à propos du théorème de la valeur intermédiaire

[moki45]

Bonjour,
Voici mon problème:
Dans un livre il est écrit que le théorème de la valeur intermédiaire nous dit que tout nombre réel compris entre deux éléments de f(I) est aussi dans f(I).
Ma question est: en quoi le théorème de la valeur intermédiaire nous dit ce qui est écrit précedemment?
Merci

[Ben314]

Salut,

Dans un livre il est écrit que le théorème de la valeur intermédiaire nous dit que tout nombre réel compris entre deux éléments de f(I) est aussi dans f(I).

Eh ben, si c'est comme ça que tu retient les théorème, c'est mal barré de chez mal barré pour faire des maths...
Ce que dit précisément le théorème des valeurs intermédiaires, c'est que :
Si on prend une fonction f définie et continue sur un intervalle I de R et à valeur dans R, alors l'image directe f(I) de I par f est lui aussi un intervalle de R.

Et ça permet d'affirmer que, si on a trois réels u<v<w avec u et w dans f(I) alors v sera lui aussi dans f(I) vu que c'est une propriété évidente (et en fait caractéristique) que possèdent les intervalles de R.

[pascal16]

tout nombre réel compris entre deux éléments de f(I) est aussi dans f(I).
soient a et b ces deux éléments, on va prendre a <=b
soit yo ce réel

a <=b
on a f(a)<= yo<= f(b) ou f(a)>= yo>= f(b)
et on retrouve le TVI classique.

Cette définition permet de sentir le lien avec la continuité plus générale d'une fonction qui se base uniquement sur les ensembles, même si le lien avec la convexité est absent sur wiki :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)#Caract.C3.A9risations_globales

[Ben314]

... même si le lien avec la convexité est absent sur wiki...

C'est plutôt la connexité que la convexité qui joue dans le cas des fonctions continues entre espaces autres que R (et de toute façon, sur, c'est pareil...)

[pascal16]

C'est un peu ancien, mais voici quelques précisions :

a <=b
on a f(a)<= yo<= f(b) ou f(a)>= yo>= f(b) ... il existe xo tel que yo=f(xo)

peut s'écrire aussi
pour tout t entre 0 et 1, il existe t' entre 0 et 1 tel que :
pour y= t*f(a) + (1-t)f(b) on a l’existence de x tel que [ x =t'a+(1-t')b et y=f(x)]
On reconnait "l'image réciproque de tout convexe de f(Df) est un convexe de Df."

Une généralisation de la continuité que je n'ai pas retrouvée sur Wiki est en fait "L'image de tout compact de Df est un compact" qui a l'avantage de ne pas passer par la fonction réciproque qui peut donner des maux de tête des fois.

On peut ensuite descendre aux 'connexes' (par arc, simple, avec topologie forte ou pas, je l'ai jamais vu, j'ai arrêté les maths avant).

[Ben314]

pour tout t entre 0 et 1, il existe t' entre 0 et 1 tel que :
pour y= t*f(a) + (1-t)f(b) on a l’existence de x tel que [ x =t'a+(1-t')b et y=f(x)]
On reconnait "l'image réciproque de tout convexe de f(Df) est un convexe de Df."

Déjà, là, ce que tu montre, c'est que l'image directe f(I) (et pas l'image réciproque) d'un convexe est convexe vu que ce que tu montre c'est que, si tu prend deux points A=f(a) et B=f(b) dans f(I) alorstout le segment [A,B] est contenu dans f(I).

Ensuite, c'est plutôt une "mauvaise constatation" vu que c'est très spécifique à R : rien que la bébête fonction t->exp(it) de R dans C (qu'on utilise dés le Lycée) ne vérifie pas ça : l'image d'un segment par cette fonction est un arc de cercle qui n'est absolument pas convexe (alors qu'on peut pas dire qu'au niveau "régularité" la fonction t->exp(it) pose le moindre soucis).
La "bonne constatation", c'est plutôt de voir les intervalles de R comme des connexes (ou des connexes par arcs pour avoir une définition bien plus élémentaire compréhensible par un Lycéen) vu que là, par contre, ça se généralise parfaitement à tout espace topologique (i.e. l'image d'un connexe par une fonction continue est connexe). Par exemple, l'arc de cercle image d'un segment par t->exp(it) n'est pas convexe, mais il est bien connexe (= "un seul morceau")

Enfin, ça n'a (quasiment) rien à voir avec le fait que l'image d'un compact est compact : les intervalles de R ne sont pas forcément compact et les compacts de R ne sont pas forcément des intervalles. Le théorème pour les fonctions de R->R qui a un lien avec la compacité c'est celui qui te dit que l'image d'un segment (=intervalle fermé borné) par une fonction continue de R dans R est lui même un segment vu que les segments de R sont très exactement les parties à la fois connexes (=intervalle dans R) et compactes (=fermé borné dans R). Mais attention, ce résultat là, c'est pas du tout équivalent au T.V.I. (*)
Donc là, la généralisation, c'est que l'image d'un connexe compact par une fonction continue est lui même connexe et compact.

(*) Le T.V.I., on peut le faire "sentir" à un Lycéen en faisant par exemple une recherche par dichotomie du fameux x de [a,b] qui va donner f(x)=y pour un y fixé entre f(a) et f(b).
Par contre l'existence systématique d'un élément de [a,b] qui donne le maximum de la fonction sur [a,b] (ce qui montre que la borne supérieure est atteinte) pour une fonction continue, ça semble pas mal hors de porté.
Donc au Lycée pour ce type de questions, (max d'une fonction) on ne procède qu'avec des dérivées, ce qui évidement fait qu'on suppose la fonction plus que continue.

[Skullkid]

Une généralisation de la continuité que je n'ai pas retrouvée sur Wiki est en fait "L'image de tout compact de Df est un compact" qui a l'avantage de ne pas passer par la fonction réciproque qui peut donner des maux de tête des fois.

Tu ne la trouves pas sur wiki parce qu'elle est fausse. Une fonction peut très bien préserver les compacts sans être continue. Il suffit de prendre une fonction indicatrice (= à valeurs dans {0,1}).

[pascal16]

(= à valeurs dans {0,1}) -> me semble pas très compact

https://www.youtube.com/watch?v=glcSZQWSyok

[Skullkid]

{0,1} est compact, c'est même assez dur de trouver plus compact... Je n'ai pas contredit le fait que les fonctions continues préservaient les compacts, j'ai dit que le fait de préserver les compacts n'était pas une caractérisation des fonctions continues, et donc tu ne risques pas de le voir écrit dans la liste des caractérisations globales de la continuité sur wiki.