Question de sémantique

[Luc]

Bonjour,
J'ai vu hier, sur un autre forum, un nouveau mot : "fit".

Cela dépend du contexte, mais on parle fréquemment d'interpolation en analyse numérique lorsqu'il s'agit de "fit"ou d'ajustement.

[Dlzlogic]

Cela dépend du contexte, mais on parle fréquemment d'interpolation en analyse numérique lorsqu'il s'agit de "fit"ou d'ajustement.

Oui, mais je distinguerais 2 étapes différentes
1- la recherche de la fonction et le calcul de ses paramètres (régression ou ajustement)
2- l'utilisation du résultat (interpolation)

[Sylviel]

Effectivement, une fois n'est pas coutume mais je suis d'accord avec Dlzlogic. Pour moi l'interpolation c'est le calcul d'une approximation de la fonction à partir d'une regression faite au préalable.

[Luc]

Effectivement, une fois n'est pas coutume mais je suis d'accord avec Dlzlogic. Pour moi l'interpolation c'est le calcul d'une approximation de la fonction à partir d'une regression faite au préalable.

Je suis d'accord.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Il y a un nouveau mot qui mérite l'attention : indéterminé.
Dans le contexte mathématique, celui de ce forum, il veut dire "on sait pas" ou "tout est possible", mais pas "tout est bon".
Il est utilisé principalement dans le cas de résolution de système d'équations linéaires. Dans le cas général un tel système admet une solution.
Dans certains cas, il n'admet pas de solution, on dit qu'il est impossible.
Enfin dans certains cas il admet une infinité de solutions, mais l'une de ces solutions ne peut pas être considérée comme la solution du problème. L'adjectif "indéterminé" me semble approprié à cette situation, apparemment il n'est plus employé.
Ce n'est pas le même chose de dire "toutes les solutions sont passibles donc acceptables" et de dire "on n'a pas assez d'informations pour déterminer la solution".
Qu'en pensez-vous ?
La situation "impossible" peut se représenter par a/0 (où a est différent de 0)
La situation "indéterminé" peut se représenter par 0/0 ou 0=0.

[Nightmare]

Je n'ai personnellement jamais entendu le mot "indéterminé" pour des systèmes.

Je le vois bien chez les limites et les polynômes par contre, et il signifie comme son nom l'indique qu'il y a quelque chose d'indéterminé... Chez les limites, ça veut dire qu'on ne peut pas obtenir la limite directement, chez les polynômes, ça veut dire que l'entité X n'est pas déterminée, au sens où elle est amenée à être spécifiée selon le cadre dans lequel on travail (polynômes sur un corps, polynômes d'endomorphismes etc.)

[Dlzlogic]

Bon, merci pour ta réponse, c'est donc un mot abandonné. Dommage.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Indépendamment de l'oubli du terme "indéterminé", comment définit-on les solutions d'une équation ou d'un système d'équations dont le résultat amène à la relation 0=0 ou solution = 0/0 ?
On peut dire qu'il existe une infinité de solutions, mais en réalité aucune n'est solution de la relation proposée.
Donc, il n'existe pas de solution, étant donné la relation proposée.
Cette notion est très différente du cas d'impossibilité.
J'ai à l'esprit deux cas précis, soit une mesure unique d'une valeur, l'écart-type relatif à cette mesure est égal à 0/0, il est donc indéterminé. L'autre exemple est celui qui a provoqué cette question, il s'agit d'un système d'équations dans lequel deux équations sont identiques. Le système comporte bien N équations à N inconnues, pourtant on ne peut pas trouver la solution, puisqu'il y en a une infinité.
Quel expression emploie-t-on dans ce cas là ?
Ces systèmes d'équations se calculent souvent par l'informatique, comment repère-t-on le cas indéterminé ? Dans ce cas précis, la question est d'autant plus importante que la limite d'indétermination peut être très petite, donc si ce point n'est pas formellement et précisément étudié on peut trouver des résultats aberrants.
Je pense au cas très précis du changement de base où les points de référence seraient pratiquement alignés.
Merci d'avance.

[Luc]

Bonsoir,

Bonsoir,
Indépendamment de l'oubli du terme "indéterminé", comment définit-on les solutions d'une équation ou d'un système d'équations dont le résultat amène à la relation 0=0 ou solution = 0/0 ?

