Question de sémantique

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai pas trop compris.
Par contre, je répondrai à la question, une surface gauche est une surface qui n'est pas plane.
Par contre, mon exemple résultait du simple fait que je voulais clarifier le sens du mot "fonction".
Je n'ai pas compris non plus pourquoi on parle d'inconnues. Une inconnue est un terme dont la valeur n'est pas connue, contrairement aux paramètres, dans une équation. Sous certaines conditions, on peut résoudre l'équation et trouver la valeur de l'inconnue. Dans le cas de fonctions, on parle plutôt de variables.

[Skullkid]

Le problème se pose (de nouveau) pour la signification de l'expression "transformation affine".

Je tiens à préciser que comme souvent, le problème n'en est probablement un que pour toi...

Excluons tout cas particulier qui fait introduire un élément neutre.

C'est quoi un élément neutre pour toi ? Un point invariant ? Pourquoi son existence est un cas particulier à éviter ?

1- Comment appelle-t-on la transformation de R* dans R* produit d'une translation, d'une homothétie et d'une rotation ?
2- Comment appelle-t-on la transformation de R* dans R* produit d'une translation, d'une homothétie, d'une rotation et d'une affinité ?

R* ça désigne universellement l'ensemble des réels non nuls, donc ici tu parles ni plus ni moins que de fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles (autrement dit, ce ne sont pas des transformations du plan). Ensuite, les mots "translation", "homothétie", "rotation" et "affinité" désignent des transformations (des fonctions quoi) qui s'appliquent sur des ensembles qui ont au moins la structure d'espace vectoriel ou affine. R* ne possède pas une telle structure pour les lois usuelles, donc, pour toi qui es le défenseur de la rigueur bafouée, si tu veux être strictement rigoureux ça n'a pas de sens de parler d'une transformation affine sur R* (on peut en revanche parler de la restriction d'une transformation affine sur R à R*).

Une fois qu'on a dit ça, on peut revenir à tes questions en remplaçant R* par un ensemble qui a la bonne structure. Si on prend la structure usuelle de R (vectoriel euclidien orienté) :

- Les homothéties vectorielles (= de centre 0) de R dans R sont les fonctions x -> ax avec a un réel quelconque.
- Les homothéties affines (= de centre quelconque) de R dans R sont les fonctions x -> b + a(x-b) avec a et b des réels quelconques.
- Les translations de R dans R sont les fonctions x -> x + b avec b un réel quelconque.
- Les rotations vectorielles (= de centre 0) de R dans R sont les fonctions x -> ax avec a un réel tel que |a| = 1.
- Les rotations affines (= de centre quelconque) de R dans R sont les fonctions x -> b + a(x-b) avec b un réel quelconque et a un réel tel que |a| = 1.
- Les affinités de R dans R sont les fonctions x -> ax avec a un réel quelconque.
- Les transformations linéaires de R dans R sont les fonctions x -> ax avec a un réel quelconque.
- Les transformations affines de R dans R sont les fonctions x -> ax + b avec a et b des réels quelconques.

Dans le cas général où l'on se place entre deux espaces affines quelconques, je ne crois pas (à vérifier) qu'il y ait de nom particulier pour les composées du type translation-homothétie-rotation ou translation-homothétie-rotation-affinité. Dans tous les cas, ce sont des transformations affines.

Il a été précisé aussi qu'il pouvait y avoir une distinction suivant que la transformation s'appliquait à des points ou à des vecteurs (?)

J'ai pas lu en entier le sujet dont tu parles, mais j'imagine qu'en disant ça, la personne parlait de la différence entre "linéaire" et "affine" : les éléments d'un espace vectoriel sont appelés "vecteurs", les éléments d'un espace affine sont appelés "points". Comme beaucoup d'espaces usuels peuvent être munis des deux structures, souvent les deux notions cohabitent. Tu peux consulter les définitions de "espace vectoriel", "espace affine", "application linéaire" et "application affine" dans n'importe quel cours d'algèbre de licence, un truc important à savoir c'est qu'une application linéaire f vérifie entre autres la propriété f(x+y) = f(x) + f(y) pour tous vecteurs x et y, ce qui n'est pas obligatoirement le cas d'une application affine.

