Quelle équation correspond à cette suite ?

[Dlzlogic]

Cela m'intéresse de lire les réponses qui ont été données. Où est-ce ?

J'ai pas retrouvé, mais je me souviens de 2 réponses (approximativement) :
1- On va demander à tous ceux qui utilisent des courbes de Béziers de se limiter à la parabole
2- Je connais pas Excel, mais j'ai essayé et il ça dépend du nombre de degrés de liberté.

"Par quelle méthode ?" Pourquoi, il y a plusieurs méthodes ? Ben, non, y'en a qu'une seule (sauf le faire faire par quelqu'un d'autre, ce qui constitue une autre méthode).

[Dlzlogic]

Concernant le calcul d'erreur.
D'abord, les observation sont silencieuses. Elle ne font pas de bruit.
Par contre elles sont entachées d'erreur. Il y a 2 types d'erreurs :
1- erreurs systématiques qui se cumulent par addition
2- erreurs accidentelles qui se cumulent quadratiquement.
Mais ne compte pas sur moi pour faire un cours sur la théorie des erreurs.
Donc j'ai répondu, question close, sauf si tu ouvres un autre topic.

[leon1789]

"Par quelle méthode ?" Pourquoi, il y a plusieurs méthodes ? Ben, non, y'en a qu'une seule.

Ben non, il n'y a pas qu'une seule méthode... :mur: Décidément, tu aimes l'unicité ! Elle te rassure ? :happy2:


Comme je l'ai dit, il y a au moins une méthode d'algèbre linéaire matricielle (résoudre gradient = 0), une méthode polynomiale (calcul de polynômes orthogonaux), et peut-être d'autres... Toi, tu parlais d'une méthode liée aux probabilités (sans jamais avoir donner de référence :hum: ).

Donc ma question est "Par quelle méthode as-tu calculé les 5 coefficients ?"

[leon1789]

Concernant le calcul d'erreur.
D'abord, les observation sont silencieuses. Elle ne font pas de bruit.

Visiblement, tu ne connais pas le mot "bruit" dans le contexte de relevés numériques parasités...

Par contre elles sont entachées d'erreur. Il y a 2 types d'erreurs :
1- erreurs systématiques qui se cumulent par addition
2- erreurs accidentelles qui se cumulent quadratiquement.
Mais ne compte pas sur moi pour faire un cours sur la théorie des erreurs.
Donc j'ai répondu, question close, sauf si tu ouvres un autre topic.

Tu réponds oui, mais à quelle question ? Ma question portait sur le lien en "erreur d'observation" et "dérivée partielle"...
C'est très décevant dès que l'on gratte un peu, il n'y a plus personne, mathématiquement parlant.

[Dlzlogic]

Je liste ma méthode et tu listes les tiennes, d'accord ?

1- on calcule la somme des carrés des écarts entre la valeur calculée et la valeur observée, pour chaque couple X,Y, on obtient quelque-chose comme cela :
S = Somme[(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e - y)²]
2- on développe
3- on organise et on obtient une expression de la forme
S = a².(...) + b².(...) + c².(...) + d².(...) + N.e² + ab.(...) + ... + y²
Le principe de la méthode des moindres carrés est que la solution "la plus probable" sera obtenue pour la valeur minimale de cette somme. Cette valeur minimale est obtenue pour les valeurs qui annulent la dérivée de S, autrement dit pour les valeurs qui annulent les dérivées partielles pour a, b, c, d, e.
4- on dérive donc et on obtient 5 équations à 5 inconnues.
5- on résout le système qui admet normalement 1 solution.
6- il ne reste plus qu'à imprimer le résultat.

[Dlzlogic]

Visiblement, tu ne connais pas le mot "bruit" dans le contexte de relevés numériques parasités...


Tu réponds oui, mais à quelle question ? Ma question portait sur le lien en "erreur d'observation" et "dérivée partielle"...
C'est très décevant dès que l'on gratte un peu, il n'y a plus personne, mathématiquement parlant.

Bien-sûr je comprend le mot "bruit". Mais il semble qu'ici, ce n'est plus de la vulgarisation, mais une discussion scientifique.
Je vais peut-être me répéter, et je vais essayer d'être plus précis.
Lorsqu'on fait des observation, des mesures, ou tout autre synonyme, on fait une erreur.
Cette mesure peut être discrète ou continue, ça ne change rien.
Les erreurs se classent en 2 types
1- les erreurs systématiques. Dans le cas d'un thermomètre, il peut être "optimiste" ou "pessimiste".
2- les erreurs accidentelles. Dans le cas d'un thermomètre, ce peut être, par exemple l'erreur de parallaxe.