On ne définit pas les solutions d'une équation : on les calcule, on les détermine.
La relation 0=0 est vraie. Si une équation implique 0=0, on ne peut rien dire sur les solutions. En revanche si l'on a raisonné par équivalences logiques, alors l'ensemble des solutions est maximal, puisque l'équation est toujours vraie.

0/0 n'est pas une opération : on ne peut pas diviser par 0.

On peut dire qu'il existe une infinité de solutions, mais en réalité aucune n'est solution de la relation proposée.
Donc, il n'existe pas de solution, étant donné la relation proposée.

Tu parles de "relation" au lieu "d'équation".
Pourquoi dirait-on qu'il existe une infinité de solutions s'il n'en existe aucune? Je ne te suis pas.

Cette notion est très différente du cas d'impossibilité.

Quelle notion?
Et qu'appelles-tu cas d'impossibilité?

J'ai à l'esprit deux cas précis, soit une mesure unique d'une valeur, l'écart-type relatif à cette mesure est égal à 0/0, il est donc indéterminé.

En toute rigueur, l'écart-type serait égal à 0/0 s'il était défini. Donc il est indéfini (ou indéterminé).

L'autre exemple est celui qui a provoqué cette question, il s'agit d'un système d'équations dans lequel deux équations sont identiques. Le système comporte bien N équations à N inconnues, pourtant on ne peut pas trouver la solution, puisqu'il y en a une infinité.

Parfois, on peut trouver toutes les solutions d'une équation, même s'il y en a une infinité.
Par exemple, l'équation "", d'inconnue , admet une infinité de solutions mais on les connait toutes.

Je suppose que tu veux parler plus précisément du cas de N d'équations linéaires dont R sont indépendantes (on dit que le rang du système vaut R), à P inconnues, avec N <=P.

Quel expression emploie-t-on dans ce cas là ?

Les R premières inconnues sont appelées inconnues principales, les autres sont appelées inconnues auxiliaires.

Ces systèmes d'équations se calculent souvent par l'informatique, comment repère-t-on le cas indéterminé ? Dans ce cas précis, la question est d'autant plus importante que la limite d'indétermination peut être très petite, donc si ce point n'est pas formellement et précisément étudié on peut trouver des résultats aberrants.
Je pense au cas très précis du changement de base où les points de référence seraient pratiquement alignés.
Merci d'avance.

Ça c'est une question intéressante. Il y a de nombreux problèmes d'analyse numérique liées à la résolution des systèmes linéaires. On s'est rendu compte en effet de la forte dépendance des solutions au coefficients du système, dans certains cas, ce qui rendait des erreurs d'arrondis catastrophiques. La notion mathématique pertinente associée est celle de conditionnement d'une matrice.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Conditionnement_%28analyse_num%C3%A9rique%29

[Sylviel]

Je rejoins entière Luc (ayant eu la flemme de faire un message du même tonneau que le sien).

A une toute petite différence près sur la notion d'écart-type. Pour moi (et pour tout ceux qui ont suivi une formation de probabiliste / statisticien mathématique) l'écart-type est une notion probabiliste, et l'écart-type "d'une mesure" n'a pas vraiment de sens, ce que l'on entend par là c'est un estimateur de l'écart-type. Il en existe alors deux couramment utilisé (avec n ou n-1), mais ils ne prennent de sens que pour n grand (tous les résultats étant asymptotique).

Dans le monde de la statistique descriptive il se peut qu'une définition de la variance (ou de l'écart-type) d'une série de nombre soit largement reconnue (j'ai souvent entendu parler de variance avec le coefficent n, et de variance sans biais avec le coefficient n-1) mais il ne s'agit alors que d'une question de convention de langage.