La transformation dans le plan dont les équations sont les suivantes
X = DX + XX.x + XY.y
Y = DY + YX.x + YY.y
s'appelle transformation affine (source Wiki)
Comment appellerait-on celle dont les équations sont ?
X = DX + C.x + S.y
Y = DY + S.x - C.y

La première formule que tu donnes décrit en effet toutes les transformations affines planes possibles (c'est-à-dire x -> Ax + b avec x le vecteur (x,y), y le vecteur (X,Y), b le vecteur (DX,DY) et A la matrice ). Encore une fois, il ne me semble pas que le cas particulier que tu présentes dans la deuxième formule ait un nom.

[Cryptocatron-11]

Bonjour,
J'ai pas trop compris.
Par contre, je répondrai à la question, une surface gauche est une surface qui n'est pas plane.
Par contre, mon exemple résultait du simple fait que je voulais clarifier le sens du mot "fonction".
Je n'ai pas compris non plus pourquoi on parle d'inconnues. Une inconnue est un terme dont la valeur n'est pas connue, contrairement aux paramètres, dans une équation. Sous certaines conditions, on peut résoudre l'équation et trouver la valeur de l'inconnue. Dans le cas de fonctions, on parle plutôt de variables.

Pour voir le lien entre fonction/équation/inconnue, on peut partir de l'exemple suivant ,

Une inconnue x c'est un élément quelconque appartenant à un ensemble.
Quand on écrit f(t)=x on cherche les points t qui vérifient cette égalité.
Mais on peut très bien écrire f:t->f(t) et g:t->g(t)
f(t) et g(t) peuvent être vues comme deux variables entre elles car aucune d'elles n'est fonction de l'autre.

Ensuite , on peut poser le système suivant
f(t)=x
g(t)=y

Si f(t)=t+1 et g(t)=3t-9 , alors on a
t+1=x
t-9=y

d'ou
t=x-1
t=y+9

Après on peut faire la relation x-1=y+9 mais là faut faire attention car on ne prend pas n'importe quel t. Il faut que le t vérifie les deux équations.

On pourra donc ainsi créer un repère avec x et y

Un inconnu pour moi c'est un élément que je vais piocher dans un sac. Je sais ce qu'il y'a dans ce sac mais je sais pas qui va sortir de ce sac.
Evidemment , si mon sac contient qu'un seul élément dedans et comme je sais ce qu'il y a dedans alors forcément je sais qui je vais tirer. C'est la cas pour l'équation f(x)=6 par exemple (enfin je parle du 6 biensur) c'est pas comme si on avait f(x)=y ou y est une inconnue .

[Dlzlogic]

Je tiens à préciser que comme souvent, le problème n'en est probablement un que pour toi...

C'est quoi un élément neutre pour toi ? Un point invariant ? Pourquoi son existence est un cas particulier à éviter ?

La première formule que tu donnes décrit en effet toutes les transformations affines planes possibles (c'est-à-dire x -> Ax + b avec x le vecteur (x,y), y le vecteur (X,Y), b le vecteur (DX,DY) et A la matrice ). Encore une fois, il ne me semble pas que le cas particulier que tu présentes dans la deuxième formule ait un nom.

Bonjour, merci pour ta longue réponse.
Pour la première remarque, c'est normal, c'est moi qui ai ouvert ce sujet, c'est donc moi qui essaye de comprendre. Tans mieux si c'est clair pour tous les autres. J'ai repéré des cours et je vais aller voir ces chapitres.
Pour moi, un élément neutre dans une application est celui qui ne change rien, par exemple 0 dans une addition, 1 dans une multiplication, rapport d'homothétie = 1 pour une homothérie etc.Maintenant, ça a peut-être changé.
La première formule décrit une transformation affine et une seule, dont les paramètres sont DX, DY, XX, XY,YX, YY.
http://fr.wikipedia.org/wiki/World_file
Cette transformation transforme un carré en un parallélogramme.
La seconde est appelée usuellement la similitude.