Les erreurs systématiques se cumulent par addition.
Les erreurs accidentelles se combinant quadratiquement.
Les erreurs systématiques peuvent être quantifiées, c'est le but de l'étalonnage.
Les erreurs accidentelles se répartissent suivant la loi normale.

On sait, si on a étudié ces questions, que la valeur d'un résultat le plus probable est obtenu lorsque la somme des carrés des écarts est minimale. A une opération près (division et racine carrée), cette somme est l'écart type, et il parait évident que le meilleur résultat sera obtenu avec un écart-type minimum.

La suite n'est que cuisine de mathématique élémentaire.

[leon1789]

Je liste ma méthode et tu listes les tiennes, d'accord ?

heu... J'ai déjà présenté deux méthodes hier (avec un exemple) :

Pour moi, la justification mathématique de > nécessite la connaissance de l'espace vectoriel des polynômes, des notion de produit scalaire et de norme et de distance, de projections orthogonales, etc.

Ensuite, en fonction des outils de calcul dont on dispose (en vue d'une implémentation en machine), il faut parler :
- soit de procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt et polynômes orthogonaux ;
- soit de gradient, de valeur minimale d'une fonction convexe et d'inverse de matrice (*)

(*) tu en as déjà vu un aperçu ici : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/550732-calcul-de-courbe-dajustement-un-polynome-second-degre-a-partir-points.html#post4105834
Tu n'as plus qu'à généraliser sans problème au degré 4.

1- on calcule la somme des carrés des écarts entre la valeur calculée et la valeur observée, pour chaque couple X,Y, on obtient quelque-chose comme cela :
S = Somme[(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e - y)²]
2- on développe
3- on organise et on obtient une expression de la forme
S = a².(...) + b².(...) + c².(...) + d².(...) + e² + ab.(...) + ... + N.e + y²
Le principe de la méthode des moindres carrés est que la solution "la plus probable" sera obtenue pour la valeur minimale de cette somme.

Ah voilà, les probabilités arrivent :lol3:

Quel sens donnes-tu à > ? Toi-même, tu mets des guillemets, c'est donc qu'il y a un sous-entendu. Comment en arrive-t-on à introduire les probas dans notre contexte où initialement on n'y en a pas ? Est-ce que cela permet de justifier quelque chose ?

Cette valeur minimale est obtenue pour les valeurs qui annulent la dérivée de S,
autrement dit pour les valeurs qui annulent les dérivées partielles pour a, b, c, d, e.

Oui, cela vient du fait que S est une fonction convexe sur R^5 : le gradient de S n'admet qu'un seul zéro dans R^5 et celui-ci donne le minimum de S.

4- on dérive donc et on obtient 5 équations à 5 inconnues.
5- on résout le système qui admet normalement 1 solution.
6- il ne reste plus qu'à imprimer le résultat.

Ok, c'est donc la méthode matricielle que j'ai expliquée ici http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/550732-calcul-de-courbe-dajustement-un-polynome-second-degre-a-partir-points.html#post4105834
Au moins, tu auras compris comment faire les calculs... :zen:

[leon1789]

Je vais peut-être me répéter, et je vais essayer d'être plus précis.
Lorsqu'on fait des observation, des mesures, ou tout autre synonyme, on fait une erreur.
Cette mesure peut être discrète ou continue, ça ne change rien.
Les erreurs se classent en 2 types
1- les erreurs systématiques. Dans le cas d'un thermomètre, il peut être "optimiste" ou "pessimiste".
2- les erreurs accidentelles. Dans le cas d'un thermomètre, ce peut être, par exemple l'erreur de parallaxe.

Les erreurs systématiques se cumulent par addition.
Les erreurs accidentelles se combinant quadratiquement.
Les erreurs systématiques peuvent être quantifiées, c'est le but de l'étalonnage.
Les erreurs accidentelles se répartissent suivant la loi normale.

On sait, si on a étudié ces questions, que la valeur d'un résultat le plus probable est obtenu lorsque la somme des carrés des écarts est minimale. A une opération près (division et racine carrée), cette somme est l'écart type, et il parait évident que le meilleur résultat sera obtenu avec un écart-type minimum.

Et cela est en rapport avec le problème de crocodil ?? Ce que tu présentes est une toute autre histoire...

Tu sais qu'il existe une infinité de fonctions f telles que toutes les différences sont nulles (cf le message de Skullkid où il parle de polynôme d'interpolation). Donc tu pourras re dire qu' il existe une infinité de solutions les plus probables : ce sont celles qui donnent un écart-type nul. :+++:

Ces histoires de proba n'ont pas de sens dans le contexte de crocodil.

[Dlzlogic]

"Au moins, tu auras compris comment faire les calculs... "
Si tu crois que je t'ai attendu pour savoir tout cela ...
Y'a pas de méthode matricielle, il y a la résolution d'un système de N inconnues qu'on résout souvent par la méthode du pivot de Gauss.
Fin de discussion, il m'est interdit de parler de probabilités.