[Dlzlogic]

Bonjour Luc,
Je sais, j'ai eu un peu de mal à trouver les mots exacts pour refléter la pensée.
J'essaye de recommencer, le sujet me parait important, et je ne suis pas sûr qu'une critique ligne à ligne des termes employés constitue vraiment une réponse.
Il est vrai, j'ai hésité entre les termes relation, équation et système d'équation. En effet, cette notion d'indétermination peut se révéler utile dans plusieurs contextes.
Pour simplifier, prenons le cas d'un système d'équation tel qu'il est défini ici :
http://www.maths-forum.com/systeme-parametre-130549.php
Dans ma terminologie, ce système est soit impossible, soit indéterminé.
Le qualification "indéterminé" n'est plus utilisé. Il a été dit que le système admet une infinité de solutions. On peut le comprendre comme "le système est bon, bien défini et il admet une infinité de solution. Pour continuer, adoptons x=1, y=2, z=3, t=4 . Tout va bien".
En réalité ce système est indéterminé, même si le nombre de solutions numériques possibles est infini, on ne peut pas dire " ce système admet une solution (que l'on pourra choisir parmi une infinité)".

Pour répondre à l'objection à propos de 0/0, c'est le résultat auquel on arrive en utilisant le déterminant et la méthode de Cramer. X=0/0 n'est pas "impossible" mais "indéterminé". C'est le but de mon message. Et dans le cas de calcul informatique, ça se manifeste par epsilon/epsilon.
De la même façon si le calcul des solutions mène à l'expression 0=0, on ne peut pas dire "la relation est vraie" mais "le système est indéterminé".

Tu as employé de terme "indéfini", si c'est celui-là qui remplace "indéterminé", tout va bien, ce sur quoi je voulais insister c'est cette notion d'indétermination, différente de ad libitum, ou pire de "=0" utilisé dans le cas de l'écart-type avec une seule mesure, et différente de "impossible".

Je vais calculer le système proposé par Wiki. Je crains que cela confirme la validité de ma question.

[Dlzlogic]

Je n'ai pas vraiment compris là où l'article de Wiki veut en venir.
Il y est question de précision du résultat, choses à la quelle je suis très sensibilisé.
Mais à mon avis on mélange tout.
D'une part, il y a les éléments qui permettent de poser les équations. Ces éléments sont d'ordre physique et la précision qui s'y rattache est censée être connue par ailleurs. D'autre part, il y a la résolution d'un système, le mathématicien n'a pas à dire si ce système est bien ou mal conditionné. Il peut éventuellement donner la précision du résultat ou éventuellement une méthode d'évaluation de sa qualité, mais c'est tout.

Concernant les cas d'impossibilité ou d'indétermination, l'article n'en parle pas.

L'article sur le système de Cramer revoie au théorème de Rouché-Fontené, où il est aussi précisé que dans le cas qui nous intéresse "il y a une infinité de solutions". Donc, à l'évidence, cette notion de "système indéterminé" ou "valeur indéterminée" est issue de mon imagination. :stupid_in

[Luc]

Bonjour,

au contraire, une critique ligne à ligne est essentielle. En maths, les mots ont un sens précis, on ne peut pas intervertir des termes ou employer un mot pour un autre sans modifier complètement le sens de ce que l'on dit. De plus, il faut définir les termes que l'on utilise : par exemple, je n'ai toujours pas compris ce que tu appelais "cas d'impossibilité" ainsi que "indétermination", car tu ne les as pas définis. On ne peut pas définir des notions sur des exemples comme tu le fais, il faut les définir en général.

Il a été dit que le système admet une infinité de solutions. On peut le comprendre comme "le système est bon, bien défini et il admet une infinité de solution. Pour continuer, adoptons x=1, y=2, z=3, t=4 . Tout va bien".

C'est un système 3x3, je ne vois pas ce que viens faire t là-dedans. Le nombre de solutions dépend du paramètre a, en général il y aura une unique solution (x,y,z), ssi le déterminant du système est non nul. Si le déterminant du système est nul, il y a deux possibilités suivant la valeur du second membre: soit il n'y a aucune solution, soit il y en a une infinité. Dans l'exemple, la matrice du système est inversible si a est différent de -3 : dans ce cas là, il y a une unique solution. Si a=-3, on voit en remplaçant la troisième ligne (3) par 2*(1)+(2)+(3) que le système d'équations initial est équivalent au système formé par les deux premières équations et l'équation 0=9. Il n'y a donc aucune solution.
En revanche, si le second membre était (3;1;-7) ou (1;-1;-1) par exemple, il y aurait eu une infinité de solutions, paramétrées par z.

En réalité ce système est indéterminé, même si le nombre de solutions numériques possibles est infini, on ne peut pas dire " ce système admet une solution (que l'on pourra choisir parmi une infinité)".