[Dlzlogic]

Bonjour Cryptocatron,
Que tout cela n'est pas clair.
Si on lit la phrase
"Soit un système linéaire de N équations à N inconnues."
On peut s'attendre à quoi ?
Puis "Trouver les solutions si elles existent" ?
On va piocher dans un sac ?

[Skullkid]

Pour moi, un élément neutre dans une application est celui qui ne change rien, par exemple 0 dans une addition, 1 dans une multiplication, rapport d'homothétie = 1 pour une homothérie etc.

Ok, normalement on réserve l'appellation de "neutre" pour les deux premiers cas que tu cites, en précisant l'opération (binaire) dont on parle. Le rapport d'une homothétie n'étant qu'une caractéristique de cette homothétie, on ne dit pas en général qu'un rapport de 1 est neutre pour cette homothétie.

La première formule décrit une transformation affine et une seule, dont les paramètres sont DX, DY, XX, XY,YX, YY.

On est d'accord, ce que j'ai dit c'est que toutes les transformations affines, et uniquement elles, peuvent s'écrire de cette manière, en choisissant ces 6 paramètres.

La seconde est appelée usuellement la similitude.

Il y a des similitudes qui ne respectent pas ta deuxième formule. Cela dit tu n'as pas tout à fait tort, et je m'étais trompé pour le nom, ta deuxième formule décrit en fait toutes les similitudes indirectes (celles qui transforment les angles orientés en leur opposé).

[Dlzlogic]

Désolé de te contredire

ta deuxième formule décrit en fait toutes les similitudes indirectes (celles qui transforment les angles orientés en leur opposé).

La formule
X = DX + C.x + S.y
Y = DY + S.x - C.y
effectue une transformation directe dans le cas général, c'est à dire si K est positif.
C peut être mis sous la forme K cosA et S sous la forme K sinA
où K est le rapport d'homothétie et A l'angle de rotation.
[K=1] est l'élément neutre pour l'homothétie, il n'y a plus qu'une rotation ; A=0[2pi] est l'élément neutre pour la rotation. Si K = 1 et et A = 0, alors, il s'agit d'une translation.
Enfin, étant donné F1 et F2 connus, il existe une infinité de groupes de paramètres (DX, DY, K, A) pour transformer une figure F1 en une figure F2,.

[Doraki]

Désolé de te contredire

La formule
X = DX + C.x + S.y
Y = DY + S.x - C.y
effectue une transformation directe dans le cas général, c'est à dire si K est positif.

Alors déjà, tu parles d'un K alors que aucun K n'apparaît nulle part dans la formule.
Ensuite, non ce ne sont pas des transformations directes, puisque le déterminant de l'application vectorielle associée, C*(-C)-S*S = -C²-S² <= 0, risque fort d'être négatif.
Par exemple, la réflexion d'axe Ox,
X = 0 + 1.x + 0.y
Y = 0 + 0.x - 1.y
est un cas particulier de truc que tu es en train de décrire.

Enfin, étant donné F1 et F2 connus, il existe une infinité de groupes de paramètres (DX, DY, K, A) pour transformer une figure F1 en une figure F2,.

que veux-tu dire par là ?
c'est quoi un "groupe de paramètres (DX,DY,K,A)" ?
moi je ne connais aucun moyen pour transformer un triangle en un cercle par des applications affines.

[Cryptocatron-11]

Bonjour Cryptocatron,
Que tout cela n'est pas clair.

Pourquoi donc ?
Après je suis d'accord, ce que je dis n'est pas très rigoureux mais j'essaie d'expliquer intuitivement.