[leon1789]

"Au moins, tu auras compris comment faire les calculs... "
Si tu crois que je t'ai attendu pour savoir tout cela ...
Y'a pas de méthode matricielle, il y a la résolution d'un système de N inconnues qu'on résout souvent par la méthode du pivot de Gauss.

ah... le pivot de Gauss n'est pas une méthode matricielle : encore une nouveauté spéciale Dlzlogic. :mur:
Allez, petite référence d'un cours d'algèbre linéaire : http://alg-geo.epfl.ch/cours/alglin0910/PolycopAlgLin0910.pdf

(j'attends toujours tes références biblio...)


Je suis étonné que tu connaisses cette méthode depuis longtemps puisque tu disais (il y a deux jours sur futura-sciences) qu'il y avait une hypothèse de monotonie. Et maintenant, tu n'en parles plus... :++:

Fin de discussion, il m'est interdit de parler de probabilités.

Tu devrais t'auto-censurer plus souvent, effectivement.

[leon1789]

@Leon,
Bonjour,
Pour éviter des discussions stériles sur ce sujet, j'ai décidé de rajouter ce type d'ajustement (4è degré) à mes outils.
Peux-tu me donner les indications nécessaires.
Merci.

"Au moins, tu auras compris comment faire les calculs... "
Si tu crois que je t'ai attendu pour savoir tout cela ...

Trop fort, ce Dlzlogic :marteau:

[Dlzlogic]

Et cela est en rapport avec le problème de crocodil ?? Ce que tu présentes est une toute autre histoire...

Tu sais qu'il existe une infinité de fonctions f telles que toutes les différences sont nulles (cf le message de Skullkid où il parle de polynôme d'interpolation). Donc tu pourras re dire qu' il existe une infinité de solutions les plus probables : ce sont celles qui donnent un écart-type nul. :+++:

Ces histoires de proba n'ont pas de sens dans le contexte de crocodil.

Ce que j'ai dit, c'est que si on a fixé la forme de la fonction, exponentielle ou polynôme de degré 4 ou n'importe quoi d'autre, la méthode calcule les paramètres de cette fonction, cet ensemble de paramètres est celui qui produit la fonction la plus probable, c'est à dire celle pour laquelle la somme des carrés des écarts est minimale..
Il n'est pas possible d'avoir un écart-type nul, sauf si tous les couples X,Y vérifient strictement la fonction considérée. Ceci, sauf cas particulier, est impossible.

Il est vrai que quand on appelle matrice tout ce qui ressemble à un tableau, on peut parler de matrice dans tous les sujets.
Bien sûr je confirme l'hypothèse de monotonie. Pour une ajustement en 3D, on ne peut pas refuser certaines configurations, en particulier des points qui ont tous le même X ou presque. Dans ce cas là on ne calcule pas Z=f(X,Y) mais par exemple X=f(Y,Z). Mais ceci dépasse largement le cadre de ce topic.

[leon1789]

Ce que j'ai dit, c'est que si on a fixé la forme de la fonction, exponentielle ou polynôme de degré 4 ou n'importe quoi d'autre, la méthode calcule les paramètres de cette fonction, cet ensemble de paramètres est celui qui produit la fonction la plus probable, c'est à dire celle pour laquelle la somme des carrés des écarts est minimale..

Pourquoi ajoutes-tu "la fonction la plus probable" ? tu devrais dire "la fonction la plus colorée" ou "la fonction la plus jouissive"... Dans notre contexte, il n'y a pas plus question de proba que de couleurs, etc. Dans ton discours, l'expression "la fonction la plus probable" est un bruit qu'il faut supprimer. Cela te rassure de placer la notion de "proba" quand tu calcules quelque chose ? Tu ne dis quand même pas > ! :ptdr:
Remarque, ça peut faire chique de parler comme ça dans le monde réel (mais pas sur un forum de math).

Il n'est pas possible d'avoir un écart-type nul, sauf si tous les couples X,Y vérifient strictement la fonction considérée. Ceci, sauf cas particulier, est impossible.

Qu'appelles-tu "cas particulier" : un polynôme de degré 4 est plus ou moins particulier qu'un polynôme de degré 40 ? ou qu'une fonction exponentielle, etc. Ce que tu considères comme un impossible existe bel et bien. C'est très facile à calculer : il y a même des formules closes pour cela. Le top, quoi !

Il est vrai que quand on appelle matrice tout ce qui ressemble à un tableau, on peut parler de matrice dans tous les sujets.

Ben non, on parle matrice en algèbre linéaire. C'est notre cadre dans cette discussion.

Bien sûr je confirme l'hypothèse de monotonie.