Je suppose que tu te places dans le cas a=-3. Admettons que "système indéterminé" corresponde à "il y a une infinité de solutions". Ce qui d'ailleurs n'est pas le cas dans l'exemple, cf. plus haut. Je ne comprends pas ce que tu veux dire : si le système admet une infinité de solutions, alors il en admet au moins une, non?

Pour répondre à l'objection à propos de 0/0, c'est le résultat auquel on arrive en utilisant le déterminant et la méthode de Cramer.

Peux-tu écrire le calcul qui mène à ce résultat? Ce calcul est défini justement dans le cas où le déterminant n'est pas nul: on ne peut pas diviser par 0.

X=0/0 n'est pas "impossible" mais "indéterminé". C'est le but de mon message.

Etant donné que tu n'as pas donné de sens précis à ces deux termes, on peut tout à fait être d'accord avec toi... ou ne pas l'être.

Et dans le cas de calcul informatique, ça se manifeste par epsilon/epsilon.

Ce que tu dis est très vague mais tu soulèves un vrai problème, comme je l'ai dit dans mon message précédent. Si le déterminant d'une matrice est "presque nul" (ie de l'ordre de la précision de calcul), cela rend cette matrice difficile à inverser informatiquement. Ce problème est tout à fait lié à celui du conditionnement d'une matrice.

De la même façon si le calcul des solutions mène à l'expression 0=0, on ne peut pas dire "la relation est vraie" mais "le système est indéterminé".

Je vais me répéter : 0=0 est vraie. Ce n'est pas une relation mais une équation.
Si l'on a raisonné par implications, on ne peut rien en déduire.
Si l'on a raisonné par équivalences, on peut en déduire que le système est toujours vrai.

Tu as employé de terme "indéfini", si c'est celui-là qui remplace "indéterminé", tout va bien, ce sur quoi je voulais insister c'est cette notion d'indétermination, différente de ad libitum, ou pire de "=0" utilisé dans le cas de l'écart-type avec une seule mesure, et différente de "impossible".

Pourrais-tu proposer une définition de cette notion d'indétermination?

Je vais calculer le système proposé par Wiki. Je crains que cela confirme la validité de ma question.

Il s'agit du problème de conditionnement d'une matrice ou d'un système linéaire. Un système mal conditionné peut amplifier différents types d'erreurs numériques comme des erreurs d'arrondis.

[Luc]

Je n'ai pas vraiment compris là où l'article de Wiki veut en venir.
Il y est question de précision du résultat, choses à la quelle je suis très sensibilisé.
Mais à mon avis on mélange tout.
D'une part, il y a les éléments qui permettent de poser les équations. Ces éléments sont d'ordre physique et la précision qui s'y rattache est censée être connue par ailleurs. D'autre part, il y a la résolution d'un système.

En un sens, tu as raison : il y a deux types d'erreurs. L'erreur sur les coefficients du système, et l'erreur sur le second membre.

[Dlzlogic]

Bon, d'abord je fais partie de ceux qui essayent d'être rigoureux sur les termes, j'essaie d'écrire de façon qu'il n'y ai pas d'ambiguïté, mais j'y arrive pas toujours.
Si j'envisage tous les cas, toutes les hypothèses ce sera trop long, si j'essaye un peut de généralisation, j'aurai des réactions du genre "relation et équation, c'est différent", si j'essaye de me centrer sur un point unique (ex système), on va me dire "tu oublies ça".
Dans mon vocabulaire j'appelle "système impossible" un système dont l'essai de résolution amène à un résultat du genre a/0. En informatique, ce sera a/epsilon, avec epsilon très petit? Naturellement a est non nul.
J'appelle système indéterminé un système dont l'essai de résolution amène à un résultat du genre 0/0. En informatique ce sera e1/e2 où e1 et e2 sont très petits.

