en supposant qu'ils soient au nombre de 20, le moment arrivera où ta collection contiendra les 20 timbres. Supposons d'autre part que tu les ais rangés dans une pochette qui contient exactement 20 emplacements ; il te sera alors impossible d'en ajouter un 21ème. C'est ce que j'entends quand je dis que si un ensemble contient déjà tous les éléments qu'il lui est possible de contenir on ne peut pas lui en ajouter un autre. Le seul moyen d'ajouter des timbres serait de répartir les 20 dans deux pochettes de même capacité que la première, par exemple 5 dans l'une et 15 dans l'autre. Ce que ces deux pochettes contiennent représente deux sous-ensembles du contenu de la pochette initiale. Maintenant, tu peux ajouter 15 timbres à la première ou 5 à la seconde. Ce que tu ne pouvais pas faire avec la pochette contenant les 20 timbres tu peux maintenant le faire avec les deux "sous-pochettes".

syrac et sa vision des maths...

L'idée tourne autour d'un objet auquel on pourrait ajouter indéfiniment quelque chose (ou diviser indéfiniment), ce qui est à la base de la notion d'infini.

[Pseuda]

Bonsoir,

Quelques définitions glanées sur internet sur la définition donnée à l'infiniment petit et l'infiniment grand :

- celles du sens commun (de l'homme de la rue, du profane, du lycéen, d'un étudiant en prépa, et même de certains mathématiciens) :

http://www.cnrtl.fr/definition/infiniment

http://dictionnaire.reverso.net/francai ... nt%20petit

https://fr.wiktionary.org/wiki/infiniment_grand

- celles de l'analyse mathématique :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Infiniment_petit

Tout cela pour ça........

[JaCQZz]

L'infini, a la limite tu peut en dire ce que tu veut, mais c'est très clairement tout sauf du "sens commun" : il n'y a absolument rien de concret qui soit infini.

Un parent : "qu'est-ce que c'est : l'infini ?". Un enfant, devant son jeu : "l'infini est un ensemble interminable".
Le parent : "çà veut dire quoi : interminable ?" L'enfant : "une quantité d'objets, comme des parts de tartes ou
des nombres qui ne finit pas". Le parent: "pourquoi, pas ?" L'enfant : "on ajoute un et on fait grandir l'ensemble".

[Pseuda]

Bonjour,

Dans les définitions d'infiniment petit et grand, nous avons simultanément :

Wiktionnaire : "L'idée serait que l'infiniment petit tendrait vers zéro et que l'infiniment grand tendrait vers l'infini."

Wikipedia : Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. ».

CNRS : Infiniment petit : Plus petit que toute quantité donnée, et dont la limite est zéro, concept auquel on parvient , en imaginant une quantité fonction d'une variable et qui décroît infiniment sans jamais s'annuler, mais en devenant plus petite que tout nombre arbitraire fixé, à mesure que la variable tend vers une certaine valeur`` (Uv.-Chapman 1956).

Wikipedia : En mathématiques (dans le paragraphe analyse mathématiques), le terme infiniment petit peut s'appliquer :
- à une quantité négligeable (dans le cadre d'une étude de fonction),
- à une notion historique de nombre infinitésimal, abandonnée par les élèves de Karl Weierstrass, qui donna un fondement rigoureux à la notion de limite,
-à un nombre hyperréel plus petit en valeur absolue que tout inverse d’un entier, dans le cadre de l'analyse non standard de Robinson,
-de façon plus classique, en analyse réelle, dans l'expression « infiniment petits équivalents ».

Ainsi, les 2 définitions co-existent (celle du sens commun, et celle de l'analyse mathématiques). C'est comme en droit, il y a des articles partiellement (voire complétement) contradictoires.

Quand le petit enfant sort de la maternelle en sachant compter jusqu'à 10 (100 pour les plus forts), il a déjà compris que cela ne s'arrête pas, ou du moins, il le comprend au CP-CE1 (je parle sous le couvert des professeurs des écoles). Il apprend la division à l'école primaire, et qu'une droite, c'est quelque chose qui ne s'arrête pas, que l'on peut prolonger autant que l'on le souhaite des 2 côtés. Ensuite au lycée quand il étudie en 2nde la fonction inverse, il apprend et comprend que 1/x devient de plus en plus petit quand x devient de plus en plus grand. Les vocables "infiniment petit" et "infiniment grand" qui font partie du langage courant, lui sont familiers (si non, d'où leur viendrait ce vocable au point que c'est la définition du wiktionnaire ?).

Dès lors, Ben314, ne vois-tu pas que c'est idiot de dire à des lycéens que l'infiniment petit n'existe pas en mathématiques, et que cela ne peut que les embrouiller ?

[JaCQZz]

L'infiniment petit existe: la définition se trouve dans le Larousse. Un élève de maternelle qui sait lire, la trouve.
J'ai donné l'exemple d'un élève; qui a neuf ans à l'entrée en 6ème et connaissant l'infini, dès sa classe primaire.
Il sait se qu'est l'infiniment petit, car il a réclamé des cours de sciences physiques pour animer les expériences.
Pour les gamins, chaque chose et chacun peut déjà engendrer un infini : la vérité sort de la bouche des enfants.

[beagle]

"Wikipedia : Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. »."

Ben moi je comprends pas ça,
je ne suis pas commun, pas courant.