Et où intervient-elle mathématiquement dans l'exemple que tu as traité ?
As-tu des références ? Non probablement :lol3: ...

[leon1789]

Bon revenons au sujet principal ! :lol3:

Ajustement exponentielle Y=A * e puis(B * X) nbpts=41 A = 19.9 B = 0.0655 R2 = 0.997

Ce que j'ai dit, c'est que si on a fixé la forme de la fonction, exponentielle ou polynôme de degré 4 ou n'importe quoi d'autre, la méthode calcule les paramètres de cette fonction, cet ensemble de paramètres est celui qui produit la fonction la plus probable, c'est à dire celle pour laquelle la somme des carrés des écarts est minimale..

Tu crois vraiment que la fonction que tu donnes f(X) = 19.9 . e ^(0.0655 . X) est celle qui minimise la somme parmi toutes les fonctions du type A.e^(B.X) ?

Eh bien non, elle ne minimise pas ! Regarde cette fonction g(X) = 22 . e^(0.0619 . X) :
et

[Dlzlogic]

Je regarde et je te tiens au courant.

[Skullkid]

Le public en transe s'accroche à son fauteuil, Dlzlogic va-t-il trouver la source de cette erreur ? Et de toutes les autres qu'il commet depuis 30 ans ?

[Dlzlogic]

@Skullkid
Je ne savais pas que toi aussi, tu aimais jouer "la mouche du coche".

@Leon
Pour l'instant, je n'ai pas vu d'anomalie.
Donc la seule explication que je peux donner actuellement, c'est que les fonctions sont optimisées pour les valeurs X et Y transformées par leur log et non brutes.

Ce programme applique la méthode des moindres carrés, soit aux équations de départ (droite ou courbe logarithmique) soit aux équations transformées (courbe exponentielle et courbe de fonction puissance).

Il n'y a pas d'erreur, juste une interprétation pas très correcte et discutable.

Cependant, la remarque est intéressante et je vais regarder si cela vaut le coup de modifier le calcul.
Dans un cas l'écart-type vaut 5, dans le second, il vaut 2.

[fatal_error]

Citation:
Ce programme applique la méthode des moindres carrés, soit aux équations de départ (droite ou courbe logarithmique) soit aux équations transformées (courbe exponentielle et courbe de fonction puissance).
Il n'y a pas d'erreur, juste une interprétation pas très correcte et discutable.

Ca sert absolument à rien de te citer si ta citation ne fait pas partie de cette discussion donc hors contexte.

Il n'y a pas d'erreur, juste une interprétation pas très correcte et discutable.

Ben clairement que si il y a une erreur:

Regarde cette fonction g(X) = 22 . e^(0.0619 . X) :

ca ne te choque pas que ta fonction f ne minimise pas?
C'est certainement pas une erreur d'interprétation, (à supposer qu'ils sont corrects, mais je ne doute pas que tu sais retrouver le résultat à la main si besoin), les résultats sont explicites.

[Dlzlogic]

Ben clairement que si il y a une erreur:

ca ne te choque pas que ta fonction f ne minimise pas?
C'est certainement pas une erreur d'interprétation, (à supposer qu'ils sont corrects, mais je ne doute pas que tu sais retrouver le résultat à la main si besoin), les résultats sont explicites.

Citation:
Ce programme applique la méthode des moindres carrés, soit aux équations de départ (droite ou courbe logarithmique) soit aux équations transformées (courbe exponentielle et courbe de fonction puissance).

J'ai omis de dire que la citation était celle de l'auteur de la rédaction de l'algorithme, en fait tout simplement les formules, c'est à dire Hewlett Packard France. Je ne l'avais pas cité avant, puisque l'utilisation des ces sources s'est limité pour moi au niveau d'aide mémoire.

Si c'est une erreur, il faudrait vite prévenir l'auteur d'un cours que j'ai vu dernièrement sur le net et qui emploie la même méthode, mais il y a tous les autres qui utilisent probablement cette même méthode et qu'on peut avoir du mal à joindre. :zen:

D'ailleurs j'ai bien précisé que j'allais regarder si ça valait le coup de modifier le mode de calcul.
Pour mémoire, les méthodes d'ajustement de courbe sont utilisées dans des contextes qui ne ressemblent pas à celui-ci.

[fatal_error]

Si c'est une erreur, il faudrait vite prévenir l'auteur d'un cours que j'ai vu dernièrement sur le net et qui emploie la même méthode, mais il y a tous les autres qui utilisent probablement cette même méthode et qu'on peut avoir du mal à joindre.

Si il y a une erreur, avant de mettre en doute l'auteur, et j'espère que c'est ton premier réflexe, c'est de se mettre en doute soi même au préalable!!!!!!!!!!!!!!!
Et ensuite de demander aux autres!!