Le système proposé par Dante0 dans son sujet est un système 4x4. Les inconnues sont x,y,z,t avec un paramètre b. Je parle de celui-là proposé en 2nd exercice
du paramètre b.
2x+y -z +t=2
x+2y+z -t=0
x-y-2z+2t=2
2x+4y+2z-2t=b
[Fausse manip, je continue]

[Dlzlogic]

Toute la question repose sur cette notion d'indétermination.
Un système n x n est une unité indissociable. Dans le cas général, il peut se transformer en x=qqch ; y= qqch; etc.
Il existe plusieurs méthodes pour y arriver.
La méthode de Cramer a l'intérêt pédagogique que on peut toujours faire cette transformation de façon à arriver à la forme suivante
x = A /DC ; j'appelle DC (dénominateur commun) le déterminant calculé avec les paramètres des inconnues (à gauche).
La valeur A est le déterminant en remplaçant les paramètres de l'inconnue x par le vecteur de droite.
Respectivement y = B/DC etc.
C'est là qu'intervient la discussion.
Si DC est non nul, le système a une solution.
Si DC est nul :
soit A est non nul, alors le système est impossible au sens mathématique du terme
soit A est nul, alors le système est indéterminé, c'est à dire qu'il ne sert à rien, il manque des informations, ou plutôt, comme de nombre d'équations est correct, deux équations au moins impliquent une autre, le nombre de solutions est infini, mais aucune n'est bonne, c'est à dire aucune ne correspond à la solution cherchée.

Quant à la disposition de système mal conditionné, c'est tout de même très subjectif, puisque les paramètres tant à droite qu'à gauche sont issus en général d'un même ensemble de valeurs numériques.

[Dlzlogic]

En un sens, tu as raison : il y a deux types d'erreurs. L'erreur sur les coefficients du système, et l'erreur sur le second membre.

J'ai un peu de mal à comprendre cette notion de second membre.
Dans le cas où j'utilise un tel système, les valeurs du second membre résultent d'opérations faites avec les mêmes valeurs que pour obtenir les paramètres des inconnues, ce sont des choses du genre somme(X.Y) ou somme (X²) etc.
On ne peut pas distinguer, concernant la précision, ceux qui sont à gauche et ceux qui sont à droite.

[Sylviel]

soit A est nul, alors le système est indéterminé, c'est à dire qu'il ne sert à rien, il manque des informations, ou plutôt, comme de nombre d'équations est correct, deux équations au moins impliquent une autre, le nombre de solutions est infini, mais aucune n'est bonne, c'est à dire aucune ne correspond à la solution cherchée.

je revient sur 'aucune ne correspond à la solution cherchée'. Je suis désolé mais cela n'a pas de sens d'un point de vue mathématique. Ou alors tu fais des hypothèses implicite supplémentaires.

Cependant un système du type :
x-y=0
y-z=0
z-x=0

peut très bien apparaître dans une étude, et il a bien une infinité de solution (de la forme x=y=z), qui forme un droite de l'espace. Au nom de quoi y aurait-il 'la solution cherchée' ??? Il y en a une infinité. Parfois une seule nous suffit pour continuer la reflexion, parfois il faut considérer l'ensemble des solutions.

Ce que tu appelles système 'indéterminé' est donc un système qui admet une infinité de solution. L'affirmation 'qui ne sers à rien' est parfaitement fausse. Exemple :
y = ax+b.
Voici un système admettant une infinité de solution, et j'espère ne pas avoir besoin de démontrer son utilité... De manière générale un système du type AX=b (A étant une matrice, X et b des vecteurs) décrit un espace affine. Il peut être réduit à un point dans le cas où A est inversible, ou avoir une dimension supérieure dans d'autres cas. Au nom de quoi ces cas serait-ils inintéressants ?

[Luc]

Dans mon vocabulaire j'appelle "système impossible" un système dont l'essai de résolution amène à un résultat du genre a/0. En informatique, ce sera a/epsilon, avec epsilon très petit? Naturellement a est non nul.
J'appelle système indéterminé un système dont l'essai de résolution amène à un résultat du genre 0/0. En informatique ce sera e1/e2 où e1 et e2 sont très petits.

On avance petit à petit vers des définitions à peu près bien formulées, mais pour l'instant ce n'est toujours pas le cas. "un résultat du genre a/0" n'a pas beaucoup de sens mathématique. Et "système impossible" a déjà un sens mathématique, à savoir "système dont l'ensemble des solutions est vide".

Ce que tu veux dire c'est qu'étant donné une matrice carrée de taille nxn A, le système AX=B est impossible si det(A)=0 et que B n'est pas dans l'image de l'application linéaire de R^n dans R^n définie par f(X)=AX.