Si on lit la phrase
"Soit un système linéaire de N équations à N inconnues."
On peut s'attendre à quoi ?

C'est à dire ?

Puis "Trouver les solutions si elles existent" ?
On va piocher dans un sac ?

Oui enfin quand je dis un "sac" c'est à dire " l'ensemble de départ "
ça dépend des fonctions choisies , du système d'équation. g(x,y)=0 c'est pas la même chose que f(x)=y.
Regarde pour un cercle par exemple. Avec f(x)=y , tu ne pourras pas en faire un. Tu pourras faire qu'un demi cercle.

La ou j'essaie de mettre l'accent c'est sur le fait que l'ensemble formé par les f(x) n'est pas forcément le même que celui formé par les y.
Si tu veux une phrase de wiki : À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable

[Dlzlogic]

Alors déjà, tu parles d'un K alors que aucun K n'apparaît nulle part dans la formule.
Ensuite, non ce ne sont pas des transformations directes, puisque le déterminant de l'application vectorielle associée, C*(-C)-S*S = -C²-S² <= 0, risque fort d'être négatif.
Par exemple, la réflexion d'axe Ox,
X = 0 + 1.x + 0.y
Y = 0 + 0.x - 1.y
est un cas particulier de truc que tu es en train de décrire.

mon message de 17h

La formule
X = DX + C.x + S.y
Y = DY + S.x - C.y
effectue une transformation directe dans le cas général, c'est à dire si K est positif.
C peut être mis sous la forme K cosA et S sous la forme K sinA
où K est le rapport d'homothétie et A l'angle de rotation.

Donc, l'équation peut s'écrire
X = DX + K cosA x + K sinA y
Y = DY + K sinA x - K cosA y
"direct si K est positif", ce que j'appelle (par erreur) le cas général. En tout cas, certainement pas "toujours indirecte"

Enfin, étant donné F1 et F2 connus, il existe une infinité de groupes de paramètres (DX, DY, K, A) pour transformer une figure F1 en une figure F2,.

c'est quoi un "groupe de paramètres (DX,DY,K,A)" ?

Explication :
Soit deux figures F1 et F2 semblables.
Il existe une Homothétie o Rotation (K et A) et une seule qui permet de transformer F1 en F2.
Si on rajoute une translation quelconque (DX, DY), de la même façon, la transformation est unique.
Comme on peut choisir n'importe quelle translation, il existe une infinité de groupes de paramètres (DX, DY, K A) qui permettent de transformer F1 en F2.

moi je ne connais aucun moyen pour transformer un triangle en un cercle par des applications affines.

Ben, non, moi non plus, qui aurait dit cela ?

Concernant ce que tu dis sur la réflexion, sauf que j'appelle ça symétrie par rapport à une droite, oui, bien sûr, mais je ne sais pas si ça rentre tellement dans le cadre du sujet concerné. Je me limite strictement aux transformations dans le plan et dans l'espace 3D.
Soit une figure, sa transformée par similitude donne une image semblable, la transformation affine, telle que j'en ai donné la formule, donne une image tels que les écarts sont minimisés, ou l'image déformée, suivant le cas que l'on traite (exemple calage de plan - dessins de symboles)
Ceci est utilisé dans tous les logiciels de CAO-DAO.

[Dlzlogic]

La ou j'essaie de mettre l'accent c'est sur le fait que l'ensemble formé par les f(x) n'est pas forcément le même que celui formé par les y.
Si tu veux une phrase de wiki : À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable

J'ai un peu de mal à comprendre là tu veux en venir.
1- les maths n'ont pas d'utilité en elles-même, elle ne servent qu'à résoudre des problèmes réels, sauf la recherche fondamentale.
2- pour arriver à dialoguer, il me semble utile d'être d'accord sur les termes employés.
3- Wiki ne constituera jamais une référence pour moi.