Et que le système est indéterminé si det(A)=0 et B est dans l'image de l'application linéaire de R^n dans R^n définie par f(X)=AX.

L'ensemble des solutions de AX=B est alors un espace affine de direction ker(f). Les solutions de AX=B sont "indéterminées" au sens où elles sont définies à un élément de ker(f) près.

Les formules de Cramer que tu cites ne sont valables que dans le cas où A est inversible, et leur prolongement à toute matrice A n'est pas justifié sans des arguments assez profonds (du type densité des matrices inversibles + continuité d'une fraction rationnelle). Surtout qu'il y a beaucoup plus simple pour étudier le cas où A n'est pas inversible. Sur le cas d'indétermination dont tu parles, je te renvoie au post de Sylviel.

En ce qui concerne le conditionnement, je ne vois pas où est la subjectivité, c'est une définition mathématique qui ne dépend absolument pas d'où proviennent les valeurs numériques des coefficients : tu confonds les objets mathématiques et les objets physiques qu'ils décrivent.

Le second membre, c'est ce qu'il y a à droite du signe = dans l'équation matricielle AX=B.

[Dlzlogic]

Je pense qu'il y a erreur sur ce dont on parle.
Sylviel et Luc parlent d'application, représentée par une matrice.
Je parle d'équation, je ne pense pas avoir parlé de matrice.
Une matrice est une représentation mathématique d'une application. Il ne s'agit pas de cela ici. Par contre rien n'interdit d'utiliser la forme matricielle et les outils que cela apporte pour sa résolution, et rien ne m'interdit de ne pas employer cette méthode.
Il me semble que l'on ne peut pas me contredire lorsque je dit " résoudre une équation, c'est trouver les valeurs des inconnues qui satisfont cette équation". Un exemple simple est l'équation de second degré, il peut y avoir 0 solution (dans R), 1 solution double ou 2 solutions distinctes.
Y aurait-il une ambiguïté sur la signification de "résoudre une équation" ?

Lorsqu'on écrit une équation, ou un système d'équation, le seule intérêt est de trouver un moyen d'écrire les différents paramètres et les différentes inconnues sous une forme utilisable, et ensuite on utilise les outils connus (substitution, changement de base, pivot etc.) pour calculer la valeur des inconnues.

Dans la pratique, un système un peu grand sera résolu par des moyens informatiques. Il n'y a alors que 3 issues possibles : les valeurs numériques des inconnues, l'information que le système est impossible, en ce cas il faut supposer une faute, l'information que le système est indéterminé, cela signifie que certaines informations sont répétées, donc il n'y a pas autant d'équation que d'inconnues, on ne peut donc pas résoudre le système.
En fait je pose la question : que faire, à part préciser que le système est indéterminé, dans un algorithme de résolution d'un système d'équation.
La comparaison avec un espace vectoriel à n dimensions est intéressante, mais ce ne peut être qu'une comparaison.
Il me parait évident que ce problème ne concerne pas les mathématiques fondamentales, mais leur utilisation pour un problème physique.
J'ai cité l'exemple du calcul d'une transformation affine où les points de calage sont (trop) alignés.

Pour expliquer le sens de mes propos, il y a 2 étapes successives bien distinctes
1- établir la ou les équations, naturellement le plus difficile
2- résoudre le système obtenu. Cette seconde étape n'est que du calcul numérique.

On évitera l'objection : système linéaire ou pas.
J'ai cité Cramer uniquement pour l'aspect pédagogique.
J'ai l'impression qu'ici, on attache plus d'importance à la méthode qu'au but recherché.
Je viens de re-relire les 2 réponses.
Le résultat est inintéressant parce que les valeurs des inconnue DOIVENT être utilisées comme paramètre dans des formules. Donc, on n'est pas plus avancé qu'avant.
Concernant le conditionnement, c'est au moment d'écrire le système qu'on se pose la question de précision. Une fois le système écrit, il ne reste plus qu'à le résoudre, sans se poser de question.
Mais je cherche à convaincre personne, j'ai remarqué que ce terme "indéterminé" n'était plus employé que dans le cadre de dérivées et autres, c'est dommage.