[HS] je pense que certains demandeurs d'aide aimeraient que tu mettes autant d'acharnement à résoudre leur problème [/HS]

[Doraki]

Donc, l'équation peut s'écrire
X = DX + K cosA x + K sinA y
Y = DY + K sinA x - K cosA y
"direct si K est positif", ce que j'appelle (par erreur) le cas général. En tout cas, certainement pas "toujours indirecte"

On a manifestement pas la même définition de "direct" vu que si K n'est pas nul, cette transformation est indirecte.
Comme tu n'aimes pas wikipedia, j'prends un lien au hasard
http://serge.mehl.free.fr/anx/similitudes_complex.html
il est d'accord avec moi.

Explication :
Soit deux figures F1 et F2 semblables.

semblable pour moi, voulant dire "dont on peut passer de l'une à l'autre par une similitude (directe ou indirecte)".

Il existe une Homothétie o Rotation (K et A) et une seule qui permet de transformer F1 en F2.

Sachant que l'origine du repère est invariant par toutes tes homothéties ° rotations, ben c'est raté dès que celle-ci est dans F1 et pas dans F2.

Si on rajoute une translation quelconque (DX, DY), de la même façon, la transformation est unique.

Ben non puisque semblable veut dire "dont on peut passer de l'une à l'autre par une similitude (directe ou indirecte)", alors là tu dis qu'on peut passer de l'une à l'autre par une similitude indirecte.
Et même, je peux continuer à jouer sur les mots en disant qu'il existe une infinité de similitudes indirectes qui transforme un cercle donné en un autre cercle donné. (et non pas 1 seule)

Comme on peut choisir n'importe quelle translation, il existe une infinité de groupes de paramètres (DX, DY, K A) qui permettent de transformer F1 en F2.

Non, même en étant gentil et en oubliant ce que j'ai dit précédemment, je te défie de trouver trois similitudes directes (ou indirectes) qui transforme le L de gauche dans le L de droite dans ce dessin : "L L"

Ben, non, moi non plus, qui aurait dit cela ?

c'était pour que tu précises que tu les supposais "semblables", ce que tu as fait et je t'en remercie.

Concernant ce que tu dis sur la réflexion, sauf que j'appelle ça symétrie par rapport à une droite, oui, bien sûr, mais je ne sais pas si ça rentre tellement dans le cadre du sujet concerné. Je me limite strictement aux transformations dans le plan et dans l'espace 3D.

Ben oui c'est dans le sujet puisque j'ai juste mis des valeurs à DX,DY,C, et S dans le truc dont tu parlais.

Soit une figure, sa transformée par similitude donne une image semblable

en effet c'est la définition de "semblable"

,la transformation affine, telle que j'en ai donné la formule, donne une image tels que les écarts sont minimisés, ou l'image déformée, suivant le cas que l'on traite (exemple calage de plan - dessins de symboles)
Ceci est utilisé dans tous les logiciels de CAO-DAO.

hein ?

[Cryptocatron-11]

1- les maths n'ont pas d'utilité en elles-même

Tu devrais faire de la philosophie. Là tu t'égares. Je rentrerais pas dans ce débat

2- pour arriver à dialoguer, il me semble utile d'être d'accord sur les termes employés.
3- Wiki ne constituera jamais une référence pour moi.

Bah sur quels termes n'es tu pas d'accord ?

[HS] je pense que certains demandeurs d'aide aimeraient que tu mettes autant d'acharnement à résoudre leur problème [/HS]

Ca à le mérite d'être clair ... Je suis là pour apprendre des choses "non superficielles". La plupart des gens demande de résoudre des exos sans aller plus loin. Tes questions m'interessent ce qui explique mes interventions. Mais si tu veux pas en discuter ça ne me dérange pas , tant pis ...

[Skullkid]

Donc, l'équation peut s'écrire
X = DX + K cosA x + K sinA y
Y = DY + K sinA x - K cosA y
"direct si K est positif", ce que j'appelle (par erreur) le cas général. En tout cas, certainement pas "toujours indirecte"

Pour chaque couple (C,S) différent de (0,0) il y a toujours au moins un couple (K,A) qui correspond avec K positif et un couple (K,A) qui correspond avec K négatif. Et dans les deux cas, la similitude que tu décris sera indirecte. Le cas C = S = 0 est pathologique, à vrai dire je ne crois pas qu'il rentre dans la définition d'une similitude, mais on peut l'y ajouter par convention sans faire trop dégâts. Un exemple tout con de similitude directe qui ne respecte pas ta formule avec C et S, le quart de tour dans le sens positif :

X = -y
Y = x

Pour répéter, aucune similitude directe (sauf encore une fois éventuellement le cas pathologique C = S = 0) ne respecte ta formule avec C et S (voir démonstration de Doraki avec le déterminant de l'application linéaire associée). En revanche tu peux modifier ta formule en

X = DX + C*x - S*y
Y = DY + S*x + C*y

et là tu n'auras que les similitudes directes.

Concernant ce que tu dis sur la réflexion, sauf que j'appelle ça symétrie par rapport à une droite, oui, bien sûr, mais je ne sais pas si ça rentre tellement dans le cadre du sujet concerné. Je me limite strictement aux transformations dans le plan et dans l'espace 3D.

Aux dernières nouvelles, une réflexion dans le plan c'est une transformation du plan, c'est même une similitude indirecte qui peut être décrite par la formule que tu as toi-même donnée. Donc ça rentre plutôt dans le sujet...

L'objection de Doraki portait sur ta phrase

Enfin, étant donné F1 et F2 connus, il existe une infinité de groupes de paramètres (DX, DY, K, A) pour transformer une figure F1 en une figure F2,.

qui est fausse, et que tu as modifiée plus tard en rajoutant "semblables" (sans pour autant donner une définition de "semblables", qui risque fort d'être "image l'une de l'autre par une similitude"...). Quand tu dis plus loin qu'étant données deux figures "semblables" F1 et F2 il existe une unique similitude qui transforme F1 et F2, il faudrait aussi expliciter ce que tu entends par "figure". Parce que si une figure c'est juste un ensemble de points, ta phrase est fausse : je prends les deux carrés F1 = (0,0)(1,1)(2,0)(1,-1) et F2 = (0,0)(-1,1)(-2,0)(-1,-1), je peux transformer F1 en F2 en faisant soit un demi-tour, soit une réflexion, soit une translation, et ce sont trois similitudes différentes.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Avec tout le respect que je vous dois, soit les auteurs de logiciels CAO-DAO se trompent depuis une trentaine d'années, soit on est entrain d'inventer de nouvelles techniques, qu'il serait intéressant de développer, soit vous jouez simplement sur les mots pour alimenter le forum.

On m'objecte souvent le (0,0). Là j'avoue que je ne sais pas très bien ce qu'il représente.
On me reprochera certainement que j'élude la question et que je ne veux pas répondre, mais que répondre d'autre qu'expliquer les méthodes et fonctions qui sont utilisées dans le contexte que je connais et que j'ai pris le soin de préciser ?

J'en reviens en fait toujours au même point : je ne comprend pas comment une translation provoque la transformation d'une application linéaire en une transformation affine. J'ai admis le fait mais pas plus.

[Dlzlogic]

Je vais tout de même essayer de répondre un peu à la fois

X = DX + C*x - S*y
Y = DY + S*x + C*y

et là tu n'auras que les similitudes directes.

La différence avec la formule que j'ai donnée n'est qu'une convention de signe et d'origine pour les angles.
Il est possible que la discussion "directe" ou "indirecte" soit sans objet, tant que l'on ne dit pas "toujours".

@ Doraki, ton lien porte sur le plan complexe, les utilisation dont je parle se situent dans le plan réel, et j'ajouterai complètement terre-à-terre.

A demain pour d'autres réponses. :dodo:

[Doraki]

La différence avec la formule que j'ai donnée n'est qu'une convention de signe et d'origine pour les angles.

Pas du tout. La différence n'est pas un truc du genre "ah mais ton en fait c'est mon /2-;)".
C'est une erreur de signe ou de recopiage, que sais-je, qui se trouve être bien plus grave.
Tu ne peux pas mettre la fonction identité (qui est une similitude directe) sous la forme que tu as décrite, alors que par contre tu peux y mettre les symétries (qui sont indirectes)

[Sylviel]

J'en reviens en fait toujours au même point : je ne comprend pas comment une translation provoque la transformation d'une application linéaire en une transformation affine. J'ai admis le fait mais pas plus.

ça revient un peu à dire : je comprends pas pourquoi multiplier par -1 un nombre positif donne un nombre négatif.

@ Doraki, ton lien porte sur le plan complexe, les utilisation dont je parle se situent dans le plan réel, et j'ajouterai complètement terre-à-terre.

Utiliser un complexe pour représenter un point du plan (réel) est très classique en géométrie. Et cela à plein d'application pratique. En effet il s'agit juste d'une autre manière de représenter un point, soit par ses coordonnées cartésiennes, soit par ses coordonées polaires, ainsi que diverses transformation géométriques (rotation, translations, similitudes, symétries...). C'est donc une autre vision, parfois beaucoup plus efficaces que la vision classique. Ce n'est en aucun cas plus déconnecté de la réalité.

[Skullkid]

Bonsoir,
Avec tout le respect que je vous dois, soit les auteurs de logiciels CAO-DAO se trompent depuis une trentaine d'années, soit on est entrain d'inventer de nouvelles techniques, qu'il serait intéressant de développer, soit vous jouez simplement sur les mots pour alimenter le forum.

On dit que tu te trompes. Et il est vraisemblable que les auteurs de logiciels savent ce qu'ils font, et donc que c'est toi qui comprends mal (même bazar qu'avec les probas où tu n'arrêtais pas de nous dire que "tout le monde sait ça" sur des trucs ostensiblement faux).

On m'objecte souvent le (0,0). Là j'avoue que je ne sais pas très bien ce qu'il représente.

Je sais pas ce que tu entends par "objecter le (0,0)"... La seule fois où je le vois apparaître dans ce thread c'est quand j'ai distingué le cas particulier (C,S) = (0,0), qui en l'occurrence est juste une autre façon d'écrire "C = S = 0". Il n'y a rien à se représenter ni à objecter...

Je rejoins Sylviel pour ce qui est de ton incompréhension du terme "transformation affine" : les concepts mathématiques ont une définition. "transformation linéaire" a une définition différente de "transformation affine", et quand on ajoute une translation à une transformation linéaire, ça donne une transformation affine. À ce niveau-là on peut pas faire grand-chose d'autre que de te renvoyer aux définitions et d'espérer que tu daignes les lire, mais tu n'as pas l'air d'en avoir l'intention...

[beagle]

Je sais que Dlzlogic n'aime pas les définitions de wiki,
mais cela explique bien les transformations affines:
"Un fromage est dit affiné lorsqu’il a atteint sa maturation optimale au terme de sa période d’affinage "

Maintenant si je dis que je suis d'accord avec la réponse de Skullvie! à doralogic,
personne ne comprend rien.Et c'est normal, c'est pour cela qu'on doit utiliser les mots qui correspondent à leur définition.Et on a le droit d'ètre imprécis parce que l'on ne connait pas ces définitions.
Oui, sauf que dès lors que certaines personnes ont passé du temps à vous les apprendre,
c'est très gentil d'essayer de les employer ensuite.
merci pour eux!

PS:
http://sente-de-la-chevre-qui-baille.net/nectar_0402.html
voir numéro 10, la rotation est une transformation affine pour l'affinage!